تجزیه چندجملهای فرایندی معکوسِ ضرب و بسط عبارتهای جبری است. در ضرب، چند عامل را در یکدیگر ضرب میکنیم و یک چندجملهای به دست میآوریم؛ در تجزیه، همین فرایند را برعکس میکنیم و چندجملهای را به عواملی سادهتر تبدیل میکنیم.
برای مثال، عبارت
$$ x^2+5x+6 $$
را میتوان به صورت
$$ (x+2)(x+3) $$
نوشت. بنابراین \(x+2\) و \(x+3\) عاملهای چندجملهای اولیه هستند.
تجزیه فقط یک روش محاسباتی نیست؛ بلکه یکی از ابزارهای اصلی برای حل معادلات چندجملهای، سادهسازی عبارتهای گویا و شناخت ریشههای یک چندجملهای است. منابع آموزشی دانشگاهی مانند OpenStax نیز تجزیه عامل مشترک، سهجملهایها، گروهبندی، اتحادهای ویژه و مجموع و تفاضل مکعبها را از روشهای اصلی تجزیه معرفی میکنند.
برای آشنایی با جایگاه این موضوع در مباحث گستردهتر، میتوانید به تجزیه عبارتهای جبری مراجعه کنید.
پیشنیازهای تجزیه چندجملهای
برای یادگیری تجزیه چندجملهای، آشنایی با چند مفهوم پایه ضروری است:
- توانها و قوانین توان
- تکجملهای و چندجملهای
- ضریب، جمله و درجه چندجملهای
- جمع و تفریق عبارتهای جبری
- ضرب چندجملهایها
- خاصیت توزیعی
- اتحادهای جبری
ارتباط میان ضرب و تجزیه بسیار مهم است. اگر داشته باشیم
$$ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd $$
تجزیه در جهت عکس همین فرایند حرکت میکند: از چندجملهای \(ac+ad+bc+bd\) به حاصلضرب دو عبارت میرسیم.
تعریف دقیق تجزیه چندجملهای
تجزیه چندجملهای یعنی نوشتن یک چندجملهای به صورت حاصلضرب دو یا چند چندجملهای با درجه کمتر، به گونهای که حاصلضرب عوامل با چندجملهای اولیه برابر باشد.
برای نمونه:
$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$
در اینجا چندجملهای \(x^2-9\) به دو عامل \(x-3\) و \(x+3\) تجزیه شده است.
از نظر مفهومی، تجزیه را میتوان «باز کردن ساختار پنهان» یک چندجملهای دانست. عبارت اولیه ممکن است به شکل مجموع چند جمله دیده شود، اما پس از تجزیه، ارتباط میان عوامل آن آشکار میشود.
تجزیه کامل چیست؟
هدف معمولاً فقط پیدا کردن یک عامل نیست، بلکه باید عبارت را تا حد امکان به عوامل سادهتر تجزیه کرد.
برای مثال، در عبارت
$$ 2x^3-18x $$
ابتدا عامل مشترک \(2x\) را خارج میکنیم:
$$ 2x(x^2-9) $$
اما \(x^2-9\) هنوز قابل تجزیه است:
$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$
پس تجزیه کامل عبارت برابر است با:
$$ 2x(x-3)(x+3) $$
بنابراین پس از هر مرحله باید بررسی کنیم که آیا عوامل بهدستآمده هنوز قابل تجزیه هستند یا خیر.
راهبرد کلی برای تجزیه چندجملهای
هیچ روش واحدی برای همه چندجملهایها وجود ندارد. انتخاب روش به شکل و ساختار عبارت بستگی دارد. یک راهبرد عملی مناسب چنین است:
- ابتدا عامل مشترک بزرگ را بررسی کنید.
- تعداد جملههای چندجملهای را مشخص کنید.
- اگر عبارت دوجملهای است، اتحادهای مناسب مانند تفاوت مربعها یا مجموع و تفاضل مکعبها را بررسی کنید.
- اگر عبارت سهجملهای است، امکان تجزیه به عوامل خطی یا الگوی مربع کامل را بررسی کنید.
- اگر عبارت چهار جملهای یا بیشتر است، گروهبندی را امتحان کنید.
- پس از هر مرحله، دوباره بررسی کنید که آیا عاملهای حاصل قابل تجزیه هستند.
- در پایان، حاصل را با ضرب عوامل کنترل کنید.
این ترتیب با راهبرد عمومی ارائهشده در منابع آموزشی دانشگاهی مانند OpenStax همخوان است؛ در این راهبرد بررسی عامل مشترک پیش از انتخاب الگوی خاص تجزیه انجام میشود.
روش اول: تجزیه با خارج کردن عامل مشترک
یکی از مهمترین و معمولاً نخستین مراحل تجزیه، پیدا کردن بزرگترین عامل مشترک جملههاست.
اگر چندجملهای به شکل
$$ A+B $$
باشد و \(d\) عامل مشترک \(A\) و \(B\) باشد، میتوان نوشت:
$$ A+B=d\left(\frac{A}{d}+\frac{B}{d}\right) $$
مثلاً:
$$ 12x^3+18x^2 $$
بزرگترین عامل مشترک دو جمله \(6x^2\) است؛ بنابراین:
$$ 12x^3+18x^2=6x^2(2x+3) $$
در انتخاب عامل مشترک، هم ضریب عددی و هم بخش متغیر باید بررسی شوند.
مثال
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 15x^4y-10x^3y^2+5x^2y $$
بزرگترین عامل مشترک ضرایب \(5\) است و کوچکترین توان مشترک \(x^2y\) است. بنابراین:
$$ 15x^4y-10x^3y^2+5x^2y = 5x^2y(3x^2-2xy+1) $$
اگر عبارت داخل پرانتز دیگر قابل تجزیه نباشد، همین نتیجه تجزیه کامل است.
روش دوم: تجزیه با گروهبندی
در بعضی چندجملهایها عامل مشترکی بین همه جملهها وجود ندارد، اما میتوان جملهها را به گروههایی تقسیم کرد که هر گروه عامل مشترک داشته باشد.
برای مثال:
$$ x^2+3x+2x+6 $$
دو جمله اول و دو جمله دوم را گروهبندی میکنیم:
$$ (x^2+3x)+(2x+6) $$
از هر گروه عامل مشترک میگیریم:
$$ x(x+3)+2(x+3) $$
اکنون \(x+3\) عامل مشترک دو جمله است:
$$ (x+3)(x+2) $$
پس:
$$ x^2+5x+6=(x+3)(x+2) $$
روش گروهبندی بهویژه برای چندجملهایهای چهار جملهای مفید است، هرچند ممکن است برای بعضی عبارتهای سهجملهای نیز در فرایند تجزیه استفاده شود.
روش سوم: تجزیه با اتحاد تفاوت مربعها
یکی از مهمترین الگوهای تجزیه، اتحاد تفاوت دو مربع است:
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$
بنابراین هرگاه یک دوجملهای از شکل «مربع منهای مربع» داشته باشیم، میتوان از این اتحاد استفاده کرد.
مثال
$$ x^2-25 $$
چون
$$ x^2=x^2 $$
و
$$ 25=5^2 $$
داریم:
$$ x^2-25=(x-5)(x+5) $$
مثال پیشرفتهتر
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 9x^4-16 $$
هر دو جمله مربع کامل هستند:
$$ 9x^4=(3x^2)^2 $$
و
$$ 16=4^2 $$
پس:
$$ 9x^4-16=(3x^2-4)(3x^2+4) $$
در اینجا عامل \(3x^2-4\) ممکن است بسته به مجموعه ضرایب مورد نظر، دوباره بررسی شود؛ بنابراین مفهوم «تجزیه کامل» به مجموعهای که ضرایب را از آن انتخاب میکنیم نیز وابسته است.
برای یادگیری نظاممند این الگوها، مطالعه تجزیه با اتحادها مفید است.
روش چهارم: تجزیه سهجملهایهای ساده
سهجملهای درجه دوم به شکل
$$ x^2+bx+c $$
در صورتی که بتوان دو عدد \(m\) و \(n\) پیدا کرد که
$$ m+n=b $$
و
$$ mn=c $$
باشد، آنگاه:
$$ x^2+bx+c=(x+m)(x+n) $$
مثال
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ x^2+7x+12 $$
دو عددی میخواهیم که مجموعشان \(7\) و حاصلضربشان \(12\) باشد. این دو عدد \(3\) و \(4\) هستند:
$$ 3+4=7 $$
و
$$ 3\times4=12 $$
پس:
$$ x^2+7x+12=(x+3)(x+4) $$
مثال با علامت منفی
عبارت زیر را در نظر بگیرید:
$$ x^2-x-12 $$
دو عدد باید مجموعشان \(-1\) و حاصلضربشان \(-12\) باشد. این دو عدد \(3\) و \(-4\) هستند:
$$ 3+(-4)=-1 $$
و
$$ 3(-4)=-12 $$
بنابراین:
$$ x^2-x-12=(x+3)(x-4) $$
تجزیه سهجملهایهای عمومی
همه سهجملهایها به شکل \(x^2+bx+c\) نیستند. شکل عمومیتر آنها عبارت است از:
$$ ax^2+bx+c $$
که در آن \(a\neq0\).
در این حالت میتوان از روشهایی مانند تجزیه با آزمون عاملها، تجزیه به روش \(ac\)، یا گروهبندی استفاده کرد.
مثال
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 6x^2+11x+3 $$
حاصلضرب ضریب اول و جمله ثابت برابر است با:
$$ ac=6\times3=18 $$
دو عدد میخواهیم که حاصلضربشان \(18\) و مجموعشان \(11\) باشد. این دو عدد \(9\) و \(2\) هستند.
جمله میانی را به دو جمله تقسیم میکنیم:
$$ 6x^2+9x+2x+3 $$
اکنون گروهبندی:
$$ (6x^2+9x)+(2x+3) $$
عامل مشترک هر گروه را خارج میکنیم:
$$ 3x(2x+3)+1(2x+3) $$
در نتیجه:
$$ (3x+1)(2x+3) $$
بنابراین:
$$ 6x^2+11x+3=(3x+1)(2x+3) $$
روش پنجم: تجزیه سهجملهای مربع کامل
دو اتحاد مهم برای مربع کامل عبارتاند از:
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
و
$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$
پس اگر یک سهجملهای از این الگو پیروی کند، میتوان آن را به مربع یک دوجملهای تبدیل کرد.
مثال
$$ x^2+10x+25 $$
چون
$$ 25=5^2 $$
و جمله میانی برابر \(2(x)(5)=10x\) است، بنابراین:
$$ x^2+10x+25=(x+5)^2 $$
مثال با علامت منفی
$$ 4x^2-12x+9 $$
داریم:
$$ 4x^2=(2x)^2 $$
و
$$ 9=3^2 $$
همچنین:
$$ -2(2x)(3)=-12x $$
پس:
$$ 4x^2-12x+9=(2x-3)^2 $$
روش ششم: تجزیه مجموع و تفاضل مکعبها
دو اتحاد مهم دیگر عبارتاند از:
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$
و
$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$
مثال مجموع مکعبها
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ x^3+8 $$
چون
$$ 8=2^3 $$
داریم:
$$ x^3+8=x^3+2^3 $$
با استفاده از اتحاد مجموع مکعبها:
$$ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) $$
مثال تفاضل مکعبها
$$ 27x^3-1 $$
را میتوان به صورت
$$ (3x)^3-1^3 $$
نوشت. بنابراین:
$$ 27x^3-1=(3x-1)(9x^2+3x+1) $$
روش هفتم: تجزیه با ترکیب چند روش
در مسائل واقعی، معمولاً لازم است چند روش را پشت سر هم به کار ببریم.
مثال
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 2x^4-50x^2 $$
ابتدا عامل مشترک را خارج میکنیم:
$$ 2x^2(x^2-25) $$
عبارت داخل پرانتز تفاوت دو مربع است:
$$ x^2-25=(x-5)(x+5) $$
پس:
$$ 2x^4-50x^2=2x^2(x-5)(x+5) $$
این مثال نشان میدهد که تشخیص یک الگو نباید باعث شود مرحله بررسی عامل مشترک را نادیده بگیریم.
تجزیه با استفاده از قضیه عامل
در چندجملهایهای درجه بالاتر، همیشه نمیتوان با نگاه کردن به عبارت مستقیماً عوامل را پیدا کرد. در این حالت، ریشههای چندجملهای میتوانند راهنمای تجزیه باشند.
قضیه عامل میگوید برای چندجملهای \(f(x)\):
$$ f(c)=0 $$
اگر و تنها اگر
$$ x-c $$
عامل \(f(x)\) باشد.
این قضیه ارتباط مستقیمی میان ریشههای چندجملهای و عاملهای خطی آن برقرار میکند.
مثال
فرض کنید:
$$ f(x)=x^3-6x^2+11x-6 $$
میخواهیم آن را تجزیه کنیم.
عدد \(1\) را آزمایش میکنیم:
$$ f(1)=1-6+11-6=0 $$
پس طبق قضیه عامل، \(x-1\) عامل چندجملهای است.
تقسیم چندجملهای بر \(x-1\) یا تقسیم ترکیبی نتیجه میدهد:
$$ f(x)=(x-1)(x^2-5x+6) $$
سهجملهای باقیمانده نیز تجزیه میشود:
$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $$
بنابراین:
$$ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3) $$
تجزیه چندجملهای و ریشههای معادله
یکی از مهمترین کاربردهای تجزیه، حل معادلات است.
فرض کنید:
$$ x^2-5x+6=0 $$
با تجزیه داریم:
$$ (x-2)(x-3)=0 $$
طبق خاصیت حاصلضرب صفر، اگر حاصلضرب دو عبارت صفر باشد، حداقل یکی از عوامل صفر است. بنابراین:
$$ x-2=0 $$
یا
$$ x-3=0 $$
در نتیجه:
$$ x=2 $$
یا
$$ x=3 $$
به همین دلیل تجزیه یکی از روشهای اساسی حل معادلات چندجملهای است.
فرمولهای مهم تجزیه چندجملهای
| الگو |
فرمول |
| عامل مشترک |
\(ab+ac=a(b+c)\) |
| مربع مجموع |
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) |
| مربع تفاضل |
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) |
| تفاوت مربعها |
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) |
| مجموع مکعبها |
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) |
| تفاضل مکعبها |
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) |
چگونه روش مناسب تجزیه را انتخاب کنیم؟
برای انتخاب روش، ابتدا به شکل ظاهری چندجملهای توجه کنید.
- یک عامل مشترک بین همه جملهها وجود دارد؟ ابتدا آن را خارج کنید.
- دو جمله وجود دارد؟ تفاوت مربعها یا مجموع و تفاضل مکعبها را بررسی کنید.
- سه جمله وجود دارد؟ مربع کامل یا تجزیه سهجملهای را بررسی کنید.
- چهار جمله وجود دارد؟ گروهبندی را امتحان کنید.
- درجه چندجملهای زیاد است؟ از ریشههای احتمالی، قضیه عامل و تقسیم ترکیبی کمک بگیرید.
نکته مهم این است که این مراحل یک قانون مطلق برای تمام چندجملهایها نیستند؛ بلکه یک راهبرد عملی برای تشخیص الگو هستند. بعضی چندجملهایها ممکن است بیش از یک روش تجزیه داشته باشند.
مثال ترکیبی از چندجملهای درجه چهار
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ x^4-5x^2+4 $$
این عبارت را میتوان نسبت به \(x^2\) مانند یک سهجملهای درجه دوم دید. اگر
$$ u=x^2 $$
قرار دهیم، عبارت به شکل زیر درمیآید:
$$ u^2-5u+4 $$
این سهجملهای به صورت زیر تجزیه میشود:
$$ (u-1)(u-4) $$
با جایگزینی \(u=x^2\):
$$ (x^2-1)(x^2-4) $$
هر دو عامل تفاوت دو مربع هستند:
$$ x^2-1=(x-1)(x+1) $$
و
$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$
پس تجزیه کامل برابر است با:
$$ x^4-5x^2+4=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) $$
مثال پیشرفته: عامل مشترک و گروهبندی
چندجملهای زیر را در نظر بگیرید:
$$ 6x^3+9x^2-4x-6 $$
عامل مشترک بین همه جملهها وجود ندارد. عبارت را به دو گروه تقسیم میکنیم:
$$ (6x^3+9x^2)+(-4x-6) $$
از گروه اول \(3x^2\) و از گروه دوم \(-2\) خارج میکنیم:
$$ 3x^2(2x+3)-2(2x+3) $$
اکنون عامل مشترک \(2x+3\) را خارج میکنیم:
$$ (2x+3)(3x^2-2) $$
پس:
$$ 6x^3+9x^2-4x-6=(2x+3)(3x^2-2) $$
آیا هر چندجملهای قابل تجزیه است؟
پاسخ به این پرسش به مجموعه ضرایب و معنای «قابل تجزیه» بستگی دارد.
برای مثال:
$$ x^2-2 $$
روی اعداد صحیح یا گویا به عوامل خطی با ضریب گویا تجزیه نمیشود، زیرا ریشههای آن \( \sqrt{2} \) و \(-\sqrt{2}\) هستند. اما روی اعداد حقیقی میتوان نوشت:
$$ x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) $$
این نکته نشان میدهد که تجزیه همیشه باید همراه با مشخص کردن مجموعه ضرایب مورد نظر تفسیر شود.
در سطح مقدماتی مدرسه معمولاً ضرایب صحیح یا گویا و عاملهایی با همان نوع ضرایب مدنظر هستند؛ در جبر مجرد، مفهوم تجزیهپذیری بهصورت دقیقتر نسبت به یک میدان یا حلقه تعریف میشود.
قضیه بنیادی جبر و تجزیه
در دستگاه اعداد مختلط، هر چندجملهای ناصفر درجه \(n\) را میتوان به صورت حاصلضرب \(n\) عامل خطی، با احتساب تکرار ریشهها، نوشت.
به صورت نمادین، اگر \(f(x)\) چندجملهای درجه \(n\) با ضریب پیشرو \(a_n\neq0\) باشد، آنگاه روی اعداد مختلط:
$$ f(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n) $$
ریشهها \(r_1,\ldots,r_n\) ممکن است تکراری باشند.
این نتیجه، صورت مهمی از قضیه بنیادی جبر است و نشان میدهد که چندجملهایها روی اعداد مختلط در نهایت به عوامل خطی تجزیه میشوند. با این حال، در مسائل مدرسهای معمولاً هدف تجزیه روی اعداد صحیح، گویا یا حقیقی است و ممکن است چندجملهای در آن دستگاه به عوامل خطی تجزیه نشود.
اشتباهات رایج در تجزیه چندجملهای
۱. نادیده گرفتن عامل مشترک
مثلاً در
$$ 6x^3-24x $$
اگر مستقیماً به دنبال یک اتحاد خاص باشیم، ممکن است ساختار اصلی عبارت را از دست بدهیم. ابتدا باید عامل مشترک \(6x\) بررسی شود:
$$ 6x(x^2-4) $$
و سپس:
$$ 6x(x-2)(x+2) $$
۲. اشتباه گرفتن مجموع مربعها با تفاوت مربعها
اتحاد
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$
برای تفاضل مربعهاست، نه مجموع آنها.
در اعداد حقیقی، عبارت \(a^2+b^2\) به طور کلی به عاملهای خطی حقیقی تجزیه نمیشود.
۳. اشتباه در علامتهای اتحاد مکعبها
باید توجه کرد که:
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$
اما:
$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$
علامت جمله میانی در دو فرمول متفاوت است.
۴. توقف پیش از تجزیه کامل
برای مثال:
$$ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) $$
این هنوز تجزیه کامل روی اعداد حقیقی نیست، زیرا:
$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$
بنابراین:
$$ x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4) $$
۵. کنترل نکردن پاسخ
یکی از مطمئنترین روشهای کنترل تجزیه، ضرب کردن عوامل بهدستآمده است. اگر حاصل دقیقاً به چندجملهای اولیه برنگردد، در تجزیه خطایی رخ داده است.
کاربردهای تجزیه چندجملهای
- حل معادلات درجه دوم و چندجملهای
- یافتن ریشهها و صفرهای تابع چندجملهای
- سادهسازی عبارتهای جبری
- سادهسازی کسرهای جبری و عبارتهای گویا
- تحلیل علامت عبارتها
- بررسی نقاط برخورد نمودار تابع چندجملهای با محور \(x\)
- حل برخی مسائل هندسی و کاربردی
- مطالعه ساختار چندجملهایها در جبر دانشگاهی
نکات مهم برای حل سریعتر مسائل
- قبل از هر کاری بزرگترین عامل مشترک را بررسی کنید.
- به تعداد جملههای عبارت توجه کنید.
- در دوجملهایها تفاوت مربعها و مجموع یا تفاضل مکعبها را جستوجو کنید.
- در سهجملهایها مربع کامل و عوامل عددی مناسب را بررسی کنید.
- در عبارتهای چهار جملهای، گروهبندی را امتحان کنید.
- پس از هر تجزیه، دوباره امکان تجزیه عاملهای جدید را بررسی کنید.
- در چندجملهایهای درجه بالاتر، ریشههای احتمالی و قضیه عامل ابزارهای مهمی هستند.
- در پایان، پاسخ را با ضرب عوامل کنترل کنید.
تفاوت تجزیه چندجملهای با سادهسازی عبارت
سادهسازی و تجزیه یکسان نیستند. در سادهسازی ممکن است هدف کاهش تعداد جملهها یا انجام عملیات ممکن باشد، اما در تجزیه هدف اصلی تبدیل عبارت به حاصلضرب عوامل است.
برای نمونه:
$$ 2x+4 $$
با خارج کردن عامل مشترک به صورت
$$ 2(x+2) $$
تجزیه شده است؛ اما این فرایند را نباید صرفاً «سادهسازی» به معنای عمومی آن دانست. ساختار حاصلضرب اکنون برای مراحل بعدی مانند حل معادله یا سادهسازی کسرها مفیدتر است.
جمعبندی
تجزیه چندجملهای یعنی تبدیل یک چندجملهای به حاصلضرب عوامل سادهتر. مهمترین روشهای آن عبارتاند از خارج کردن عامل مشترک، گروهبندی، تجزیه سهجملهایها، مربعهای کامل، تفاوت مربعها و مجموع و تفاضل مکعبها.
راهبرد مناسب این است که ابتدا عامل مشترک بررسی شود و سپس بر اساس تعداد جملهها و ساختار عبارت، الگوی مناسب انتخاب شود. در چندجملهایهای درجه بالاتر نیز میتوان از ریشهها، قضیه عامل و تقسیم ترکیبی کمک گرفت.
مهمترین نکته این است که تجزیه یک فرایند الگویی صرف نیست؛ تشخیص ساختار عبارت نقش اساسی دارد. همچنین هر تجزیه باید در پایان کنترل شود تا مشخص شود عوامل بهدستآمده واقعاً چندجملهای اولیه را تولید میکنند.
موضوعات مرتبط
منابع
- OpenStax، Factoring Polynomials، در کتاب Algebra and Trigonometry. این منبع روشهای عامل مشترک، سهجملهایها، گروهبندی، مربع کامل، تفاوت مربعها و مجموع و تفاضل مکعبها را بررسی میکند.
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
مشاهده منبع در OpenStax
- OpenStax، General Strategy for Factoring Polynomials، در کتاب Elementary Algebra 2e. این منبع راهبرد مرحلهای برای انتخاب روش مناسب تجزیه و بررسی تجزیه کامل را ارائه میکند.
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
مشاهده منبع در OpenStax
- OpenStax، Dividing Polynomials، بخش قضیه باقیمانده و قضیه عامل. این منبع رابطه میان مقدار یک چندجملهای در یک عدد، باقیمانده تقسیم و عامل خطی را توضیح میدهد.
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
مشاهده منبع در OpenStax
- Mathematics LibreTexts، Factoring Polynomials، در منبع دانشگاهی Rings with Inquiry. این منبع تعریف دقیق تجزیهپذیری و قضیه عامل را در چارچوب چندجملهایها بررسی میکند.
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
- Mathematics LibreTexts، Factoring polynomials، از متن دانشگاهی نوشته Isaiah Lankham، Anne Schilling و Bruno Nachtergaele. این منبع ارتباط تجزیه چندجملهای با قضیه بنیادی جبر و تجزیه به عوامل خطی روی اعداد مختلط را بررسی میکند.
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
این مقاله در سایت علمی رایشمند منتشر شده است. خوشحال میشویم اگر دیدگاه و
نظر خود را درباره این موضوع با ما و دیگر خوانندگان در میان بگذارید.