مقدمه
تجزیه چندجملهای فرایندی معکوسِ ضرب و بسط عبارتهای جبری است. در بسط، چند عامل در یکدیگر ضرب میشوند و یک چندجملهای به دست میآید؛ در تجزیه، همین چندجملهای را به صورت حاصلضرب عاملهای سادهتر مینویسیم.
برخی چندجملهایها با یک نگاه و با استفاده از یک اتحاد شناختهشده تجزیه میشوند، اما در مسائل مهمتر معمولاً یک روش بهتنهایی کافی نیست. برای مثال، ممکن است ابتدا لازم باشد بزرگترین عامل مشترک را خارج کنیم و سپس عبارت باقیمانده را با اتحاد مربع کامل یا تفاضل دو مربع تجزیه کنیم. در مسئلهای دیگر، ابتدا گروهبندی انجام میشود و عامل مشترک حاصل از گروهها، امکان استفاده از یک روش دیگر را فراهم میکند.
به همین دلیل، «روشهای ترکیبی تجزیه» را بهتر است یک روش مستقل و جدا از سایر روشها ندانیم؛ بلکه آن را یک راهبرد مرحلهای برای ترکیب چند تکنیک تجزیه بدانیم. منابع آموزشی معتبر نیز در راهبرد عمومی تجزیه، بررسی بزرگترین عامل مشترک را در ابتدای کار قرار میدهند و سپس شکل چندجملهای را برای انتخاب روش مناسب بررسی میکنند. :contentReference[oaicite:0]{index=0}
در این مقاله، تمرکز بر تشخیص ساختار عبارت و ترکیب صحیح روشهاست؛ یعنی یاد میگیریم بعد از هر مرحله دوباره عبارت حاصل را بررسی کنیم تا ببینیم آیا روش دیگری میتواند تجزیه را ادامه دهد یا خیر.
پیشنیازها
برای فهم این موضوع، آشنایی با چند مفهوم پایه کافی است:
- عبارت جبری و چندجملهای
- جمله و ضریب یک چندجملهای
- عامل مشترک و بزرگترین عامل مشترک
- قوانین توزیع و ضرب عبارتهای جبری
- اتحادهای جبری، بهویژه مربع دوجملهای و تفاضل دو مربع
- گروهبندی جملهها
اگر با مفهوم کلی تجزیه آشنا نیستید، میتوانید ابتدا مقاله تجزیه چندجملهای را مطالعه کنید.
تعریف دقیق روشهای ترکیبی تجزیه
روشهای ترکیبی تجزیه به مجموعهای از راهبردهای مرحلهای گفته میشود که در آن برای تجزیه کامل یک چندجملهای، دو یا چند تکنیک تجزیه به ترتیب یا به صورت توأم به کار میروند.
برای نمونه، در عبارت زیر ابتدا عامل مشترک خارج میشود:
$$ 12x^3-48x=12x(x^2-4) $$
اما کار هنوز تمام نشده است؛ زیرا عبارت داخل پرانتز خود یک تفاضل دو مربع است:
$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$
بنابراین تجزیه کامل برابر است با:
$$ 12x^3-48x=12x(x-2)(x+2) $$
این مثال نشان میدهد که یک مسئله میتواند به چند مرحله متوالی نیاز داشته باشد.
راهبرد عمومی برای تجزیه چندجملهای
پیش از انتخاب یک اتحاد یا روش خاص، بهتر است عبارت را از نظر ساختار بررسی کنیم. یک راهبرد عملی را میتوان به صورت زیر خلاصه کرد:
- ابتدا بزرگترین عامل مشترک همه جملهها را بررسی کنید.
- اگر عامل مشترکی وجود دارد، آن را خارج کنید.
- عبارت باقیمانده را دوباره بررسی کنید.
- تعداد جملهها و الگوی عبارت را تشخیص دهید.
- اگر عبارت دو جملهای است، اتحادهای تفاضل دو مربع یا مجموع و تفاضل مکعبها را بررسی کنید.
- اگر عبارت سه جملهای است، مربع کامل یا روش مناسب تجزیه سهجملهای را بررسی کنید.
- اگر عبارت چهار جملهای یا بیشتر است، گروهبندی یا ترکیب چند روش را بررسی کنید.
- پس از هر مرحله، امکان تجزیه بیشتر را بررسی کنید.
- در پایان، حاصل را با ضرب عوامل کنترل کنید.
این ترتیب با راهبرد عمومی ارائهشده در منابع آموزشی دانشگاهی مانند OpenStax همخوان است: ابتدا عامل مشترک بررسی میشود، سپس شکل عبارت تعیینکننده روش بعدی است و در پایان کامل بودن تجزیه بررسی میشود. :contentReference[oaicite:1]{index=1}
ترکیب عامل مشترک با اتحادها
یکی از رایجترین روشهای ترکیبی این است که ابتدا بزرگترین عامل مشترک را خارج کنیم و سپس از یک اتحاد برای تجزیه عبارت باقیمانده استفاده کنیم.
مثال ۱: عامل مشترک و تفاضل دو مربع
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 18x^3-50x $$
مرحله اول: پیدا کردن عامل مشترک
بزرگترین عامل مشترک دو جمله \(18x^3\) و \(50x\)، برابر با \(2x\) است. بنابراین:
$$ 18x^3-50x=2x(9x^2-25) $$
اکنون عبارت داخل پرانتز را بررسی میکنیم. داریم:
$$ 9x^2-25=(3x)^2-5^2 $$
پس از اتحاد تفاضل دو مربع استفاده میکنیم:
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$
در نتیجه:
$$ 9x^2-25=(3x-5)(3x+5) $$
بنابراین تجزیه کامل برابر است با:
$$ 18x^3-50x=2x(3x-5)(3x+5) $$
این الگو بسیار مهم است: عامل مشترک ← اتحاد ← بررسی امکان تجزیه بیشتر.
ترکیب عامل مشترک با مربع کامل
اتحادهای مربع کامل به شکل زیر هستند:
$$ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $$ $$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $$
اگر یک چندجملهای ابتدا عامل مشترک داشته باشد، باید پیش از تشخیص مربع کامل، آن عامل را بررسی کنیم.
مثال ۲: عامل مشترک و مربع کامل
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 12x^2+24x+12 $$
بزرگترین عامل مشترک سه جمله برابر \(12\) است:
$$ 12x^2+24x+12=12(x^2+2x+1) $$
اکنون عبارت داخل پرانتز یک مربع کامل است:
$$ x^2+2x+1=(x+1)^2 $$
پس:
$$ 12x^2+24x+12=12(x+1)^2 $$
منابع آموزشی OpenStax نیز تأکید میکنند که ممکن است یک چندجملهای پیش از تشخیص مربع کامل دارای عامل مشترک باشد و بهتر است عامل مشترک ابتدا خارج شود. :contentReference[oaicite:2]{index=2}
ترکیب مربع کامل و تفاضل دو مربع
گاهی یک چندجملهای چهار جملهای مستقیماً یک اتحاد شناختهشده نیست، اما بخشی از آن میتواند به صورت مربع کامل نوشته شود و سپس کل عبارت به تفاضل دو مربع تبدیل شود.
مثال ۳: یک تجزیه چندمرحلهای
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ x^2-6x+9-y^2 $$
سه جمله اول یک مربع کامل هستند:
$$ x^2-6x+9=(x-3)^2 $$
پس عبارت به صورت زیر درمیآید:
$$ (x-3)^2-y^2 $$
اکنون این عبارت تفاضل دو مربع است. بنابراین:
$$ (x-3)^2-y^2=((x-3)-y)((x-3)+y) $$
با سادهسازی:
$$ x^2-6x+9-y^2=(x-y-3)(x+y-3) $$
این نمونه نشان میدهد که گاهی برای رسیدن به یک اتحاد، ابتدا باید بخشی از عبارت را با اتحاد دیگری بازنویسی کنیم. چنین ترکیبهایی در تجزیه چندجملهایها اهمیت زیادی دارند. :contentReference[oaicite:3]{index=3}
ترکیب گروهبندی و عامل مشترک
گروهبندی معمولاً برای چندجملهایهایی با چهار جمله به کار میرود. ایده اصلی این است که جملهها را به گروههایی تقسیم کنیم، از هر گروه عامل مشترک بگیریم و در صورت امکان، یک عامل مشترک جدید بین گروهها ایجاد کنیم.
هویت بنیادی گروهبندی را میتوان چنین نوشت:
$$ ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d) $$
در عمل، این رابطه از سمت چپ به راست برای تجزیه استفاده میشود. روش گروهبندی برای چندجملهایهای چهار جملهای یکی از روشهای استاندارد تجزیه است. :contentReference[oaicite:4]{index=4}
مثال ۴: گروهبندی و عامل مشترک
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ x^3+3x^2+2x+6 $$
جملهها را دو به دو گروهبندی میکنیم:
$$ (x^3+3x^2)+(2x+6) $$
از گروه اول \(x^2\) و از گروه دوم \(2\) خارج میکنیم:
$$ x^2(x+3)+2(x+3) $$
اکنون \((x+3)\) عامل مشترک دو گروه است:
$$ (x+3)(x^2+2) $$
بنابراین:
$$ x^3+3x^2+2x+6=(x+3)(x^2+2) $$
در این مثال، گروهبندی باعث شد یک عامل مشترک جدید ظاهر شود.
گروهبندی با انتخاب مناسب علامتها
یکی از دشوارترین بخشهای گروهبندی این است که همیشه یک تقسیمبندی ظاهری، به عامل مشترک مشترک بین گروهها منجر نمیشود. در چنین مواردی باید ترتیب یا علامت گروهها را تغییر داد.
مثال ۵
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ x^3-x^2-9x+9 $$
گروهبندی مناسب:
$$ (x^3-x^2)+(-9x+9) $$
از گروه اول \(x^2\) و از گروه دوم \(-9\) خارج میکنیم:
$$ x^2(x-1)-9(x-1) $$
اکنون عامل مشترک \((x-1)\) است:
$$ (x-1)(x^2-9) $$
عبارت باقیمانده تفاضل دو مربع است:
$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$
پس تجزیه کامل:
$$ x^3-x^2-9x+9=(x-1)(x-3)(x+3) $$
در اینجا سه تکنیک پشت سر هم استفاده شد: گروهبندی، خارج کردن عامل مشترک و تفاضل دو مربع.
ترکیب اتحاد مکعبها با تجزیه بیشتر
دو اتحاد مهم دیگر برای تجزیه عبارتهای دو جملهای عبارتاند از مجموع مکعبها و تفاضل مکعبها:
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$ $$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$
این اتحادها زمانی قابل استفادهاند که هر دو جمله، مکعب کامل باشند. :contentReference[oaicite:5]{index=5}
مثال ۶: عامل مشترک و مجموع مکعبها
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 2x^3+16 $$
ابتدا عامل مشترک \(2\) را خارج میکنیم:
$$ 2x^3+16=2(x^3+8) $$
اکنون:
$$ x^3+8=x^3+2^3 $$
با استفاده از اتحاد مجموع مکعبها:
$$ x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4) $$
در نتیجه:
$$ 2x^3+16=2(x+2)(x^2-2x+4) $$
عامل درجهدوم حاصل در این مثال روی اعداد حقیقی به عاملهای درجهاول تبدیل نمیشود؛ بنابراین این فرم را میتوان تجزیه مناسب و کامل در نظر گرفت.
ترکیب چند روش در یک مسئله
در مسائل دشوارتر ممکن است چهار یا حتی چند مرحله لازم باشد. نکته مهم این است که بعد از هر مرحله، عبارت جدید را دوباره از ابتدا بررسی کنیم.
مثال ۷: تجزیه چندمرحلهای کامل
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 4x^4-36x^2 $$
مرحله اول: عامل مشترک
$$ 4x^4-36x^2=4x^2(x^2-9) $$
مرحله دوم: تشخیص تفاضل دو مربع
$$ x^2-9=x^2-3^2 $$
بنابراین:
$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$
پس:
$$ 4x^4-36x^2=4x^2(x-3)(x+3) $$
اگر بخواهیم عامل عددی را نیز به صورت مربع بنویسیم، میتوانیم بنویسیم:
$$ 4x^2(x-3)(x+3)=(2x)^2(x-3)(x+3) $$
تجزیه در این مرحله کامل است.
ترکیب عامل مشترک، مربع کامل و تفاضل دو مربع
مثال ۸: مسئله ترکیبی دشوارتر
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 4x^3-24x^2+36x $$
ابتدا عامل مشترک را خارج میکنیم:
$$ 4x(x^2-6x+9) $$
عبارت داخل پرانتز مربع کامل است:
$$ x^2-6x+9=(x-3)^2 $$
بنابراین:
$$ 4x^3-24x^2+36x=4x(x-3)^2 $$
این مثال نشان میدهد که گاهی ترکیب روشها باعث میشود یک عبارت نسبتاً پیچیده به حاصلضرب چند عامل بسیار ساده تبدیل شود.
ترکیب گروهبندی و مربع کامل
گاهی گروهبندی به عبارتی منجر میشود که خود یک مربع کامل یا اتحاد دیگری است.
مثال ۹
عبارت زیر را بررسی کنید:
$$ x^3+2x^2+x+2 $$
با گروهبندی:
$$ (x^3+2x^2)+(x+2) $$
عامل مشترک هر گروه:
$$ x^2(x+2)+(x+2) $$
اکنون:
$$ (x+2)(x^2+1) $$
در اینجا \(x^2+1\) روی اعداد حقیقی به عاملهای خطی تجزیه نمیشود. بنابراین تجزیه کامل روی اعداد حقیقی همین است.
تجزیه کامل یعنی چه؟
هدف همیشه این نیست که عبارت را فقط یک بار تجزیه کنیم. باید بررسی کنیم آیا عوامل بهدستآمده خودشان نیز قابل تجزیه هستند یا خیر.
برای مثال:
$$ x^4-16 $$
در نگاه اول، این عبارت تفاضل دو مربع است:
$$ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) $$
اما \(x^2-4\) نیز قابل تجزیه است:
$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$
بنابراین:
$$ x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4) $$
اگر در یک دستگاه عددی مشخص، \(x^2+4\) نیز قابل تجزیه باشد، باید آن مرحله را هم در نظر گرفت. بنابراین «کامل بودن» تجزیه به دستگاه عددی مورد نظر نیز وابسته است.
فرمولها و اتحادهای مهم در روشهای ترکیبی
عامل مشترک
اگر \(k\) عامل مشترک جملهها باشد:
$$ ka+kb=k(a+b) $$
در تجزیه چندجملهای، بزرگترین عامل مشترک معمولاً نخستین چیزی است که باید بررسی شود.
مربع مجموع و مربع تفاضل
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$
در جهت معکوس، این دو رابطه برای تشخیص و تجزیه سهجملهایهای مربع کامل استفاده میشوند. :contentReference[oaicite:6]{index=6}
تفاضل دو مربع
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$
این اتحاد فقط برای تفاضل دو مربع است. مجموع دو مربع، به طور کلی روی اعداد حقیقی با همین الگو تجزیه نمیشود. :contentReference[oaicite:7]{index=7}
مجموع مکعبها
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$
تفاضل مکعبها
$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$
در هر دو اتحاد، علامت عامل دوجملهای با علامت عبارت اصلی یکسان است و علامت جمله میانی عامل سهجملهای مخالف آن است. :contentReference[oaicite:8]{index=8}
مثال ترکیبی جامع
مثال ۱۰
عبارت زیر را به طور کامل تجزیه کنید:
$$ 6x^4-54x^2 $$
مرحله ۱: عامل مشترک
$$ 6x^4-54x^2=6x^2(x^2-9) $$
مرحله ۲: تشخیص تفاضل دو مربع
$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$
مرحله ۳: نوشتن پاسخ نهایی
$$ 6x^4-54x^2=6x^2(x-3)(x+3) $$
در این مثال، اگر فقط اتحاد تفاضل دو مربع را ببینیم، ممکن است عامل مشترک \(6x^2\) را از دست بدهیم. اگر فقط عامل مشترک را خارج کنیم و بررسی را متوقف کنیم نیز تجزیه کامل انجام نشده است.
چگونه روش مناسب را سریع تشخیص دهیم؟
| شکل عبارت |
بررسی پیشنهادی |
روش محتمل |
| همه جملهها عامل مشترک دارند |
بزرگترین عامل مشترک |
خارج کردن عامل مشترک |
| دو جمله و علامت منفی |
آیا هر دو جمله مربع کاملاند؟ |
تفاضل دو مربع |
| دو جمله و توان سوم |
آیا هر دو جمله مکعب کاملاند؟ |
مجموع یا تفاضل مکعبها |
| سه جمله |
آیا جمله اول و آخر مربع کاملاند؟ |
مربع کامل یا روش تجزیه سهجملهای |
| چهار جمله |
آیا میتوان دو گروه ساخت؟ |
گروهبندی |
| عبارت چندمرحلهای |
بعد از هر مرحله دوباره بررسی شود |
ترکیب چند روش |
این جدول یک دستور مکانیکی مطلق نیست؛ بلکه یک راهنمای تشخیص الگو است. در راهبردهای استاندارد تجزیه نیز پس از خارج کردن عامل مشترک، شکل عبارت برای انتخاب روش بعدی بررسی میشود. :contentReference[oaicite:9]{index=9}
اشتباهات رایج
۱. توقف بعد از خارج کردن عامل مشترک
مثلاً در عبارت:
$$ x^3-9x $$
اگر بنویسیم:
$$ x(x^2-9) $$
هنوز تجزیه کامل نشده است، زیرا:
$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$
بنابراین پاسخ کامل:
$$ x(x-3)(x+3) $$
۲. اشتباه گرفتن مجموع دو مربع با تفاضل دو مربع
اتحاد زیر صحیح است:
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$
اما نمیتوان به طور کلی نوشت:
$$ a^2+b^2=(a+b)(a-b) $$
چنین تبدیلی نادرست است؛ حاصل طرف راست برابر \(a^2-b^2\) خواهد بود، نه \(a^2+b^2\).
۳. استفاده نادرست از اتحاد مکعبها
در مجموع مکعبها:
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$
علامت جمله میانی منفی است. در تفاضل مکعبها:
$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$
علامت جمله میانی مثبت است.
۴. گروهبندی بدون بررسی عامل مشترک حاصل
هدف گروهبندی صرفاً تقسیم جملهها به دو دسته نیست. باید این تقسیمبندی به عاملی مشترک در گروههای حاصل منجر شود. اگر چنین عاملی ایجاد نشد، گروهبندی دیگری را امتحان کنید.
۵. بررسی نکردن نتیجه با ضرب
یکی از مطمئنترین راههای کنترل تجزیه، ضرب کردن عوامل و مقایسه نتیجه با عبارت اولیه است. منابع آموزشی استاندارد نیز ضرب مجدد عوامل را به عنوان مرحله کنترل نهایی توصیه میکنند. :contentReference[oaicite:10]{index=10}
نکات مهم برای حل سریعتر
- قبل از هر اتحاد، عامل مشترک را بررسی کنید.
- بعد از هر مرحله تجزیه، عبارت جدید را دوباره بررسی کنید.
- برای تشخیص مربع کامل، فقط مربع بودن جمله اول و آخر کافی نیست؛ جمله میانی نیز باید با الگوی \(2ab\) یا \(-2ab\) مطابقت داشته باشد.
- برای تفاضل دو مربع، وجود علامت منفی بین دو مربع ضروری است.
- در مجموع یا تفاضل مکعبها، ابتدا باید بتوانید هر دو جمله را به صورت مکعب کامل بنویسید.
- در گروهبندی، هدف ایجاد یک عامل مشترک جدید بین گروههاست.
- اگر یک روش جواب نداد، ساختار عبارت را دوباره بررسی کنید؛ ممکن است روش مناسب در مرحله قبلی پنهان شده باشد.
- تجزیه کامل را با ضرب مجدد کنترل کنید.
- در مسائل چندمرحلهای، ترتیب عملیات اهمیت دارد؛ یک عامل مشترک مناسب میتواند چند مرحله بعدی را بسیار ساده کند.
کاربردهای روشهای ترکیبی تجزیه
تجزیه چندجملهای فقط یک مهارت محاسباتی نیست. شکل حاصلضرب عبارتها در بسیاری از مباحث بعدی جبر اهمیت دارد.
- حل معادلات: پس از تبدیل یک معادله به حاصلضرب عوامل، میتوان از خاصیت حاصلضرب صفر استفاده کرد.
- سادهسازی عبارتهای گویا: تجزیه صورت و مخرج میتواند عوامل مشترک را آشکار کند.
- بررسی ریشههای چندجملهای: عوامل خطی اطلاعات مستقیمی درباره ریشهها ارائه میکنند.
- تحلیل توابع چندجملهای: فرم تجزیهشده برای بررسی نقاط صفر و ساختار تابع مفید است.
- حل مسائل هندسی: تجزیه میتواند در تبدیل عبارتهای مربوط به مساحت و حجم به فرمهای سادهتر استفاده شود.
جمعبندی
روشهای ترکیبی تجزیه زمانی اهمیت پیدا میکنند که یک چندجملهای با یک تکنیک منفرد به طور کامل تجزیه نشود. در چنین شرایطی، باید عبارت را مرحلهبهمرحله بررسی کرد.
راهبرد اصلی این است که ابتدا بزرگترین عامل مشترک را بررسی کنیم، سپس ساختار عبارت باقیمانده را تشخیص دهیم و از روش مناسب مانند گروهبندی، مربع کامل، تفاضل دو مربع یا مجموع و تفاضل مکعبها استفاده کنیم. پس از هر مرحله نیز باید امکان تجزیه بیشتر را بررسی کرد.
مهمترین مهارت در این نوع مسائل، حفظ کردن تعداد زیادی فرمول نیست؛ بلکه تشخیص الگو و انتخاب ترتیب مناسب روشها است. وقتی این مهارت شکل بگیرد، بسیاری از عبارتهای ظاهراً پیچیده را میتوان با چند گام ساده به حاصلضرب عوامل تبدیل کرد.
موضوعات مرتبط
منابع
- OpenStax، Elementary Algebra 2e — 7.5 General Strategy for Factoring Polynomials. این منبع راهبرد عمومی تجزیه چندجملهای، اولویت عامل مشترک، انتخاب روش بر اساس تعداد جملهها و کنترل نهایی را توضیح میدهد.
مشاهده منبع در OpenStax
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
- OpenStax، College Algebra 2e — 1.5 Factoring Polynomials. این فصل روشهای عامل مشترک، تجزیه سهجملهای، گروهبندی، مربع کامل، تفاضل دو مربع و مجموع و تفاضل مکعبها را پوشش میدهد.
مشاهده منبع در OpenStax
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
- OpenStax، Elementary Algebra 2e — 7.4 Factor Special Products. این منبع اتحادهای مربع کامل، تفاضل دو مربع و مجموع و تفاضل مکعبها را برای تجزیه بررسی میکند.
مشاهده منبع در OpenStax
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
- OpenStax، Algebra and Trigonometry — 1.5 Factoring Polynomials. این فصل روشهای مختلف تجزیه چندجملهای و کاربرد آنها را در قالب آموزش دانشگاهی ارائه میکند.
مشاهده منبع در OpenStax
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
- Mathematics LibreTexts، Factoring by Grouping، Roy Simpson، Cosumnes River College. این منبع تعریف تجزیه با گروهبندی و هویت جبری مورد استفاده در آن را توضیح میدهد.
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
تاریخ بررسی: ۲۸ مرداد ۱۴۰۵
این مقاله در سایت علمی رایشمند منتشر شده است. خوشحال میشویم اگر دیدگاه و
نظر خود را درباره این موضوع با ما و دیگر خوانندگان در میان بگذارید.