مقدمه
تجزیه یکی از فرایندهای اصلی در جبر است که به کمک آن میتوان یک عبارت جبری را به حاصلضرب عاملهای سادهتر تبدیل کرد. همانطور که در حساب معمولی عددی مانند \(12\) را میتوان به صورت \(3\times4\) نوشت، در جبر نیز یک چندجملهای ممکن است به صورت حاصلضرب چند عبارت سادهتر نوشته شود.
برای مثال، عبارت \(x^2-9\) را میتوان به صورت \((x-3)(x+3)\) نوشت. در این حالت، عبارت اولیه به دو عامل سادهتر تجزیه شده است.
تجزیه فقط یک روش محاسباتی نیست؛ بلکه ساختار درونی عبارت جبری را آشکار میکند. این ساختار در حل معادلات، سادهسازی عبارتهای گویا، یافتن ریشههای چندجملهای و بسیاری از مسائل دیگر کاربرد دارد.
منابع آموزشی دانشگاهی نیز تجزیه را به عنوان فرایند معکوس ضرب معرفی میکنند و برای انتخاب روش مناسب، ابتدا بررسی عامل مشترک و سپس بررسی شکل عبارت را توصیه میکنند. مشاهده مبحث تجزیه در OpenStax
تعریف تجزیه عبارتهای جبری
تجزیه عبارت جبری یعنی نوشتن یک عبارت به صورت حاصلضرب دو یا چند عامل سادهتر، به گونهای که حاصلضرب این عاملها با عبارت اولیه برابر باشد.
برای مثال:
$$ x^2+5x=x(x+5) $$
در اینجا عبارت \(x\) عامل اول و عبارت \((x+5)\) عامل دوم است.
اگر عبارت اصلی را با ضرب عاملها بازسازی کنیم، باید دوباره به عبارت اولیه برسیم:
$$ x(x+5)=x^2+5x $$
بنابراین میتوان تجزیه را نوعی «باز کردن ساختار» یک عبارت دانست؛ در حالی که ضرب و بسط، همین فرایند را در جهت معکوس انجام میدهند.
تفاوت تجزیه و بسط عبارتهای جبری
بسط و تجزیه دو فرایند معکوس یکدیگرند. در بسط، عاملها در یکدیگر ضرب میشوند و یک عبارت گستردهتر به دست میآید. در تجزیه، عبارت گسترده به صورت حاصلضرب عاملها نوشته میشود.
برای نمونه، بسط عبارت زیر:
$$ (x+2)(x+3)=x^2+5x+6 $$
و تجزیه همین رابطه در جهت مخالف است:
$$ x^2+5x+6=(x+2)(x+3) $$
به همین دلیل، توانایی ضرب چندجملهایها و شناخت اتحادهای جبری، پایه مهمی برای یادگیری تجزیه محسوب میشود.
مفاهیم بنیادی در تجزیه
عامل
عامل، عبارتی است که در ضرب عبارتهای دیگر شرکت میکند. برای مثال در رابطه
$$ 6x^2=2x(3x) $$
عبارتهای \(2x\) و \(3x\) عاملهای حاصلضرب هستند.
عامل مشترک
عامل مشترک عبارتی است که در تمام جملههای یک عبارت جبری وجود دارد. خارج کردن این عامل معمولاً نخستین مرحله در تجزیه است.
برای مثال:
$$ 6x^3+9x^2=3x^2(2x+3) $$
در اینجا \(3x^2\) عامل مشترک دو جمله است.
بزرگترین عامل مشترک
اگر چند عبارت عامل مشترک داشته باشند، معمولاً بهتر است بزرگترین عامل مشترک آنها خارج شود. منابع OpenStax نیز بررسی بزرگترین عامل مشترک را به عنوان گام نخست راهبرد عمومی تجزیه معرفی میکنند. مشاهده منبع OpenStax درباره عامل مشترک
تجزیه کامل
تجزیه یک عبارت زمانی کامل است که دیگر نتوان عاملهای غیرثابت آن را با روش مورد نظر به عاملهای سادهتر تجزیه کرد.
برای مثال:
$$ x^4-16 $$
ابتدا میتوان نوشت:
$$ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) $$
اما عامل اول هنوز قابل تجزیه است:
$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$
بنابراین تجزیه کامل عبارت برابر است با:
$$ x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4) $$
عامل \(x^2+4\) در مجموعه اعداد حقیقی دیگر به حاصلضرب دو عامل خطی حقیقی تجزیه نمیشود.
روشهای اصلی تجزیه عبارتهای جبری
برای تجزیه نمیتوان یک روش واحد را برای همه عبارتها به کار برد. شکل عبارت، تعداد جملهها، درجه چندجملهای و وجود الگوهای خاص تعیین میکنند که کدام روش مناسبتر است.
عامل مشترک
عامل مشترک معمولاً نخستین چیزی است که باید در یک مسئله تجزیه بررسی شود. اگر همه جملهها عامل مشترکی داشته باشند، آن عامل از عبارت خارج میشود.
برای مثال:
$$ 12x^3-18x^2+6x $$
بزرگترین عامل مشترک برابر با \(6x\) است؛ بنابراین:
$$ 12x^3-18x^2+6x=6x(2x^2-3x+1) $$
ممکن است عبارت داخل پرانتز نیز قابل تجزیه باشد. در این مثال:
$$ 2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1) $$
پس تجزیه کامل برابر است با:
$$ 12x^3-18x^2+6x=6x(2x-1)(x-1) $$
در نتیجه، خارج کردن عامل مشترک همیشه پایان کار نیست و باید عبارت باقیمانده نیز بررسی شود.
مطالعه بیشتر: عامل مشترک
گروهبندی
وقتی همه جملهها عامل مشترک واحدی ندارند، اما میتوان جملهها را به گروههایی تقسیم کرد که هر گروه عامل مشترک مناسبی داشته باشد، روش گروهبندی به کار میرود.
برای مثال:
$$ xy+3y+2x+6 $$
دو گروه مناسب انتخاب میکنیم:
$$ (xy+3y)+(2x+6) $$
از هر گروه عامل مشترک خارج میکنیم:
$$ y(x+3)+2(x+3) $$
اکنون \((x+3)\) عامل مشترک دو جمله است:
$$ (x+3)(y+2) $$
روش گروهبندی بهویژه برای عبارتهای چهار جملهای و برخی چندجملهایهای دیگر مفید است. مشاهده توضیح گروهبندی در Mathematics LibreTexts
مطالعه بیشتر: تجزیه با گروهبندی
تجزیه با اتحادها
برخی عبارتها دقیقاً از الگوهای شناختهشده اتحادهای جبری پیروی میکنند. در چنین شرایطی، تشخیص الگو میتواند تجزیه را بسیار سریع کند.
یکی از مهمترین نمونهها، تفاضل دو مربع است:
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$
برای مثال:
$$ 9x^2-25=(3x)^2-5^2 $$
بنابراین:
$$ 9x^2-25=(3x-5)(3x+5) $$
نمونه دیگر، مربع کامل است:
$$ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $$
و همچنین:
$$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $$
اتحادهای مربوط به مجموع و تفاضل مکعبها نیز در تجزیه کاربرد دارند:
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$ $$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$
منابع دانشگاهی، تفاضل دو مربع، مربع کامل و مجموع و تفاضل مکعبها را از الگوهای اصلی مورد استفاده در تجزیه معرفی میکنند. مشاهده مبحث تجزیه چندجملهایها در OpenStax
مطالعه بیشتر: تجزیه با اتحادها
تجزیه چندجملهایهای درجه دوم
یکی از مهمترین حالتهای تجزیه، چندجملهای درجه دوم است. شکل عمومی آن به صورت زیر است:
$$ ax^2+bx+c $$
اگر \(a=1\) باشد، یعنی عبارت به شکل
$$ x^2+bx+c $$
باشد، کافی است دو عدد پیدا کنیم که حاصلضرب آنها \(c\) و حاصل جمع آنها \(b\) باشد.
برای مثال:
$$ x^2+5x+6 $$
دو عدد \(2\) و \(3\) حاصلضربشان \(6\) و حاصل جمعشان \(5\) است. بنابراین:
$$ x^2+5x+6=(x+2)(x+3) $$
برای حالتی که ضریب جمله درجه دوم برابر با \(1\) نیست، روشهای دیگری مانند تجزیه با گروهبندی یا روش \(ac\) میتوانند به کار روند. مشاهده روش تجزیه چندجملهای درجه دوم در OpenStax
مطالعه بیشتر: تجزیه چندجملهای
روشهای ترکیبی تجزیه
در مسائل پیچیدهتر، معمولاً یک روش به تنهایی کافی نیست. ممکن است ابتدا عامل مشترک خارج شود، سپس یک اتحاد شناسایی شود و در مرحله بعد یکی از عاملهای حاصل دوباره تجزیه شود.
برای مثال:
$$ 3x^4-48 $$
ابتدا عامل مشترک \(3\) را خارج میکنیم:
$$ 3(x^4-16) $$
عبارت داخل پرانتز تفاضل دو مربع است:
$$ 3(x^4-4^2) $$
بنابراین:
$$ 3(x^2-4)(x^2+4) $$
عامل \(x^2-4\) نیز تفاضل دو مربع است:
$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$
پس:
$$ 3x^4-48=3(x-2)(x+2)(x^2+4) $$
این نوع مسئله نشان میدهد که تجزیه یک فرایند مرحلهای است و پس از هر مرحله باید بررسی شود که آیا عاملهای بهدستآمده دوباره قابل تجزیه هستند یا خیر.
مطالعه بیشتر: روشهای ترکیبی تجزیه
ساختار کلی روشهای تجزیه
روشهای مختلف تجزیه را میتوان بر اساس شکل عبارت دستهبندی کرد. این دستهبندی کمک میکند پیش از انجام محاسبات، مسیر مناسب را انتخاب کنیم.
| شکل یا ویژگی عبارت |
روش مناسب |
نشانه مهم |
| همه جملهها عامل مشترک دارند |
عامل مشترک |
وجود عامل یکسان در تمام جملهها |
| چند گروه دارای عامل مشترک هستند |
گروهبندی |
ظاهر شدن عامل مشترک پس از گروهبندی |
| تفاضل دو مربع |
اتحاد مزدوج |
\(a^2-b^2\) |
| سه جمله با ساختار مربع کامل |
اتحاد مربع کامل |
جمله اول و سوم مربع کامل و جمله میانی مناسب |
| مجموع یا تفاضل دو مکعب |
اتحاد مکعبها |
\(a^3+b^3\) یا \(a^3-b^3\) |
| چندجملهای درجه دوم |
تجزیه درجه دوم |
\(ax^2+bx+c\) |
| چند مرحله یا چند الگوی همزمان |
روش ترکیبی |
نیاز به بیش از یک مرحله تجزیه |
راهبرد عمومی ارائهشده در منابع آموزشی OpenStax نیز با بررسی عامل مشترک آغاز میشود و سپس بر اساس تعداد جملهها و شکل چندجملهای، روش مناسب انتخاب میشود. در پایان نیز باید کامل بودن تجزیه و بازگشت به عبارت اولیه با ضرب بررسی شود. مشاهده راهبرد عمومی تجزیه در OpenStax
روابط مهم بین روشهای تجزیه
روشهای تجزیه جدا از یکدیگر نیستند. در بسیاری از مسائل، یک روش زمینه را برای استفاده از روش دیگر فراهم میکند.
عامل مشترک و اتحادها
ممکن است ابتدا عامل مشترک خارج شود و سپس عبارت باقیمانده با یک اتحاد تجزیه شود.
برای مثال:
$$ 2x^3-18x=2x(x^2-9) $$
اکنون:
$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$
در نتیجه:
$$ 2x^3-18x=2x(x-3)(x+3) $$
گروهبندی و چندجملهای درجه دوم
گروهبندی فقط برای چندجملهایهای چهار جملهای نیست. در برخی چندجملهایهای درجه دوم نیز میتوان جمله میانی را به دو جمله تقسیم کرد و سپس گروهبندی را به کار برد.
برای مثال:
$$ 6x^2+5x-4 $$
دو عدد \(8\) و \(-3\) حاصلضربشان \(-24\) و حاصل جمعشان \(5\) است. بنابراین:
$$ 6x^2+8x-3x-4 $$
گروهبندی میکنیم:
$$ 2x(3x+4)-(3x+4) $$
پس:
$$ (3x+4)(2x-1) $$
اتحادها و تجزیه کامل
یک عبارت ممکن است ابتدا با یک اتحاد تجزیه شود، اما عوامل حاصل دوباره الگوی دیگری داشته باشند. بنابراین تشخیص یک اتحاد نباید باعث توقف زودهنگام شود.
برای مثال:
$$ x^4-81 $$
ابتدا:
$$ x^4-81=(x^2-9)(x^2+9) $$
و سپس:
$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$
بنابراین:
$$ x^4-81=(x-3)(x+3)(x^2+9) $$
چگونه روش مناسب تجزیه را انتخاب کنیم؟
بهترین روش این نیست که همه روشها را به ترتیب تصادفی امتحان کنیم. بهتر است عبارت را از نظر ساختار بررسی کنیم.
- ابتدا عامل مشترک را بررسی کنید. اگر همه جملهها عامل مشترکی دارند، آن را خارج کنید.
- تعداد جملهها را بررسی کنید. عبارتهای دو جملهای، سه جملهای و چندجملهایهای دارای جملههای بیشتر، الگوهای متفاوتی دارند.
- در عبارتهای دو جملهای، اتحادها را بررسی کنید. تفاضل دو مربع و مجموع یا تفاضل دو مکعب از الگوهای مهم هستند.
- در عبارتهای سه جملهای، مربع کامل یا ساختار درجه دوم را بررسی کنید.
- در عبارتهای چهار جملهای، گروهبندی را امتحان کنید.
- پس از هر مرحله، دوباره عبارت را بررسی کنید. ممکن است یک عامل تازه بهدستآمده دوباره قابل تجزیه باشد.
- در پایان با ضرب کردن، پاسخ را کنترل کنید. اگر ضرب عاملها عبارت اولیه را بازسازی کند، تجزیه درست است.
این ترتیب با راهبرد عمومی تجزیه در منابع دانشگاهی همخوان است؛ در آن ابتدا عامل مشترک بررسی میشود، سپس شکل عبارت تعیینکننده روش است و در پایان کامل بودن تجزیه کنترل میشود. مشاهده راهبرد کلی در OpenStax
مثال ترکیبی ۱: عامل مشترک و تفاضل دو مربع
عبارت زیر را به طور کامل تجزیه کنید:
$$ 12x^3-48x $$
ابتدا عامل مشترک را پیدا میکنیم:
$$ 12x(x^2-4) $$
اکنون داخل پرانتز تفاضل دو مربع داریم:
$$ x^2-4=x^2-2^2 $$
بنابراین:
$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$
در نتیجه:
$$ 12x^3-48x=12x(x-2)(x+2) $$
مثال ترکیبی ۲: گروهبندی و تجزیه کامل
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ x^3+3x^2-4x-12 $$
گروهبندی مناسب:
$$ (x^3+3x^2)+(-4x-12) $$
از هر گروه عامل مشترک خارج میکنیم:
$$ x^2(x+3)-4(x+3) $$
عامل مشترک \((x+3)\) را خارج میکنیم:
$$ (x+3)(x^2-4) $$
عامل دوم دوباره تفاضل دو مربع است:
$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$
پس تجزیه کامل:
$$ x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2) $$
مثال ترکیبی ۳: تجزیه چندجملهای درجه دوم
عبارت زیر را تجزیه کنید:
$$ 6x^2+11x+3 $$
حاصلضرب ضریب جمله اول و جمله ثابت برابر است با:
$$ 6\times3=18 $$
دو عددی که حاصلضربشان \(18\) و حاصل جمعشان \(11\) باشد، \(9\) و \(2\) هستند.
جمله میانی را به دو جمله تقسیم میکنیم:
$$ 6x^2+9x+2x+3 $$
گروهبندی:
$$ 3x(2x+3)+1(2x+3) $$
پس:
$$ (2x+3)(3x+1) $$
مثال ترکیبی ۴: چند مرحله اتحاد
عبارت زیر را به طور کامل تجزیه کنید:
$$ x^6-64 $$
ابتدا آن را تفاضل دو مربع در نظر میگیریم:
$$ x^6-64=(x^3-8)(x^3+8) $$
اکنون هر دو عامل، مجموع یا تفاضل دو مکعب هستند:
$$ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) $$
و:
$$ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) $$
بنابراین:
$$ x^6-64=(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4) $$
این مثال نشان میدهد که تجزیه کامل ممکن است نیازمند تشخیص چند الگوی متفاوت در چند مرحله باشد.
چه زمانی یک چندجملهای قابل تجزیه نیست؟
همه چندجملهایها الزاماً در هر دستگاه عددی قابل تجزیه نیستند. یک عبارت ممکن است در اعداد حقیقی تجزیهناپذیر باشد، اما در اعداد مختلط تجزیه شود.
برای مثال:
$$ x^2+4 $$
در اعداد حقیقی نمیتوان آن را به حاصلضرب دو عامل خطی حقیقی تبدیل کرد، زیرا:
$$ x^2+4=x^2+2^2 $$
مجموع دو مربع است و اتحاد تفاضل دو مربع برای آن کاربرد ندارد.
بنابراین عبارت «قابل تجزیه نیست» باید همیشه با توجه به مجموعه اعدادی که در آن کار میکنیم تفسیر شود.
کاربردهای تجزیه عبارتهای جبری
حل معادلات
یکی از مهمترین کاربردهای تجزیه، تبدیل یک معادله به حاصلضرب عاملهاست. برای مثال:
$$ x^2-5x+6=0 $$
ابتدا تجزیه میکنیم:
$$ (x-2)(x-3)=0 $$
سپس از خاصیت حاصلضرب صفر استفاده میکنیم:
$$ x-2=0 $$
یا:
$$ x-3=0 $$
بنابراین جوابها عبارتاند از:
$$ x=2,\qquad x=3 $$
سادهسازی کسرهای جبری
تجزیه میتواند عاملهای مشترک صورت و مخرج را آشکار کند.
برای مثال:
$$ \frac{x^2-9}{x-3} $$
صورت را تجزیه میکنیم:
$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$
پس، به شرط \(x \neq 3\):
$$ \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 $$
در اینجا توجه به شرط تعریف عبارت ضروری است؛ سادهسازی عامل مشترک، مقدار ممنوع اولیه را از دامنه حذف نمیکند.
بررسی ریشههای چندجملهای
وقتی چندجملهای به حاصلضرب عاملها تبدیل شود، یافتن ریشههای آن آسانتر میشود.
برای نمونه:
$$ x^2-7x+12=(x-3)(x-4) $$
بنابراین ریشهها از برابر صفر قرار دادن عاملها به دست میآیند:
$$ x=3,\qquad x=4 $$
اشتباهات رایج در تجزیه
۱. نادیده گرفتن عامل مشترک
گاهی دانشآموز مستقیماً سراغ اتحاد یا تجزیه درجه دوم میرود، در حالی که ابتدا باید عامل مشترک خارج شود.
برای مثال:
$$ 6x^2-24=6(x^2-4)=6(x-2)(x+2) $$
۲. توقف پس از اولین مرحله
رسیدن به یک حاصلضرب لزوماً به معنی پایان تجزیه نیست.
برای مثال:
$$ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) $$
عامل اول هنوز قابل تجزیه است، بنابراین:
$$ x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4) $$
۳. اشتباه گرفتن مجموع دو مربع با تفاضل دو مربع
اتحاد زیر درست است:
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$
اما به طور کلی نمیتوان نوشت:
$$ a^2+b^2=(a-b)(a+b) $$
زیرا حاصل سمت راست برابر با \(a^2-b^2\) است، نه \(a^2+b^2\).
۴. اشتباه در علامتها
در تجزیه چندجملهایهای درجه دوم، علامت جمله ثابت و جمله میانی باید همزمان در نظر گرفته شود.
برای مثال:
$$ x^2-x-6=(x-3)(x+2) $$
زیرا حاصلضرب \(3-\) و \(2\) برابر با \(-6\) و حاصل جمع آنها برابر با \(-1\) است.
۵. بررسی نکردن پاسخ با ضرب
یکی از مطمئنترین روشهای کنترل تجزیه، ضرب دوباره عاملهاست. اگر حاصل با عبارت اولیه یکسان نباشد، در یکی از مراحل خطا رخ داده است.
مسیر پیشنهادی برای یادگیری تجزیه
برای یادگیری اصولی تجزیه بهتر است روشها به صورت مرحلهای آموخته شوند؛ زیرا روشهای پیشرفتهتر معمولاً بر مهارتهای قبلی تکیه دارند.
- مرور ضرب عبارتهای جبری و خاصیت توزیعی
- یادگیری مفهوم عامل و عامل مشترک
- یادگیری روش گروهبندی
- شناخت اتحادهای مهم و استفاده از آنها برای تجزیه
- یادگیری تجزیه چندجملهایهای درجه دوم
- ترکیب چند روش در مسائل چندمرحلهای
- تمرین تشخیص روش مناسب پیش از شروع محاسبات
- بررسی تجزیه کامل و کنترل پاسخ با ضرب
برای مطالعه منظم این مباحث، صفحات تخصصی هر روش میتوانند در کنار این مقاله مورد استفاده قرار گیرند:
این مقاله یک نمای کلی از روشهای تجزیه ارائه میدهد و هر یک از روشهای بالا میتواند در مقاله تخصصی خود با مثالها و حالتهای بیشتری بررسی شود.
جمعبندی
تجزیه عبارتهای جبری فرایندی برای نوشتن یک عبارت به صورت حاصلضرب عاملهای سادهتر است. این فرایند در جهت معکوس بسط قرار دارد و یکی از ابزارهای اساسی برای کار با چندجملهایها محسوب میشود.
در یک مسئله تجزیه، بهتر است ابتدا عامل مشترک بررسی شود. سپس با توجه به شکل عبارت میتوان از گروهبندی، اتحادهای جبری یا روشهای تجزیه چندجملهای استفاده کرد. در مسائل پیچیدهتر، چند روش ممکن است به صورت پشت سر هم مورد استفاده قرار گیرند.
مهمترین نکته این است که انتخاب روش باید بر اساس ساختار عبارت انجام شود، نه صرفاً بر اساس تعداد جملهها. همچنین پس از هر مرحله باید بررسی کرد که آیا عوامل بهدستآمده دوباره قابل تجزیه هستند یا خیر.
در نهایت، بهترین کنترل برای پاسخ این است که عاملهای نهایی دوباره در یکدیگر ضرب شوند و مشخص شود که عبارت اولیه دقیقاً بازسازی میشود. این رویکرد با راهبرد عمومی ارائهشده در منابع دانشگاهی برای تجزیه چندجملهایها نیز سازگار است. مشاهده راهبرد عمومی تجزیه در OpenStax
منابع
منابع کتابی و دانشگاهی
- OpenStax، Intermediate Algebra 2e، بخش «Greatest Common Factor and Factor by Grouping». این بخش مفهوم عامل مشترک، خاصیت توزیعی و روش گروهبندی را بررسی میکند.
مشاهده منبع در OpenStax
- OpenStax، College Algebra، بخش «Factoring Polynomials». این بخش تجزیه عامل مشترک، چندجملهای درجه دوم، گروهبندی، مربع کامل، تفاضل دو مربع و مجموع و تفاضل مکعبها را پوشش میدهد.
مشاهده منبع در OpenStax
- OpenStax، Elementary Algebra 2e، بخش «General Strategy for Factoring Polynomials». این منبع یک راهبرد مرحلهای برای انتخاب روش تجزیه بر اساس ساختار چندجملهای ارائه میکند.
مشاهده منبع در OpenStax
منابع وب آموزشی دانشگاهی
این مقاله در سایت علمی رایشمند منتشر شده است. خوشحال میشویم اگر دیدگاه و
نظر خود را درباره این موضوع با ما و دیگر خوانندگان در میان بگذارید.