برای کار با معادلات، نامعادلات، جبر، هندسه، حسابان و بسیاری از شاخههای دیگر ریاضیات، باید بدانیم یک عدد به کدام مجموعه عددی تعلق دارد. اعداد طبیعی، صحیح، گویا، گنگ، حقیقی و مختلط هرکدام برای پاسخدادن به بخشی از نیازهای ریاضیات به وجود آمدهاند و میان آنها رابطهای منظم وجود دارد.
مهمترین زنجیره رابطه میان این مجموعهها را میتوان به صورت زیر بیان کرد:
$$ \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C} $$
البته اعداد گنگ در این زنجیره به عنوان زیرمجموعهای جدا از اعداد گویا قرار میگیرند و همراه با اعداد گویا، کل اعداد حقیقی را تشکیل میدهند:
$$ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) $$
در منابع آموزشی معمولاً بخشهای مختلف این سلسلهمراتب به شکل مجموعههای تودرتو نمایش داده میشوند. منابع OpenStax و Mathematics LibreTexts نیز اعداد طبیعی، صحیح و گویا را به صورت زیرمجموعههایی از یکدیگر و اعداد گویا و گنگ را تشکیلدهنده اعداد حقیقی معرفی میکنند.
پیشنیازها
برای فهم رابطه بین دستگاههای عددی، آشنایی مقدماتی با مفهوم مجموعه، زیرمجموعه، عدد و کسر کافی است. همچنین باید بدانیم نمادهایی مانند \( \mathbb{N} \)، \( \mathbb{Z} \)، \( \mathbb{Q} \)، \( \mathbb{R} \) و \( \mathbb{C} \) برای نمایش مجموعههای عددی به کار میروند.
یک نکته مهم این است که قرارداد مربوط به مجموعه اعداد طبیعی در همه منابع یکسان نیست. برخی منابع \(0\) را نیز طبیعی در نظر میگیرند و برخی \(1\) را اولین عدد طبیعی میدانند. در این مقاله برای جلوگیری از ابهام، هرجا لازم باشد تعریف مجموعه طبیعی به طور صریح مشخص میشود.
تعریف دستگاههای عددی
منظور از دستگاههای عددی، مجموعههایی از اعداد است که برای مقاصد مختلف ریاضی تعریف شدهاند و میان آنها رابطههای مجموعهای و جبری وجود دارد. این مجموعهها به صورت تاریخی و منطقی گسترش یافتهاند؛ برای مثال، اعداد صحیح نیاز به نمایش کمیتهای منفی را برطرف کردند، اعداد گویا برای نمایش نسبت دو عدد صحیح به کار آمدند و اعداد حقیقی مجموعهای کاملتر برای اندازهگیری و تحلیل فراهم کردند.
در ادامه، هر مجموعه را جداگانه بررسی میکنیم.
اعداد طبیعی
اعداد طبیعی معمولاً برای شمارش اشیا و بیان تعداد به کار میروند. یک قرارداد رایج برای آنها عبارت است از:
$$ \mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\} $$
در برخی منابع، صفر نیز در مجموعه اعداد طبیعی قرار میگیرد و در آن صورت میتوان نوشت:
$$ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\ldots\} $$
بنابراین هنگام مقایسه منابع، باید به قرارداد مورد استفاده درباره صفر توجه کرد.
اعداد حسابی
در بسیاری از منابع آموزشی، اعداد حسابی یا اعداد صحیح نامنفی شامل صفر و اعداد طبیعی هستند:
$$ \{0,1,2,3,\ldots\} $$
این نامگذاری در همه کتابها یکسان نیست؛ بنابراین در متون دقیق دانشگاهی بهتر است مجموعه را با نماد و تعریف صریح معرفی کنیم، نه صرفاً با عنوان «اعداد حسابی».
اعداد صحیح
اعداد صحیح شامل اعداد مثبت، صفر و قرینههای منفی آنها هستند:
$$ \mathbb{Z}= \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} $$
هر عدد طبیعی یک عدد صحیح است، اما هر عدد صحیح طبیعی نیست. برای نمونه، \(5\) طبیعی و صحیح است، ولی \(-5\) صحیح است و طبیعی نیست.
بنابراین:
$$ \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z} $$
اعداد گویا
عدد گویا عددی حقیقی است که بتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت، به شرط آنکه مخرج صفر نباشد:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a,b\in\mathbb{Z},\ b\neq0 \right\} $$
برای مثال:
$$ \frac{2}{3},\quad -\frac{7}{5},\quad 4,\quad 0,\quad 1.25 $$
همگی گویا هستند. برای مثال:
$$ 4=\frac{4}{1} $$
و:
$$ 1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} $$
از آنجا که هر عدد صحیح را میتوان با مخرج یک نوشت، همه اعداد صحیح گویا هستند:
$$ \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q} $$
این رابطه در منابع آموزشی OpenStax و LibreTexts نیز به همین صورت ارائه شده است.
اعداد گنگ
اعداد گنگ، اعداد حقیقیای هستند که نمیتوان آنها را به صورت نسبت دو عدد صحیح با مخرج ناصفر نوشت. بنابراین:
$$ \mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} $$
نمونههای شناختهشده عبارتاند از:
$$ \sqrt{2},\quad \sqrt{3},\quad \pi,\quad e $$
برای مثال، \( \sqrt{2} \) گنگ است؛ زیرا هیچ دو عدد صحیح \(a\) و \(b\) با \(b\neq0\) وجود ندارند که:
$$ \sqrt{2}=\frac{a}{b} $$
در نمایش اعشاری، عدد گویای ناصفر یا اعشاری متناهی دارد یا اعشاری نامتناهیِ دورهای؛ در مقابل، نمایش اعشاری عدد گنگ نامتناهی و غیردورهای است. این ویژگی در منابع آموزشی استاندارد برای تشخیص اعداد گویا و گنگ به کار میرود.
اعداد حقیقی
مجموعه اعداد حقیقی شامل تمام اعداد گویا و تمام اعداد گنگ است:
$$ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I} $$
از آنجا که هر عدد حقیقی یا گویاست یا گنگ، داریم:
$$ \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing $$
بنابراین اعداد گویا و گنگ دو بخش جدا از مجموعه اعداد حقیقی هستند که اجتماع آنها کل اعداد حقیقی را تشکیل میدهد.
اعداد حقیقی را میتوان به صورت نقاط روی محور اعداد نمایش داد. به همین دلیل، هر عدد حقیقی متناظر با یک نقطه روی محور حقیقی است و هر نقطه روی این محور نیز یک عدد حقیقی را نشان میدهد.
اعداد مختلط
اعداد مختلط مجموعهای گستردهتر از اعداد حقیقی هستند. هر عدد مختلط را میتوان به صورت زیر نوشت:
$$ z=a+bi $$
که در آن \(a\) و \(b\) اعداد حقیقیاند و \(i\) واحد موهومی است که ویژگی اصلی آن چنین است:
$$ i^2=-1 $$
اگر \(b=0\) باشد، عدد مختلط به یک عدد حقیقی تبدیل میشود:
$$ a+0i=a $$
پس هر عدد حقیقی را میتوان به عنوان یک عدد مختلط در نظر گرفت:
$$ \mathbb{R}\subseteq\mathbb{C} $$
برای نمونه، عدد \(5\) را میتوان به صورت \(5+0i\) نوشت.
رابطه کلی بین دستگاههای عددی
با کنار هم قرار دادن روابط بالا، زنجیره اصلی دستگاههای عددی به صورت زیر به دست میآید:
$$ \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C} $$
اگر قرارداد مجموعه اعداد طبیعی به گونهای انتخاب شود که \(0\) را نیز شامل شود، همچنان همین رابطه برقرار است.
در این زنجیره، هر مجموعه در مجموعه بعدی قرار دارد. برای مثال:
$$ 7\in\mathbb{N} $$ $$ 7\in\mathbb{Z} $$ $$ 7\in\mathbb{Q} $$ $$ 7\in\mathbb{R} $$ $$ 7\in\mathbb{C} $$
اما این بدان معنا نیست که همه اعضای مجموعههای بزرگتر به مجموعههای کوچکتر تعلق دارند.
برای مثال:
$$ -3\in\mathbb{Z} \quad\text{ولی}\quad -3\notin\mathbb{N} $$
و همچنین:
$$ \frac{1}{2}\in\mathbb{Q} \quad\text{ولی}\quad \frac{1}{2}\notin\mathbb{Z} $$
و:
$$ \sqrt{2}\in\mathbb{R} \quad\text{ولی}\quad \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} $$
تفاوت «زیرمجموعه بودن» و «عضو بودن»
در بیان رابطه دستگاههای عددی باید بین دو نماد \( \in \) و \( \subseteq \) دقت کرد.
نماد \( \in \) برای بیان عضویت یک عدد در یک مجموعه به کار میرود:
$$ 3\in\mathbb{Z} $$
در حالی که \( \subseteq \) برای بیان زیرمجموعه بودن یک مجموعه در مجموعه دیگر است:
$$ \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q} $$
نوشتن رابطهای مانند \( \mathbb{Z}\in\mathbb{Q} \) برای بیان رابطه میان این دستگاهها نادرست است؛ زیرا \( \mathbb{Z} \) یک مجموعه است، نه یک عدد صحیح.
آیا همه این شمولها «زیرمجموعه حقیقی» هستند؟
در زنجیره اصلی، در حالت معمول میتوان روابط را به صورت شمول حقیقی نیز نوشت:
$$ \mathbb{N}\subsetneq\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{R}\subsetneq\mathbb{C} $$
برای نمونه، \(-1\) در \(\mathbb{Z}\) قرار دارد ولی در \(\mathbb{N}\) قرار ندارد؛ بنابراین \(\mathbb{N}\) با \(\mathbb{Z}\) برابر نیست.
همچنین:
$$ \frac{1}{2}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} $$
پس \(\mathbb{Z}\) زیرمجموعه حقیقی \(\mathbb{Q}\) است.
از طرف دیگر، \(\sqrt{2}\) حقیقی ولی غیرگویاست، بنابراین:
$$ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} $$
و در نهایت \(i\) مختلط ولی غیرحقیقی است، زیرا \(i^2=-1\) و هیچ عدد حقیقی با مربع برابر با \(-1\) وجود ندارد. بنابراین:
$$ i\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R} $$
جایگاه اعداد گنگ در دستگاه اعداد
اعداد گنگ در زنجیره \( \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R} \) درون هیچکدام از مجموعههای طبیعی، صحیح یا گویا قرار نمیگیرند. آنها بخشی از اعداد حقیقیاند که خارج از اعداد گویا قرار دارد.
$$ \mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} $$
در نتیجه، یک نمایش مفهومی مناسب برای اعداد حقیقی چنین است:
$$ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I} $$ $$ \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing $$
بنابراین نباید اعداد گنگ را «بزرگتر از اعداد گویا» یا مجموعهای حاوی اعداد گویا تصور کرد؛ اعداد گنگ و گویا دو بخش جدا از اعداد حقیقی هستند.
جدول رابطه مجموعههای عددی
| مجموعه |
نماد |
نمونه |
ویژگی اصلی |
| اعداد طبیعی |
\(\mathbb{N}\) |
\(1,2,3,\ldots\) |
برای شمارش؛ قرارداد مربوط به صفر ممکن است متفاوت باشد. |
| اعداد صحیح |
\(\mathbb{Z}\) |
\(-3,-2,-1,0,1,2,3\) |
شامل اعداد مثبت، منفی و صفر |
| اعداد گویا |
\(\mathbb{Q}\) |
\(\frac{2}{3},-5,1.25\) |
قابل نمایش به صورت نسبت دو عدد صحیح با مخرج ناصفر |
| اعداد گنگ |
\(\mathbb{I}\) |
\(\sqrt{2},\pi\) |
حقیقی ولی غیرگویا |
| اعداد حقیقی |
\(\mathbb{R}\) |
\(0,\frac{1}{2},\sqrt{2}\) |
اجتماع اعداد گویا و گنگ |
| اعداد مختلط |
\(\mathbb{C}\) |
\(2+3i,5\) |
اعداد به شکل \(a+bi\) با \(a,b\in\mathbb{R}\) |
قضیهها و ویژگیهای مهم
قضیه ۱: هر عدد طبیعی صحیح است
برای هر عدد طبیعی، همان عدد در مجموعه اعداد صحیح نیز قرار دارد. بنابراین:
$$ \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z} $$
این رابطه از تعریف اعداد صحیح به دست میآید، زیرا اعداد طبیعی بخشی از اعداد صحیحاند.
قضیه ۲: هر عدد صحیح گویا است
اگر \(n\) یک عدد صحیح باشد، میتوان آن را به صورت زیر نوشت:
$$ n=\frac{n}{1} $$
چون \(n\) و \(1\) صحیح هستند و \(1\neq0\)، عدد \(n\) گویاست. بنابراین:
$$ \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q} $$
قضیه ۳: هر عدد گویای حقیقی است
در تعریف استاندارد اعداد حقیقی، اعداد گویا و گنگ هر دو زیرمجموعه اعداد حقیقی هستند. پس:
$$ \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R} $$
قضیه ۴: هر عدد حقیقی مختلط است
اگر \(x\in\mathbb{R}\)، میتوان نوشت:
$$ x=x+0i $$
که یک عدد مختلط است. بنابراین:
$$ \mathbb{R}\subseteq\mathbb{C} $$
قضیه ۵: اعداد حقیقی از اعداد گویا و گنگ تشکیل میشوند
هر عدد حقیقی یا گویاست یا گنگ؛ بنابراین:
$$ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I} $$
و چون عددی نمیتواند هم گویا و هم گنگ باشد:
$$ \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing $$
مثالهای حلشده
مثال ۱: طبقهبندی عدد \(7\)
عدد \(7\) یک عدد طبیعی است. پس به دلیل زنجیره شمول، در مجموعههای بزرگتر نیز قرار دارد:
$$ 7\in\mathbb{N} $$ $$ 7\in\mathbb{Z} $$ $$ 7\in\mathbb{Q} $$ $$ 7\in\mathbb{R} $$ $$ 7\in\mathbb{C} $$
بنابراین \(7\) عضو همه مجموعههای اصلی زنجیره عددی است.
مثال ۲: طبقهبندی عدد \(-4\)
عدد \(-4\) طبیعی نیست، اما صحیح است:
$$ -4\in\mathbb{Z} $$
از طرفی:
$$ -4=\frac{-4}{1} $$
پس گویاست و در نتیجه حقیقی و مختلط نیز هست:
$$ -4\in\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C} $$
مثال ۳: طبقهبندی عدد \(\frac{3}{5}\)
این عدد نسبت دو عدد صحیح با مخرج ناصفر است؛ بنابراین گویاست:
$$ \frac{3}{5}\in\mathbb{Q} $$
اما صحیح نیست، زیرا هیچ عدد صحیحی برابر با \(\frac{3}{5}\) نیست. در نتیجه:
$$ \frac{3}{5}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} $$
همچنین چون هر عدد گویا حقیقی است:
$$ \frac{3}{5}\in\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C} $$
مثال ۴: طبقهبندی عدد \(\sqrt{2}\)
عدد \(\sqrt{2}\) گنگ است؛ بنابراین:
$$ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} $$
پس نمیتوان آن را عضو \(\mathbb{Q}\)، \(\mathbb{Z}\) یا \(\mathbb{N}\) دانست.
با این حال، چون هر عدد حقیقی مختلط است:
$$ \sqrt{2}\in\mathbb{C} $$
مثال ۵: طبقهبندی عدد \(3+2i\)
عدد \(3+2i\) به شکل استاندارد عدد مختلط نوشته شده است:
$$ z=3+2i $$
چون قسمت موهومی آن صفر نیست، این عدد حقیقی نیست. بنابراین:
$$ 3+2i\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R} $$
در نتیجه، این عدد در مجموعههای \(\mathbb{R}\)، \(\mathbb{Q}\)، \(\mathbb{Z}\) و \(\mathbb{N}\) قرار نمیگیرد.
مثال ترکیبی: تعیین کوچکترین مجموعه عددی
فرض کنید بخواهیم برای هر یک از اعداد زیر کوچکترین مجموعه اصلی شامل آن را مشخص کنیم:
$$ 5,\quad -2,\quad \frac{3}{7},\quad \sqrt{5},\quad 2+i $$
برای \(5\)، کوچکترین مجموعه \(\mathbb{N}\) است.
برای \(-2\)، عدد طبیعی نیست ولی صحیح است؛ بنابراین کوچکترین مجموعه \(\mathbb{Z}\) است.
برای \(\frac{3}{7}\)، کوچکترین مجموعه اصلی \(\mathbb{Q}\) است.
برای \(\sqrt{5}\)، عدد گنگ است و بنابراین کوچکترین مجموعه از زنجیره اصلی \(\mathbb{R}\) است.
برای \(2+i\)، عدد مختلط غیرحقیقی است؛ بنابراین کوچکترین مجموعه اصلی \(\mathbb{C}\) است.
| عدد |
کوچکترین مجموعه اصلی |
توضیح |
| \(5\) |
\(\mathbb{N}\) |
طبیعی |
| \(-2\) |
\(\mathbb{Z}\) |
صحیح ولی غیرطبیعی |
| \(\frac{3}{7}\) |
\(\mathbb{Q}\) |
گویا ولی غیرصحیح |
| \(\sqrt{5}\) |
\(\mathbb{R}\) |
گنگ و در نتیجه حقیقی |
| \(2+i\) |
\(\mathbb{C}\) |
مختلط و غیرحقیقی |
رابطه دستگاههای عددی از دیدگاه عملیات جبری
رابطه میان دستگاههای عددی فقط یک رابطه مجموعهای نیست. هر مجموعه ویژگیهای جبری خاصی نیز دارد. برای مثال، اعداد صحیح تحت جمع، تفریق و ضرب بستهاند، اما تقسیم دو عدد صحیح لزوماً عدد صحیح تولید نمیکند:
$$ 1\div2=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z} $$
در مقابل، اعداد گویا تحت جمع، تفریق، ضرب و تقسیم، به شرط آنکه مقسومعلیه صفر نباشد، بستهاند. اعداد حقیقی نیز ساختار جبری کاملتری دارند و علاوه بر عملیات معمول، دارای ترتیب سازگار با عملیات جبری هستند. در مباحث دانشگاهی تحلیل حقیقی، \(\mathbb{R}\) به عنوان یک میدان مرتب کامل مطالعه میشود.
اعداد مختلط از نظر جبری حتی یک گام فراتر میروند: هر چندجملهای ناصفر با ضرایب مختلط دستکم یک ریشه مختلط دارد؛ این نتیجه به صورت قضیه اساسی جبر شناخته میشود. این ویژگی یکی از دلایل مهم گسترش دستگاه اعداد از حقیقی به مختلط است.
چرا دستگاههای عددی گسترش پیدا کردند؟
روند گسترش دستگاههای عددی را میتوان به صورت مفهومی چنین دید:
$$ \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} $$
هر گسترش بخشی از محدودیت مجموعه قبلی را برطرف میکند.
- اعداد طبیعی: برای شمارش مناسباند، اما تفریق همیشه در آنها امکانپذیر نیست؛ برای مثال \(2-5\) طبیعی نیست.
- اعداد صحیح: تفریق را به شکل گستردهتری ممکن میکنند، اما تقسیم دو عدد صحیح همیشه عدد صحیح نیست.
- اعداد گویا: بسیاری از نسبتها و تقسیمها را پوشش میدهند، اما هنوز همه طولها و ریشهها در آنها قابل بیان نیستند.
- اعداد حقیقی: اعداد گویا و گنگ را در یک دستگاه واحد قرار میدهند و برای نمایش نقاط محور حقیقی و تحلیل پیوسته مناسباند.
- اعداد مختلط: امکان حل معادلاتی مانند \(x^2+1=0\) را فراهم میکنند که در مجموعه اعداد حقیقی جواب ندارند.
این نگاه تاریخی و ساختاری به گسترش مجموعههای عددی در منابع دانشگاهی نیز دیده میشود؛ برای نمونه، MIT در درسهای مقدماتی خود اعداد طبیعی، گویا، حقیقی و سپس مختلط را در یک مسیر پیوسته بررسی میکند.
محور اعداد و دستگاه اعداد
تمام اعداد حقیقی را میتوان روی یک محور یکبعدی نمایش داد. اعداد منفی در سمت چپ صفر و اعداد مثبت در سمت راست صفر قرار میگیرند. اعداد صحیح در نقاطی با فاصلههای مساوی قرار میگیرند، در حالی که بین هر دو عدد حقیقی متمایز، بینهایت عدد حقیقی وجود دارد.
نکته مهم این است که اعداد مختلط را نمیتوان به طور کامل روی یک محور حقیقی نمایش داد. برای نمایش هندسی اعداد مختلط، از صفحه مختلط استفاده میشود؛ در این صفحه، قسمت حقیقی روی یک محور و ضریب \(i\) روی محور دیگر قرار میگیرد. منابع آموزشی دانشگاهی و OpenStax نیز برای نمایش هندسی اعداد مختلط از صفحه مختلط استفاده میکنند.
اشتباهات رایج
۱. تصور اینکه هر عدد حقیقی گویاست
این گزاره نادرست است. برای مثال:
$$ \sqrt{2}\in\mathbb{R} \quad\text{و}\quad \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} $$
۲. تصور اینکه هر اعشار نامتناهی گنگ است
این گزاره نیز نادرست است. اعشار نامتناهیِ دورهای گویاست. برای مثال:
$$ 0.\overline{3}=\frac{1}{3} $$
بنابراین فقط نامتناهی و غیردورهای بودن نمایش اعشاری، در چارچوب اعشاری استاندارد، نشاندهنده گنگ بودن است.
۳. اشتباه گرفتن عضو و زیرمجموعه
رابطه زیر درست است:
$$ \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R} $$
اما برای یک عدد گویا مانند \(2\)، رابطه درست چنین است:
$$ 2\in\mathbb{Q} $$
۴. تصور اینکه اعداد مختلط «بزرگتر» از اعداد حقیقی هستند
رابطه میان \(\mathbb{R}\) و \(\mathbb{C}\) یک رابطه شمول مجموعهای است، نه ترتیب عددی:
$$ \mathbb{R}\subseteq\mathbb{C} $$
در اعداد مختلط به طور معمول ترتیب سازگاری مانند ترتیب \(<\) روی اعداد حقیقی وجود ندارد؛ بنابراین نباید مثلاً درباره «بزرگتر بودن» دو عدد مختلط به همان معنای اعداد حقیقی صحبت کرد.
۵. فرض اینکه \(\sqrt{-1}\) یک عدد حقیقی است
در دستگاه اعداد حقیقی، عددی وجود ندارد که مربع آن \(-1\) باشد. برای گسترش دستگاه عددی، واحد موهومی \(i\) تعریف میشود:
$$ i^2=-1 $$
در نتیجه \(i\) یک عدد مختلط غیرحقیقی است.
نکات مهم و عمیقتر
- هر عدد طبیعی، صحیح است؛ هر عدد صحیح، گویاست؛ هر عدد گویا، حقیقی است؛ و هر عدد حقیقی، مختلط است.
- اعداد گنگ زیرمجموعه اعداد حقیقیاند، نه بخشی از زنجیره تودرتوی \(\mathbb{N}\)، \(\mathbb{Z}\) و \(\mathbb{Q}\).
- اعداد گویا و گنگ با یکدیگر اشتراک ندارند و اجتماع آنها اعداد حقیقی را میسازد.
- نماد \(\in\) برای عضویت و نماد \(\subseteq\) برای زیرمجموعه بودن به کار میرود.
- قرارداد مربوط به وجود صفر در مجموعه اعداد طبیعی در منابع مختلف ممکن است متفاوت باشد.
- عدد مختلط میتواند حقیقی باشد؛ کافی است قسمت موهومی آن صفر باشد.
- هر عدد حقیقی مختلط است، اما هر عدد مختلط حقیقی نیست.
جمعبندی
ساختار اصلی دستگاههای عددی را میتوان با زنجیره زیر خلاصه کرد:
$$ \mathbb{N}\subsetneq\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{R}\subsetneq\mathbb{C} $$
اعداد طبیعی برای شمارش، اعداد صحیح برای نمایش اعداد مثبت و منفی و صفر، اعداد گویا برای نسبت دو عدد صحیح، اعداد حقیقی برای ترکیب اعداد گویا و گنگ، و اعداد مختلط برای گسترش دستگاه حقیقی به صورت \(a+bi\) به کار میروند.
درون اعداد حقیقی نیز تقسیم مهمی وجود دارد:
$$ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I} $$ $$ \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing $$
بنابراین اگر بخواهیم یک تصویر ذهنی ساده داشته باشیم، اعداد طبیعی درون اعداد صحیح، اعداد صحیح درون اعداد گویا، اعداد گویا درون اعداد حقیقی و اعداد حقیقی درون اعداد مختلط قرار دارند؛ در عین حال، اعداد گنگ بخش دیگری از اعداد حقیقی را تشکیل میدهند.
موضوعات مرتبط
برای مطالعه مفاهیم مرتبط در ریاضیات، میتوانید موضوعات زیر را دنبال کنید:
منابع
- OpenStax، College Algebra 2e — 1.1 Real Numbers: Algebra Essentials. این منبع ساختار اعداد طبیعی، صحیح، گویا، گنگ و حقیقی و روابط میان آنها را بررسی میکند.
مشاهده منبع در OpenStax
- OpenStax، Intermediate Algebra — 1.4 Decimals. این بخش رابطه نمایش اعشاری و گویا یا گنگ بودن اعداد را توضیح میدهد.
مشاهده منبع در OpenStax
- Mathematics LibreTexts، Rational and Irrational Numbers. این منبع تعریف اعداد گویا و گنگ و جایگاه آنها در مجموعه اعداد حقیقی را بررسی میکند.
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
- MIT Mathematics، Real Analysis 18.100B. این درس دانشگاهی مباحث ساختار مرتب، میدانها، اعداد حقیقی، اعداد گویا و کامل بودن اعداد حقیقی را پوشش میدهد.
مشاهده منبع در MIT
- MIT Mathematics، Lectures for 18.100B. در این مجموعه مباحث میدانها، اعداد گویا و حقیقی و سپس اعداد مختلط در چارچوب تحلیل حقیقی معرفی شدهاند.
مشاهده منبع در MIT
- OpenStax، Algebra and Trigonometry 2e — 2.4 Complex Numbers. این منبع تعریف اعداد مختلط، واحد موهومی و رابطه اعداد حقیقی و مختلط را توضیح میدهد.
مشاهده منبع در OpenStax
تاریخ بررسی منابع: ۲۳ مرداد ۱۴۰۵