عدد یکی از بنیادیترین مفاهیم ریاضیات است؛ اما همه عددها ویژگی یکسانی ندارند و برای پاسخدادن به نیازهای مختلف ریاضی، مجموعههای عددی گوناگونی تعریف شدهاند. اعداد طبیعی برای شمارش مناسباند، اما وقتی با بدهی، کاهش یا جهت مخالف روبهرو میشویم، اعداد صحیح مورد نیاز قرار میگیرند. برای نمایش نسبتها و تقسیمها، اعداد گویا به کار میآیند و برای بیان طولهایی مانند قطر مربع واحد، اعداد گنگ ضروری میشوند. مجموعه اعداد حقیقی این دو گروه را در یک دستگاه واحد گرد هم میآورد و اعداد مختلط نیز این ساختار را برای حل مسائل گستردهتری توسعه میدهند.
بنابراین دستگاههای عددی را نباید صرفاً فهرستی از نام چند نوع عدد دانست. میان این مجموعهها رابطهای ساختاری وجود دارد که بخش مهمی از زبان ریاضیات را تشکیل میدهد.
در منابع دانشگاهی نیز همین روند گسترش دستگاههای عددی دیده میشود. برای نمونه، در منابع آموزشی دانشگاهی OpenStax اعداد طبیعی، صحیح، گویا و گنگ بهعنوان زیرمجموعههایی از اعداد حقیقی معرفی شدهاند و اعداد مختلط بهعنوان گسترشی از اعداد حقیقی بررسی میشوند. Mathematics LibreTexts نیز معرفی دستگاه اعداد را از اعداد طبیعی آغاز کرده و سپس به اعداد صحیح، گویا، گنگ و حقیقی میرسد.
دستگاههای عددی چیست؟
دستگاه عددی را میتوان مجموعهای از اعداد با تعریف و ساختار مشخص دانست که برای انجام عملیات ریاضی و بیان کمیتها مورد استفاده قرار میگیرد. مهمترین دستگاههایی که در آموزش مبانی ریاضیات با آنها سروکار داریم عبارتاند از:
- اعداد طبیعی
- اعداد صحیح
- اعداد گویا
- اعداد گنگ
- اعداد حقیقی
- اعداد مختلط
نکته مهم این است که این مجموعهها مستقل از یکدیگر نیستند. بخش بزرگی از آنها بهصورت زیرمجموعه در مجموعههای بزرگتر قرار میگیرند.
با قرارداد رایج در این مقاله، مجموعه اعداد طبیعی را با \( \mathbb{N} \) و به صورت \( \{1,2,3,\ldots\} \) در نظر میگیریم. در بعضی منابع، صفر نیز در مجموعه اعداد طبیعی قرار داده میشود؛ بنابراین هنگام مقایسه منابع باید به قرارداد مورد استفاده توجه کرد.
ساختار کلی دستگاههای عددی
اگر مجموعه اعداد طبیعی را از \(1\) شروع کنیم، رابطه اصلی میان مجموعههای عددی چنین است:
$$ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} $$
در این زنجیره، هر مجموعه در مجموعه بعدی قرار دارد. برای مثال، هر عدد طبیعی یک عدد صحیح است، هر عدد صحیح یک عدد گویاست، هر عدد گویا یک عدد حقیقی است و هر عدد حقیقی را میتوان بهعنوان عددی مختلط با قسمت موهومی صفر در نظر گرفت.
درون اعداد حقیقی، اعداد گویا و گنگ دو بخش متمایز را تشکیل میدهند:
$$ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I} $$
که در آن \( \mathbb{I} \) مجموعه اعداد گنگ است. همچنین:
$$ \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing $$
یعنی هیچ عددی نمیتواند همزمان گویا و گنگ باشد.
در نتیجه، تصویر مفهومی ساختار عددی را میتوان چنین خلاصه کرد:
- اعداد مختلط \( \mathbb{C} \)
- اعداد حقیقی \( \mathbb{R} \)
- اعداد گویا \( \mathbb{Q} \)
- اعداد صحیح \( \mathbb{Z} \)
- اعداد طبیعی \( \mathbb{N} \)
- اعداد گنگ \( \mathbb{I} \)
اعداد طبیعی
اعداد طبیعی سادهترین مجموعه عددی مورد استفاده برای شمارش هستند. با قرارداد مورد استفاده در این مقاله:
$$ \mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\} $$
این اعداد برای بیان تعداد اشیا، ترتیب شمارش و بسیاری از ساختارهای گسسته به کار میروند. برای مثال، تعداد اعضای یک مجموعه متناهی یک عدد طبیعی است.
یکی از ویژگیهای مهم اعداد طبیعی این است که تحت جمع و ضرب بستهاند؛ یعنی اگر \(a,b\in\mathbb{N}\)، آنگاه:
$$ a+b\in\mathbb{N} \qquad\text{و}\qquad ab\in\mathbb{N} $$
اما اعداد طبیعی تحت تفریق بسته نیستند؛ برای نمونه:
$$ 2-5=-3\notin\mathbb{N} $$
همین محدودیت یکی از انگیزههای گسترش دستگاه عددی و معرفی اعداد صحیح است.
مطالعه مقاله اعداد طبیعی
اعداد صحیح
اعداد صحیح با افزودن صفر و قرینه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی ساخته میشوند:
$$ \mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} $$
حرف \( \mathbb{Z} \) از واژه آلمانی Zahlen به معنای «اعداد» گرفته شده است.
مهمترین تفاوت اعداد صحیح با اعداد طبیعی، وجود اعداد منفی و صفر است. به کمک اعداد صحیح، تفریق دو عدد صحیح همیشه عددی صحیح باقی میماند:
$$ a,b\in\mathbb{Z}\quad\Longrightarrow\quad a-b\in\mathbb{Z} $$
برای مثال، بدهی \(500\) هزار تومان را میتوان با یک عدد منفی نمایش داد، در حالی که چنین تفسیری در مجموعه اعداد طبیعی وجود ندارد.
مطالعه مقاله اعداد صحیح
اعداد گویا
عدد گویا عددی است که بتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت، به شرط آنکه مخرج صفر نباشد:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \;\middle|\; p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq0 \right\} $$
برای نمونه، اعداد زیر گویا هستند:
$$ \frac{3}{4},\quad -\frac{7}{2},\quad 5,\quad 0.125,\quad 0.\overline{3} $$
هر عدد صحیح نیز گویاست، زیرا برای هر \(n\in\mathbb{Z}\) میتوان نوشت:
$$ n=\frac{n}{1} $$
یکی از ویژگیهای مهم نمایش اعشاری اعداد گویا این است که نمایش اعشاری آنها یا متناهی است یا از جایی به بعد بهصورت دورهای تکرار میشود. برای مثال:
$$ \frac{1}{8}=0.125 $$
$$ \frac{2}{11}=0.\overline{18} $$
توجه کنید که «کسر» و «عدد گویا» دقیقاً مترادف نیستند. هر عدد گویا را میتوان به شکل کسر نوشت، اما یک کسر ممکن است صرفاً یک نمایش از همان عدد باشد و نه یک عدد جدید.
مطالعه مقاله اعداد گویا
اعداد گنگ
عدد گنگ عدد حقیقیای است که نمیتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح با مخرج ناصفر نوشت. بنابراین:
$$ x\in\mathbb{I} \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} $$
نمونههای شناختهشده اعداد گنگ عبارتاند از:
$$ \sqrt{2},\quad \sqrt{3},\quad \pi $$
نمایش اعشاری یک عدد گنگ بینهایت و غیرتناوبی است. برای نمونه، نمایش اعشاری \( \sqrt{2} \) نه پایان مییابد و نه یک الگوی دورهای ثابت را تکرار میکند.
نکته مهم این است که «بینهایت بودن اعشار» بهتنهایی برای گنگ بودن کافی نیست. برای مثال:
$$ \frac{1}{3}=0.\overline{3} $$
نمایش اعشاری این عدد بینهایت است، اما چون دورهای است، عددی گویاست.
مطالعه مقاله اعداد گنگ
اعداد حقیقی
مجموعه اعداد حقیقی از اجتماع اعداد گویا و گنگ تشکیل میشود:
$$ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I} $$
بنابراین هر عدد حقیقی دقیقاً یکی از دو حالت زیر را دارد: یا گویاست یا گنگ.
$$ \forall x\in\mathbb{R}: \quad x\in\mathbb{Q} \ \lor\ x\in\mathbb{I} $$
اعداد حقیقی را میتوان با نقاط یک خط عددی متناظر کرد. این ویژگی باعث میشود بسیاری از کمیتهای پیوسته مانند طول، فاصله، زمان و دما با اعداد حقیقی مدل شوند.
از دیدگاه ساختاری، اعداد حقیقی علاوه بر ساختار جبری، دارای ساختار ترتیبی و خاصیت کامل بودن هستند. خاصیت کامل بودن یکی از ویژگیهای بنیادی \( \mathbb{R} \) است و در مباحث پیشرفتهتر مانند حد، پیوستگی و آنالیز نقش اساسی دارد.
مطالعه مقاله اعداد حقیقی
اعداد مختلط
اعداد حقیقی برای حل همه معادلات چندجملهای کافی نیستند. سادهترین نمونه، معادله زیر است:
$$ x^2+1=0 $$
این معادله در مجموعه اعداد حقیقی جواب ندارد، زیرا مربع هر عدد حقیقی نامنفی است. برای حل چنین معادلاتی، واحد موهومی \(i\) تعریف میشود بهگونهای که:
$$ i^2=-1 $$
هر عدد مختلط را میتوان به صورت زیر نوشت:
$$ z=a+bi \qquad a,b\in\mathbb{R} $$
در این نمایش، \(a\) قسمت حقیقی و \(b\) ضریب قسمت موهومی عدد مختلط است. اگر \(b=0\)، عدد مختلط در واقع یک عدد حقیقی است. بنابراین:
$$ \mathbb{R}\subset\mathbb{C} $$
برای مثال، اعداد زیر مختلطاند:
$$ 3+2i,\qquad -1-5i,\qquad 7,\qquad 4i $$
عدد \(7\) نیز مختلط محسوب میشود، زیرا میتوان آن را به صورت \(7+0i\) نوشت.
اعداد مختلط در جبر، معادلات چندجملهای، تحلیل مختلط، مهندسی برق، فیزیک و بسیاری از حوزههای کاربردی ریاضیات نقش اساسی دارند.
مطالعه مقاله اعداد مختلط
رابطه بین دستگاههای عددی
مهمترین رابطه میان دستگاههای عددی را میتوان با زنجیره زیر نمایش داد:
$$ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} $$
این رابطه به معنای آن نیست که اعضای دو مجموعه پشت سر هم یکساناند؛ بلکه هر عضو مجموعه کوچکتر در مجموعه بزرگتر نیز عضو است.
برای نمونه:
$$ 5\in\mathbb{N} \Rightarrow 5\in\mathbb{Z} \Rightarrow 5\in\mathbb{Q} \Rightarrow 5\in\mathbb{R} \Rightarrow 5\in\mathbb{C} $$
در مقابل، عکس این نتیجهها لزوماً درست نیست. مثلاً \( -3 \) عدد صحیح است اما طبیعی نیست، \( \frac{1}{2} \) گویاست اما صحیح نیست و \( \sqrt{2} \) حقیقی است اما گویا نیست.
رابطه اعداد گویا و گنگ
برخلاف زنجیره بالا، اعداد گویا و گنگ زیرمجموعه یکی از دیگری نیستند. این دو مجموعه مجزا هستند و با اجتماع آنها اعداد حقیقی به دست میآید:
$$ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I} $$
$$ \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing $$
رابطه اعداد حقیقی و مختلط
هر عدد حقیقی را میتوان یک عدد مختلط با قسمت موهومی صفر دانست:
$$ x=x+0i $$
بنابراین:
$$ \mathbb{R}\subset\mathbb{C} $$
اما همه اعداد مختلط حقیقی نیستند؛ برای نمونه \(i\) مختلط است ولی حقیقی نیست.
مقایسه دستگاههای عددی
| مجموعه |
نماد رایج |
تعریف یا ویژگی اصلی |
نمونه |
| اعداد طبیعی |
\(\mathbb{N}\) |
اعداد مورد استفاده برای شمارش؛ در این مقاله از \(1\) آغاز میشوند. |
\(1,2,3\) |
| اعداد صحیح |
\(\mathbb{Z}\) |
اعداد طبیعی، صفر و قرینههای آنها |
\(-3,0,5\) |
| اعداد گویا |
\(\mathbb{Q}\) |
نسبت دو عدد صحیح با مخرج ناصفر |
\(\frac{2}{3},-5\) |
| اعداد گنگ |
\(\mathbb{I}\) |
اعداد حقیقی که گویا نیستند |
\(\sqrt{2},\pi\) |
| اعداد حقیقی |
\(\mathbb{R}\) |
اجتماع اعداد گویا و گنگ |
\(-2,\frac{1}{3},\sqrt{5}\) |
| اعداد مختلط |
\(\mathbb{C}\) |
اعداد به شکل \(a+bi\) با \(a,b\in\mathbb{R}\) |
\(2+3i\) |
چرا دستگاههای عددی گسترش پیدا کردند؟
یکی از بهترین روشها برای فهم ساختار دستگاههای عددی، مشاهده مسئلهای است که هر گسترش حل میکند.
- اعداد طبیعی: برای شمارش مناسباند، اما تفریق در آنها همیشه ممکن نیست.
- اعداد صحیح: با افزودن اعداد منفی و صفر، تفریق در مجموعه بسته میشود.
- اعداد گویا: برای نمایش نسبتها و تقسیمهایی مانند \(1\div2\) مناسباند.
- اعداد گنگ: کمبود اعداد گویا برای نمایش برخی کمیتها مانند \(\sqrt{2}\) را برطرف میکنند.
- اعداد حقیقی: اعداد گویا و گنگ را در یک دستگاه پیوسته و مرتب گرد هم میآورند.
- اعداد مختلط: امکان حل معادلاتی مانند \(x^2+1=0\) را فراهم میکنند که در اعداد حقیقی حلپذیر نیستند.
این روند نشان میدهد که گسترش دستگاههای عددی تصادفی نیست؛ هر مرحله برای رفع یک محدودیت ساختاری یا حل مسئلهای مهم در مرحله قبل شکل گرفته است.
مثالهای کوتاه برای تشخیص نوع عدد
مثال ۱: عدد \(7\)
عدد \(7\) طبیعی است؛ بنابراین به ترتیب زیر در همه مجموعههای بزرگتر نیز قرار میگیرد:
$$ 7\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} $$
مثال ۲: عدد \(-\frac{3}{4}\)
این عدد صحیح نیست، اما نسبت دو عدد صحیح با مخرج ناصفر است؛ پس گویاست و در نتیجه حقیقی و مختلط نیز هست:
$$ -\frac{3}{4}\in\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} $$
مثال ۳: عدد \(\sqrt{2}\)
عدد \( \sqrt{2} \) حقیقی است اما گویا نیست؛ بنابراین گنگ است:
$$ \sqrt{2}\in\mathbb{I}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} $$
مثال ۴: عدد \(3+4i\)
چون قسمت موهومی آن ناصفر است، این عدد حقیقی نیست، اما یک عدد مختلط است:
$$ 3+4i\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R} $$
ویژگیهای مهم دستگاههای عددی
بسته بودن نسبت به برخی عملیات
یکی از روشهای مهم مقایسه مجموعههای عددی، بررسی بسته بودن آنها نسبت به عملیات است. برای مثال، اعداد صحیح تحت جمع، تفریق و ضرب بستهاند:
$$ a,b\in\mathbb{Z} \Rightarrow a+b,\ a-b,\ ab\in\mathbb{Z} $$
اما برای تقسیم چنین چیزی برقرار نیست؛ مثلاً:
$$ 1,2\in\mathbb{Z} \qquad\text{ولی}\qquad \frac{1}{2}\notin\mathbb{Z} $$
در مقابل، اعداد گویا نسبت به جمع، تفریق، ضرب و تقسیم بر عدد ناصفر گویا بستهاند:
$$ a,b\in\mathbb{Q},\ b\neq0 \Rightarrow a+b,\ a-b,\ ab,\ \frac{a}{b}\in\mathbb{Q} $$
چنین ویژگیهایی یکی از دلایل اهمیت ساختارهای عددی در جبر هستند.
مرتب بودن
اعداد حقیقی دارای یک رابطه ترتیب سازگار با عملیات جبری هستند. به همین دلیل میتوان برای هر دو عدد حقیقی \(a\) و \(b\)، رابطههایی مانند \(ab\) را بررسی کرد. این ویژگی در اعداد مختلط به همان شکل وجود ندارد؛ در واقع نمیتوان اعداد مختلط را بهصورت سازگار با عملیات میدان، مانند اعداد حقیقی، بهطور کلی مرتب کرد.
کاربردهای دستگاههای عددی
هر یک از دستگاههای عددی در بخش خاصی از ریاضیات و علوم کاربرد بیشتری دارد:
- اعداد طبیعی: شمارش، ترکیبیات، نظریه اعداد و الگوریتمها.
- اعداد صحیح: نظریه اعداد، حساب پیمانهای، مدلسازی کمیتهای دارای جهت و محاسبات گسسته.
- اعداد گویا: نسبتها، تناسب، کسرها، تقریبهای عددی و بسیاری از محاسبات دقیق.
- اعداد گنگ: هندسه، طولها، مثلثات و مدلسازی کمیتهایی که نمایش کسری ندارند.
- اعداد حقیقی: جبر، هندسه، حسابان، آنالیز و مدلسازی کمیتهای پیوسته.
- اعداد مختلط: معادلات چندجملهای، تحلیل مختلط، پردازش سیگنال، مدارهای الکتریکی، فیزیک و مهندسی.
اعداد مختلط بهویژه در مهندسی و فیزیک اهمیت دارند؛ در درسهای دانشگاهی نیز ساختار آنها شامل جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان و ریشه بررسی میشود.
اشتباهات رایج درباره دستگاههای عددی
۱. یکی دانستن عدد گویا با هر کسر
تعریف عدد گویا به وجود دو عدد صحیح \(p\) و \(q\) با \(q\neq0\) وابسته است. بنابراین نمیتوان هر عبارت کسری را بدون بررسی صورت و مخرج، یک عدد گویا دانست.
۲. تصور اینکه هر اعشار بینهایت، گنگ است
نادرست است. عددی مانند \(0.\overline{3}\) اعشار بینهایت دارد اما گویاست:
$$ 0.\overline{3}=\frac{1}{3} $$
۳. تصور اینکه اعداد گنگ، «غیرحقیقی» هستند
اعداد گنگ کاملاً حقیقیاند. در واقع:
$$ \mathbb{I}\subset\mathbb{R} $$
۴. تصور اینکه هر عدد مختلط غیرحقیقی است
اعداد حقیقی زیرمجموعه اعداد مختلطاند. عدد \(5\) هم حقیقی و هم مختلط است، زیرا:
$$ 5=5+0i $$
۵. فراموش کردن قرارداد مربوط به صفر در اعداد طبیعی
در منابع مختلف ممکن است \(0\) عضو \( \mathbb{N} \) در نظر گرفته شود یا نشود. بنابراین در مطالعه کتابها و منابع مختلف، تعریف دقیق نویسنده را بررسی کنید.
نکات مهم برای فهم عمیقتر
- بزرگتر بودن یک مجموعه عددی به معنای «بهتر بودن» آن نیست؛ هر مجموعه برای اهداف مشخصی تعریف شده است.
- رابطه زیرمجموعهای میان دستگاهها با بسته بودن نسبت به عملیات و نیازهای مختلف حل مسئله ارتباط دارد.
- اعداد گویا و گنگ هر دو حقیقیاند و هیچ عددی همزمان در هر دو مجموعه قرار نمیگیرد.
- هر عدد صحیح گویاست، اما هر عدد گویا صحیح نیست.
- هر عدد حقیقی مختلط است، اما هر عدد مختلط حقیقی نیست.
- دستگاه اعداد مختلط را نباید صرفاً مجموعهای از «اعداد موهومی» دانست؛ هر عدد مختلط از یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی تشکیل میشود.
- اختلاف قراردادها درباره عضویت صفر در \( \mathbb{N} \) نباید با اختلاف در مفهوم بنیادی دستگاههای عددی اشتباه گرفته شود.
جمعبندی
دستگاههای عددی یک ساختار پیوسته و سلسلهمراتبی از مجموعههای عددی هستند که هر مرحله از آن بخشی از محدودیت مرحله قبل را برطرف میکند. اعداد طبیعی برای شمارش به کار میروند و با افزودن صفر و اعداد منفی به اعداد صحیح میرسیم. اعداد صحیح در اعداد گویا جای میگیرند، زیرا هر عدد صحیح را میتوان به صورت کسری با مخرج \(1\) نوشت.
اعداد گویا و گنگ در کنار یکدیگر مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل میدهند:
$$ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I} $$
و در نهایت اعداد حقیقی در مجموعه بزرگتر اعداد مختلط قرار میگیرند:
$$ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} $$
شناخت این روابط فقط برای طبقهبندی اعداد نیست؛ بلکه پایهای برای درک جبر، نظریه اعداد، هندسه، حسابان، آنالیز و بسیاری از شاخههای دیگر ریاضیات فراهم میکند.
منابع
منابع دانشگاهی و وب
- OpenStax، Contemporary Mathematics — 3.6 Real Numbers. این منبع رابطه اعداد طبیعی، صحیح، گویا، گنگ و حقیقی و همچنین معرفی اعداد مختلط را بررسی میکند.
مشاهده منبع در OpenStax
- OpenStax، Algebra and Trigonometry 2e — 1.1 Real Numbers: Algebra Essentials. تعریف مجموعههای عددی، اعداد طبیعی، صحیح، گویا و گنگ و نمایش اعشاری اعداد گویا در این منبع بررسی شده است.
مشاهده منبع در OpenStax
- OpenStax، Prealgebra — 7.1 Rational and Irrational Numbers. این منبع ساختار اعداد طبیعی، صحیح، گویا، گنگ و حقیقی را بهصورت سلسلهمراتبی توضیح میدهد.
مشاهده منبع در OpenStax
- Mathematics LibreTexts، David Arnold، 1.1: Number Systems. این بخش اعداد طبیعی، صحیح، گویا، گنگ و حقیقی را بهعنوان مقدمهای برای مطالعه دستگاههای عددی معرفی میکند.
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
- MIT OpenCourseWare، Herbert Gross، Lecture 1: The Complex Numbers. این منبع دانشگاهی ساختار اعداد مختلط و گسترش دستگاه اعداد حقیقی به اعداد مختلط را بررسی میکند.
مشاهده منبع در MIT OpenCourseWare
منابع کتابی فارسی
- امیرهوشنگ یمینی، مبانی ریاضیات، انتشارات دانشگاه صنعتی امیرکبیر، چاپ ۱۴۰۱. این کتاب دانشگاهی فصل مستقلی درباره اعداد حقیقی دارد و از منابع فارسی مرتبط با مبانی ساختارهای عددی است.
مشاهده مشخصات کتاب
- ایان استوارت و دیوید تال، مبانی ریاضیات، ترجمه محمدمهدی ابراهیمی، انتشارات جهاد دانشگاهی. معرفی کتاب و فهرست مطالب آن شامل بخشهای «دستگاههای اعداد»، «اعداد حقیقی»، «اعداد مختلط» و موضوعات مرتبط با ساختمان اعداد است.
مشاهده معرفی کتاب در دانشنامه رشد
تاریخ بررسی منابع: ۲۳ مرداد ۱۴۰۵