چگونه مسئله حل کنیم

How to Solve it

با توجه به استقبال خوبی که از کتاب انگلیسی How to Solve it تصمیم گرفته شد تا ترجمه این کتاب نیز در سایت قرار داده شود. در زیر توضیحات اختصاصی رایشمند را در ارتباط با این کتاب  ملاحظه خواهید کرد و لینک دانلود نیز در دسترس می باشد

آموزش حل مسأله ( آیا همه می توانند مسئله حل کنند؟) 

آیا حل مسأله آموزش دادنی است؟

یكی از دلایل فقدان طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش آموزان ، این است كه آموزشگران ریاضی تا چندین سال پیش معتقد بودند كه حل مسأله آموزش دادنی نیست بلكه یك هنر یا ویژگی و توانایی است كه بعضی از انسان ها دارند و بعضی ندارند. بنابراین هیچ كس تلاش برای حل مسأله به دانش آموزان نمی كرد. اما تعداد كسانی كه درمورد آموزش حل مسأله تحقیق می كنند بیش تر است. 
یكی از افرادی كه در مورد چگونگی حل مسأله و آموزش آن تحقیق كرد جرج پولیا است. حاصل كار او در كتاب «چگونه مسأله حل كنیم» منتشر شد. مرحوم احمد آرام این كتاب را ترجمه كرده است. او در مقدمه ی كتاب خود می گوید:  « من یك ریاضیدان هستم. متخصص آموزش ریاضی نیستم، اما علاقمندم بدانم چرا من می توانم مسأله ریاضی را حل كنم و دیگران نمی توانند؟ چرا بعضی از دانشجویان مسأله ریاضی را حل می كنند ولی بعضی نمی توانند؟ او همین سؤال ها را دنبال كرد و مدلی برای تفكر حل مسأله و آموزش راهبردها ارائه كرد. پولیا دو حرف اساسی دارد.

1. مدل چهار مرحله ای برای تفكر حل مسأله
2. آموزش راهبردها كه البته نكته دوم در آموزش اهمیت بیشتری دارد.

مهارت حل مسئله ( مدل چهار مرحله ای پولیا)

فرایند تفكر حل مسأله برای افراد مختلف متفاوت است. در سال 1945 جورج پولیا با نوشتن کتاب (How to solve it) برای اولین بار مدل یا چارچوبی برای حل مسئله ارائه داد. پولیا تلاش كرده تفكر حل مسأله را به نوعی مدل سازی كند. او الگویی چهار مرحله ای را مطرح كرده است. در فرایند حل مسأله این چهار مرحله چهار گام طی می شوند تا یك مسأله ریاضی به طور كامل حل شود. مدل چهار مرحله ای او به این مشكل است:

1. فهم سؤال 
2. تهیه طرح یا نقشه
3. اجرای طرح
4. بازنگری

که به طور خلاصه هر کدام را به صورت زیر می توان توضیح داد :

1. فهمیدن مسئله
   پاسخ به پرسشی که فهمیده نشده کاری عبث و بیهوده می باشد لذا معلم باید از افتادن چنین اتفاقی در کلاس جلوگیری کند و علاوه بر آن میل به پاسخ را در دانش آموز ایجاد کند. بنابراین ابتدا معلم باید از شاگرد بخواهد مسئله را بصورت روان بیان کند و سپس مشخص کند که مسئله از نوع (ثابت کردنی) یا (پیدا کردنی) است. لذا شاگرد باید بتواند بخش های اصلی مسئله که مجهول و دادهجها و شرط است بیان کند. لذا معلم نباید پرسش های زیر را فراموش کند :‌ مجهول چیست؟ داده ها کدام است؟ شرط چیست؟ آیا تحقق یافتن شرط مسئله امکان پذیر است؟ آیا شرط مسئله برای تعیین مجهول کفایت می کند؟ یا این که شرط مسئله کافی است؟ آیا شرط مسئله زائد است؟ آیا در شرط مسئله تناقض است؟ حال معلم می تواند به شاگردان پیشنهاد دهد که : در صورت امکان شکلی رسم کنید علائم مناسب را به کار ببرید قسمت های مختلف شرط را از هم جدا کنید به منابع دیگر برای یافتن لغات و عبارت های کلیدی رجوع کنید.
2. تهیه طرحی مناسب برای مسئله:
   معلم در اینجا باید از شاگرد بخواهد ارتباط میان داده ها و مجهول را پیدا کند و در صورت نیافتن ارتباط مستقیمی میان داده ها و مجهول مسئله های کمکی را در نظر بگیرد تا بتواند برای حل مسئله نقشه ای طرح کند لذا از طرف معلم سئوالات زیر برای طرح نقشه، توسط شاگرد می تواند مفید باشد. در این جا مسئله ای وابسته به مسئله شما وجود دارد که قبل از این حل شده است آیا می توانید آنرا به کار ببرید؟ آیا می توانید روش به کار رفته در آن را در این مسئله به کار ببرید؟ آیا باید یک عنصر کمکی را وارد کنید تا به کار بردن آن را ممکن سازد؟ آیا می توانید صورت مسئله را به صورت دیگری بیان کنید؟ اگر نمی توانید مسئله طرح شده را حل کنید ابتدا به حل کردن مسئله وابسته به آن بپردازید. آیا می توانید مسئله وابسته را که بیشتر در دسترس باشد تحلیل کنید؟ با یک مسئله کلی تر؟ با یک مسئله خاص تر؟ با یک مسئله مشابه؟ آیا می توانید یک قسمت از مسئله را حل کنید؟ تنها یک جزء از شرط را نگاه دارید. و باقی آن را کنار بگذارید در این صورت مجهول تا به چه اندازه معلوم می شود و چگونه تغییر می کند؟ آیا می توانید از داده ها چیز سودمندی استخراج کنید؟ آیا داده های دیگری به فکر شما خطور می کند که بتواند برای به دست آوردن مجهول سودمند باشد؟ آیا می توانید مجهول با داده ها یا در صورت لزوم هر دو را چنان تغییر دهید که مجهول تازه و داده های تازه به یکدیگر نزدیکتر باشند؟ آیا همه داده ها را به کار برده اید؟ آیا همه شرط ها را به کار برده اید؟ آیا همه مفاهیم اصلی مندرج در مساله را بکار برده اید؟ چند نمونه از استراتژی های که در طول حل مساله ممکن است بکار روند بقرار زیر می باشد: تهیه مدل یعنی رسم الگوی مشابه یا منحنی متناسب با موقعیت مساله تهیه فهرست جدولجها و منحنی های منظم و سازمان یافته و جستجو برای الگو کارکردن برعکس انتخاب های نمادهای مناسب مشخص کردن اطلاعات داده شده مورد احتیاج و خواسته شده نوشتن یک معادله یا یک فرمول حل ساده تر و مرتبط با مساله داده شده تقسیم یک مساله به زیر مساله های مختلف وحل هر کدام از آنها استفاده از استدلال استنتاجی کنترل فرضیه های پنهان در صورت مسالهحدس یک جواب و آزمایش آن تغییر نحوه نگرش به مساله (تغییر دیدگاه)
3. اجرای طرح (نقشه):
   پس از آنکه طرح مناسب برای حل مساله تهیه شد باید آن را به مورد اجرا گذاشت. شخص باید نظارت کامل به پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کند که طرح کشیده شده او را به هدف که همان حل مساله می باشد رهنمون نکند بتواند طرح جدیدی را تهیه و اجرا بکند. سوالاتی که در ضمن اجرای نقشه معلم می تواند از شاگرد بپرسد بصورت زیر می باشد. آیا طرحی که تهیه کرده اید شما را به حل مساله هدایت می کند؟ آیا لازم است که طرح فعلی را کنار گذاشته و طرح جدیدی تهیه کند؟آیا برای اجرای طرح خود به اطلاعات اضافه تر یا کمک دیگران نیازمند می باشید؟
4. بازنگری:
   امتحان کردن جوابی که بدست آمده است پس از پایان اجرا، حل کننده مساله باید بازنگری بر تمامی مراحل اجرای طرح داشته باشد

راهبردهای حل مسئله

1. راهبرد رسم شكل:
   كشیدن شكل برای بهتر فهمیدن مسئله و یا پیدا كردن راه حل آن می­باشد. راهبرد رسم شكل ، بهترین شروع برای حل مسئله است . طبیعی ترین راهبردی كه به ذهن دانش آموز می رسد رسم شكل است. بسیاری از مسائل با كشیدن ی شكل مناسب یا مسأله به طول كامل حل یا راه حل آنها آشكار می شود. اغلب معلمان این راهبرد ( راه حل) را در حل مسأله ها از دانش آموزان نمی پذیرند به همین دلیل این راهبرد طبیعی كم كم كنار گذاشته می شود.
2. راهبرد الگویابی :
    كشف رابطه بین جمله‌­های عددی و یا شكل­های هندسی در مسئله است 
3. راهبرد زیر مسئله :
   مسئله‌­های پیچیده و چند هدفی را به مسئله­های كوتاه و سلسله­وار تقسیم كرده و با حل آن­ها ، مسئله حل خواهد شد. تشخیص زیر مسأله ها و حل آنها ، راهبرد مهمی برای حل مسأله های تركیبی است.
   در این راهبرد 2 نكته قابل توجه است :
   • تشخیص زیر مسئله­‌ها
   •  نوشتن مسئله­های كوچك و حل آنها برای رسیدن به پاسخ نهائی مسئله
4. راهبرد مسئله ی ساده تر مرتبط با مسئله ی اصلی :
   گاهی مسأله پیچیدگی هایی دارد كه نمی توان آن را به راحتی حل كرد . اما وقتی آن را ساده می كنیم، یا حل و یا روش حل آن ظاهر می شود. وقتی مسأله درحالت ساده تر بررسی شد یا یك الگو یابی می توان آن را به حالت كلی تعمیمی داد. ساده كردن عددها و داده ها نیز بخشی از این راهبرد است.
5. راهبرد سازمان دهی­داده­ها و جدول نظام­دار :
    سازمان­دهی­داده­ها از طریق جدول نظام­دار ، ما را یاری می­دهد كه بتوانیم الگویی را از دل آنها كشف كنیم و اطلاعات پنهان در داده­ها را به دست آوریم .
6. راهبرد حدس و آزمایش :
   دانش ­آموز پاسخ مسئله را حدس می­ زند ، پس از بررسی حدس و آزمایش كردن آن ، حدس بعدی را با استدلالی منطقی مشخص می­ كند. با ادامه دادن این فرآیند، كم كم خود به پاسخ درست مسئله می­رسد.
7. راهبرد حذف حالت­های نا مطلوب:
   حذف حالت های نامطلوب ، یعنی كنار گذاشتن حالت هایی كه با شرایط و فرضیات مسأله تطبیق نداند تا رسیدن به پاسخ و حالت مطلوب كه مورد نظر مسأله است.با دسته بندی كردن پاسخ­‌های احتمالی با توجه به داده­‌های مسئله حالت‌­های نامطلوب حذف شده و پاسخ درست مشخص خواهد شد .
8. راهبرد روش جبری و تشكیل معادله :
   برای استفاده از این روش 5 گام زیر باید رعایت شود :
   1. خواندن مسئله بادقت
   2. انتخاب نماد برای تغییر
   3. نوشتن معادله
   4. حل معادله
   5. آزمایش كردن پاسخ

چند نكته:

1. زمانی كه آموزش یك راهبرد مورد نظر است، از دانش آموزان می خواهیم، مساله های داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل كنند تا با آن به طور كامل آشنا شوند. اما با گذاشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مسأله آن ها می توانند از هر راهبردی كه مایل هستند مسأله را حل كنند. به این ترتیب ، یك مسأله می تواند با راهبردهای متفاوت دركلاس حل شود. در صورتی كه این اتفاق دركلاس بیفتد باعث خوش حالی و سربلندی معلم خواهد شد.
2. آموزش راهبرد یعنی فراهم كردن شرایط و موقعیتی كه دانش آموز درك كند، راهبرد مورد نظر برای حل مسأله كارآیی دارد.
3. تعداد راهبرد زیاد است اما آموزش تعداد زیادی راهبرد به دانش آموزان طبق تحقیقات انجام شده مناسب نیست. زیرا مانع تفكر و خلاقیت دانش آموز خواهد شد. در این جا چند راهبرد بررسی می شوند:

ویژگی ها و راهكارهای حل مسائل كتاب ریاضی:

معمولاٌ دانش آموزان در حل مسائل كتاب­های درسی مشكلات عمده­ای دارند. از این رو لازم است، راهكارهایی جهت حل مسائل كتاب ( با داشتن ویژگی های مناسب) به شاگردان ارائه گردد. برخی از این راهكارها عبارتند از:

• شاگردان را باید هدایت كردكه مسئله را بفهمند. برای این منظور بخواهید كه متن مسئله را دقیق بخوانند و یا با زبان خودشان توضیح دهند كه مسئله چه میگوید و چه می­خواهد. ( فهمیدن)
• از شاگردان بخواهید مشخص كنند كه معلومات مسئله چیست؟ مجهول مسئله كدام است؟ به عبارت دیگر معین كنند، چه دارند و چه می­خواهند و بعد راهی را كه می­توانند با استفاده از آن به حل مسئله اقدام كنند، را حدس بزنند. ( انتخاب راهبرد حل مسئله )
• توضیح دهید كه نحوه­ی خواندن مسئله برای حل آن بسیار مهم است . كسانی كه نتوانند درست بخوانند ، مسئله را نخواهند فهمید و در نتیجه نخواهند توانست آن را حل كنند.
• بخواهید كه مسئله را عینی سازی كنند. بدین ترتیب كه مثلاٌ وقتی گفته میشود علی 2 سیب دارد،  مادرش به او 3 سیب دیگر داد. حالا علی چند سیب دارد؟ در این مسئله فرد خودش و مادرش را در نظر بگیرد و تعداد سیب­های داشته و گرفته را ملموس كند تا بهتر بتواند مسئله را درك كند.
• بخواهید تا خودشان در رابطه با راه حلی كه به ذهن خودشان می­رسد، مسئله­ای بسازند. مثلاٌ مسئله­ای را بسازند كه از راه جمع جل گردد. این موضوع به شاگردان كمك خواهد كرد تا مفاهیم را بهتر درك كنند و یادگیری آنها تقویت گردد.
• بخواهید كه بعد از خواندن مسئله، پاسخ مسئله را حدس بزنند. این امر كمك می­كند تا با بیشتربه مسئله توجه كنند.
• یادآوری نمائید كه یك مسئله ممكن است چند راه حل داشته باشد. كه می­توانند از هر راه حل استفاده كنند.
• به دانش آموزان آموزش دهید كه ، هر علامت سئوال در متن مسئله ، یك جواب می ­خواهد.
• برای تمركز بیشتر دانش آموزان به آنان آموزش دهید زیر اعداد بكار رفته در مسئله خط بكشند.
• بخواهید كه بعد از هر مسئله پاسخی را كه به دست می­آورند، با یك عبارت فارسی بنویسند كه چیست. (جلو نویسی آنچه را كه بدست آورده­اند.)
• اگر خودتان مسئله طرح می­كنید سعی كنید كه صورت مسئله روشن و بدور از ابهام باشد تا شاگردان آن را راحت بفهمند.
• مسئله­‌ی طرح شده باید با سطح اطلاعات و دانش شاگردان همخوانی داشته باشد.
• تا آن جا كه امكان دارد، سعی كنید مسئله­ای طرح كنید كه صورت مسئله جنبه­ی شهودی و تجربی داشته باشد.
• مسئله­‌ای را كه برای شاگردان طرح می­كنید سعی كنید ، برای آنان لذت بخش باشد. مورد  علاقه­‌ی آنها باشد. فرصت­‌ها را برای كشف ریاضی ایجاد كند. قادر باشند از راه‌­های مختلف حل كنند.
• به شاگردان اجازه دهید تا روشی را كه خود پیشنهاد می­‌كنند جهت حل مسئله بكار گیرند.
• از مدل واقعی و ملموس جهت مسئله استفاده كنید. (تا جایی كه ممكن است برای آن شكل كشیده شود.‌)
• از اشكال، تابلو، نمودارها و نقشه­های هندسی جهت درك بهتر مسئله استفاده كنید.
• ارتباط دادن یك مسئله­ی مشكل و سخت با یك مسئله­ی مشابه امكان حل آن را برای شاگردان ساده تر می­كند. (راهبرد حل مسئله­‌ی ساده­ تر)