چندجملهای یکی از مهمترین ساختارهای زبان جبر است. بسیاری از عبارتهایی که در جبر با آنها سروکار داریم، از کنار هم قرار گرفتن جملههایی ساخته میشوند که هر کدام شامل یک ضریب و توانهایی از متغیرها هستند. به همین دلیل، شناخت دقیق چندجملهای فقط برای حل تمرینهای مربوط به خود آن اهمیت ندارد؛ بلکه پایهای برای مباحثی مانند عملیات جبری، تجزیه، معادلات و توابع چندجملهای نیز محسوب میشود.
برای نمونه، عبارت \(4x^3-2x+7\) یک چندجملهای است. در این عبارت، \(4x^3\)، \(-2x\) و \(7\) جملههای چندجملهای هستند و عددهای \(4\)، \(-2\) و \(7\) نقش ضریب جملههای مربوط به خود را دارند.
چندجملهای چیست؟
چندجملهای عبارتی جبری است که از مجموع یا تفاضل یک یا چند جمله تشکیل میشود و در هر جمله، توان متغیرها عدد صحیح نامنفی است.
یک چندجملهای یکمتغیره را میتوان به شکل کلی زیر نوشت:
$$ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0 $$
در این نمایش، ضرایب \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) عدد هستند و توانهای متغیر \(x\) اعداد صحیح نامنفیاند. اگر \(a_n\neq 0\) باشد، بزرگترین توان ظاهرشده در چندجملهای برابر \(n\) است.
برای مثال:
$$ P(x)=3x^4-5x^2+2x-7 $$
یک چندجملهای در متغیر \(x\) است. در این عبارت توانهای \(4\)، \(2\)، \(1\) و \(0\) دیده میشوند و هیچ توان منفی یا کسری از \(x\) وجود ندارد.
اجزای اصلی یک چندجملهای
برای شناخت یک چندجملهای، باید چند مفهوم مرتبط را از یکدیگر تشخیص داد: جمله، ضریب، متغیر و ثابت.
جمله
هر بخش از یک عبارت جبری که با علامت جمع یا تفریق از بخش دیگر جدا میشود، یک جمله محسوب میشود.
برای مثال، در چندجملهای
$$ 5x^3-2x^2+7x-4 $$
چهار جمله وجود دارد:
- \(5x^3\)
- \(-2x^2\)
- \(7x\)
- \(-4\)
علامت منفی بخشی از ضریب جمله بعدی محسوب میشود؛ بنابراین بهتر است عبارت را به صورت مجموع جملهها نیز در نظر بگیریم:
$$ 5x^3+(-2x^2)+7x+(-4) $$
برای آشنایی دقیقتر با مفهوم جمله و ضریب، میتوانید به مقاله ضریب و جمله مراجعه کنید.
ضریب
ضریب عددی است که در یک جمله در متغیر یا حاصلضرب متغیرها ضرب شده است. برای نمونه، در جمله \(7x^3\)، عدد \(7\) ضریب است و در جمله \(-4x^2\)، ضریب برابر با \(-4\) است.
اگر متغیر بدون ضریب عددی نوشته شود، ضریب آن \(1\) در نظر گرفته میشود:
$$ x=x^1=1x $$
همچنین:
$$ -x=-1x $$
بنابراین ضریب \(x\) برابر \(1\) و ضریب \(-x\) برابر \(-1\) است.
جمله ثابت
جملهای که متغیر نداشته باشد، جمله ثابت نامیده میشود. برای مثال، در
$$ 3x^2-5x+8 $$
عدد \(8\) جمله ثابت است.
میتوان جمله ثابت را به صورت \(8x^0\) نیز در نظر گرفت، زیرا:
$$ x^0=1 $$
و در نتیجه:
$$ 8x^0=8 $$
انواع چندجملهای بر اساس تعداد جملهها
چندجملهایها را میتوان بر اساس تعداد جملههایشان دستهبندی کرد.
تکجملهای
چندجملهای دارای یک جمله را تکجملهای مینامند.
نمونهها:
- \(5x^2\)
- \(-3x^4\)
- \(7\)
- \(2xy^3\)
هر تکجملهای، از دیدگاه کلی، خود یک چندجملهای است.
دوجملهای
چندجملهای دارای دو جمله، دوجملهای نام دارد.
برای مثال:
$$ x+5 $$
یا:
$$ 3x^2-7x $$
هر دو دوجملهای هستند.
سهجملهای
چندجملهای دارای سه جمله را سهجملهای مینامند.
برای مثال:
$$ x^2+4x+3 $$
یک سهجملهای است.
در نامگذاری، چندجملهایهای دارای بیش از سه جمله معمولاً صرفاً «چندجملهای» نامیده میشوند و برای هر تعداد بیشتر از سه جمله، نام ویژهای در این سطح از آموزش وجود ندارد.
چندجملهای بر اساس تعداد متغیرها
چندجملهایها را میتوان از نظر تعداد متغیرها نیز بررسی کرد.
چندجملهای یکمتغیره
اگر فقط یک متغیر در عبارت وجود داشته باشد، با چندجملهای یکمتغیره روبهرو هستیم.
برای مثال:
$$ 4x^3-2x+1 $$
یک چندجملهای یکمتغیره است.
چندجملهای چندمتغیره
اگر بیش از یک متغیر در جملهها وجود داشته باشد، چندجملهای چندمتغیره خواهیم داشت.
برای مثال:
$$ 3x^2y-5xy^2+7 $$
چندجملهای در متغیرهای \(x\) و \(y\) است.
در چندجملهایهای چندمتغیره نیز توان هر متغیر باید عدد صحیح نامنفی باشد. برای نمونه، \(4x^2y^3\) یک تکجملهای چندمتغیره است.
درجه چندجملهای
درجه چندجملهای برابر با بیشترین درجه در میان جملههای آن است. در چندجملهای یکمتغیره، این مقدار همان بزرگترین توان متغیر است.
برای مثال:
$$ P(x)=4x^5-3x^2+x-8 $$
بزرگترین توان \(x\)، عدد \(5\) است؛ بنابراین درجه این چندجملهای برابر \(5\) است.
مثال دیگر:
$$ Q(x)=7x^3-2x^6+5x-1 $$
اگرچه عبارت به صورت مرتب نوشته نشده است، بزرگترین توان \(6\) است. بنابراین درجه چندجملهای برابر \(6\) است.
برای مطالعه مستقل و کاملتر این مفهوم، به مقاله درجه چندجملهای مراجعه کنید.
درجه یک جمله در چند متغیر
در یک جمله چندمتغیره، درجه جمله برابر مجموع توان متغیرهای موجود در آن جمله است.
برای مثال، در جمله
$$ -5x^2y^3 $$
درجه جمله برابر است با:
$$ 2+3=5 $$
بنابراین درجه این جمله \(5\) است.
در چندجملهای چندمتغیره، درجه کل چندجملهای برابر بیشترین درجه جملههای آن است.
برای مثال:
$$ P(x,y)=3x^2y^2+5xy-7 $$
درجه جملههای آن بهترتیب \(4\)، \(2\) و \(0\) است؛ بنابراین درجه چندجملهای برابر \(4\) خواهد بود.
شکل استاندارد چندجملهای
وقتی جملههای یک چندجملهای یکمتغیره را بر اساس درجه، از بزرگترین به کوچکترین مرتب کنیم، چندجملهای در شکل استاندارد نوشته شده است.
برای مثال، عبارت زیر در شکل استاندارد نیست:
$$ 3x-4x^2+7-2x^4+x^3 $$
با مرتب کردن جملهها بر اساس توان نزولی \(x\)، داریم:
$$ -2x^4+x^3-4x^2+3x+7 $$
این نمایش، شکل استاندارد چندجملهای است.
نوشتن چندجملهای به شکل استاندارد باعث میشود درجه، جمله پیشرو و ضریب پیشرو آن بهسادگی قابل تشخیص باشند.
جمله پیشرو و ضریب پیشرو
در چندجملهای که به شکل استاندارد نوشته شده است، جملهای که بیشترین درجه را دارد، جمله پیشرو نامیده میشود.
برای مثال:
$$ P(x)=6x^4-3x^2+8x-1 $$
جمله پیشرو \(6x^4\) است.
ضریب جمله پیشرو، ضریب پیشرو نامیده میشود. بنابراین در این مثال، ضریب پیشرو برابر \(6\) است.
اگر داشته باشیم:
$$ Q(x)=-4x^5+2x^3+x-9 $$
جمله پیشرو \(-4x^5\) و ضریب پیشرو \(-4\) است.
چگونه یک عبارت را به چندجملهای تشخیص دهیم؟
برای تشخیص اینکه یک عبارت چندجملهای است یا نه، باید توانهای متغیرها را بررسی کرد. در تعریف معمول چندجملهای، توان هر متغیر باید عدد صحیح نامنفی باشد.
عبارتهای زیر چندجملهای هستند:
- \(3x^4-2x+1\)
- \(7x^2+5\)
- \(4xy^2-3x^2y+8\)
- \(9\)
اما عبارتهایی مانند موارد زیر چندجملهای نیستند:
- \(\frac{1}{x}\)
- \(\sqrt{x}\)
- \(x^{-2}+1\)
دلیل این است که میتوان آنها را به صورت توانهایی از \(x\) با توان منفی یا کسری نوشت:
$$ \frac{1}{x}=x^{-1} $$
و:
$$ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} $$
توان منفی یا کسری با تعریف معمول چندجملهای سازگار نیست.
چندجملهای صفر
عبارت صفر، یعنی \(0\)، یک حالت ویژه است. در بسیاری از منابع، درجه چندجملهای صفر به صورت تعریفنشده در نظر گرفته میشود و در برخی مباحث پیشرفتهتر، قرارداد دیگری مانند \(-\infty\) برای آن به کار میرود.
در آموزش مقدماتی بهتر است این مورد را از چندجملهایهای ناصفر جدا کنیم؛ زیرا تعریف درجه به عنوان «بزرگترین توان با ضریب ناصفر» برای چندجملهای صفر مستقیماً قابل استفاده نیست.
رابطه چندجملهای با مفاهیم دیگر
چندجملهای بهتنهایی یک مفهوم جدا از سایر بخشهای جبر نیست. ساختار آن بر پایه چند مفهوم سادهتر بنا شده است.
- متغیر مشخص میکند چه کمیتی میتواند تغییر کند.
- ثابت مقداری است که در عبارت به عنوان مقدار ثابت ظاهر میشود.
- جمله واحدهای سازنده عبارت جبری را تشکیل میدهد.
- ضریب مقدار عددی همراه با متغیر را مشخص میکند.
- درجه، بالاترین درجه موجود در جملههای چندجملهای را نشان میدهد.
- شکل استاندارد، ترتیب منظم جملهها را بر اساس درجه فراهم میکند.
برای آشنایی با مفاهیم پایهتر، میتوانید مقاله متغیر و ثابت و مقاله ضریب و جمله را مطالعه کنید.
مثال تشخیص اجزای یک چندجملهای
چندجملهای زیر را در نظر بگیرید:
$$ P(x)=-3x^4+5x^2-7x+9 $$
میتوان اجزای آن را چنین مشخص کرد:
- تعداد جملهها: \(4\)
- جملهها: \(-3x^4\)، \(5x^2\)، \(-7x\) و \(9\)
- درجه چندجملهای: \(4\)
- جمله پیشرو: \(-3x^4\)
- ضریب پیشرو: \(-3\)
- جمله ثابت: \(9\)
این مثال نشان میدهد که چندجملهای را میتوان همزمان از چند دیدگاه بررسی کرد: تعداد جملهها، درجه، ضرایب، جمله پیشرو و جمله ثابت.
چندجملهای و جملههای همنوع
در عملیات جبری، فقط جملههایی را میتوان مستقیماً با هم ترکیب کرد که متغیرها و توانهای متناظر آنها یکسان باشند. این جملهها را جملههای همنوع مینامیم.
برای مثال، \(3x^2\) و \(5x^2\) همنوع هستند و میتوان آنها را ترکیب کرد:
$$ 3x^2+5x^2=8x^2 $$
اما \(3x^2\) و \(5x\) همنوع نیستند و نمیتوان آنها را به یک جمله واحد تبدیل کرد.
شناخت جملههای همنوع در سادهسازی چندجملهایها اهمیت زیادی دارد و در ادامه یادگیری عبارتهای جبری، نقش پایهای دارد.
چندجملهایها در عملیات جبری
چندجملهایها را میتوان با استفاده از قواعد جبر جمع، تفریق و ضرب کرد. در جمع و تفریق، مهمترین ایده ترکیب جملههای همنوع است. در ضرب، از خاصیت توزیعی استفاده میشود تا هر جمله در جملههای عبارت دیگر ضرب شود.
برای نمونه:
$$ (2x+3)+(4x-5)=6x-2 $$
و در ضرب:
$$ x(x+3)=x^2+3x $$
این عملیات پایه، مقدمهای برای کار با عبارتهای جبری پیچیدهتر، تجزیه و حل بسیاری از معادلات هستند.
برای مطالعه این بخش، میتوانید به مقاله عملیات روی عبارتهای جبری مراجعه کنید.
کاربرد چندجملهای در جبر
چندجملهایها در بخش بزرگی از ریاضیات و علوم کاربرد دارند. در جبر، از آنها برای نمایش روابط بین کمیتها، سادهسازی محاسبات و ساخت مدلهای ریاضی استفاده میشود.
برای مثال، اگر طول یک مستطیل \(x+3\) و عرض آن \(x+2\) باشد، مساحت آن با ضرب دو عبارت به دست میآید:
$$ A=(x+3)(x+2) $$
با استفاده از خاصیت توزیعی:
$$ A=x^2+5x+6 $$
در نتیجه، یک مسئله هندسی به یک چندجملهای تبدیل شده است.
در مباحث پیشرفتهتر، چندجملهایها در مطالعه توابع، معادلات، تقریب توابع و بسیاری از مدلهای ریاضی نیز ظاهر میشوند.
اشتباهات رایج درباره چندجملهای
اشتباه اول: هر عبارت دارای متغیر را چندجملهای دانستن
وجود متغیر بهتنهایی برای چندجملهای بودن کافی نیست. برای مثال، \(\frac{1}{x}\) یک عبارت جبری است، اما چندجملهای نیست؛ زیرا میتوان آن را به صورت \(x^{-1}\) نوشت.
اشتباه دوم: اشتباه گرفتن تعداد جمله و درجه
تعداد جملهها و درجه دو ویژگی متفاوت هستند. برای مثال:
$$ x^7+x+1 $$
سه جمله دارد، اما درجه آن \(7\) است.
اشتباه سوم: در نظر نگرفتن علامت ضریب
در جمله \(-5x^3\)، ضریب \(-5\) است، نه \(5\). علامت منفی بخشی از ضریب جمله است.
اشتباه چهارم: اشتباه گرفتن ضریب پیشرو با بزرگترین توان
در چندجملهای
$$ -7x^5+2x^3-x+4 $$
درجه برابر \(5\) است، اما ضریب پیشرو برابر \(-7\) است.
اشتباه پنجم: تشخیص نادرست جمله ثابت
در چندجملهای \(4x^3-2x+9\)، جمله ثابت \(9\) است. این عدد بخشی از ضریب جمله متغیری نیست؛ بلکه خودش یک جمله مستقل است.
مسیر پیشنهادی مطالعه
برای یادگیری منظم عبارتهای جبری، بهتر است ابتدا با مفهوم متغیر و ثابت آشنا شوید، سپس ساختار جمله و ضریب را یاد بگیرید و بعد به چندجملهای و درجه آن برسید. پس از آن، سادهسازی و عملیات روی عبارتهای جبری درک بسیار روشنتری خواهند داشت.
- متغیر و ثابت
- ضریب و جمله
- چندجملهای
- درجه چندجملهای
- سادهسازی عبارتهای جبری
- عملیات روی عبارتهای جبری
جمعبندی
چندجملهای عبارتی جبری است که از یک یا چند جمله با توانهای صحیح نامنفی متغیر تشکیل میشود. هر جمله دارای ساختاری مشخص است و میتواند شامل ضریب، متغیر و توان باشد. چندجملهایها بر اساس تعداد جملهها به تکجملهای، دوجملهای و سهجملهای تقسیم میشوند و بر اساس تعداد متغیرها نیز میتوان آنها را یکمتغیره یا چندمتغیره دانست.
درجه چندجملهای، بیشترین درجه موجود در میان جملههای آن است و در شکل استاندارد، جملهای که بیشترین درجه را دارد جمله پیشرو نامیده میشود. ضریب این جمله نیز ضریب پیشرو است. تسلط بر این مفاهیم، پایهای برای یادگیری درجه چندجملهای، سادهسازی، عملیات جبری و مباحث بعدی جبر است.
مطالب مرتبط
منابع
منابع کتابی و دانشگاهی
- OpenStax، Algebra and Trigonometry 2e، بخش Polynomials. این منبع تعریف چندجملهای، جمله، ضریب، درجه، جمله پیشرو، ضریب پیشرو و شکل استاندارد را پوشش میدهد.
مشاهده منبع در OpenStax
- OpenStax، Elementary Algebra 2e، بخش Add and Subtract Polynomials. این منبع تعاریف تکجملهای، دوجملهای، سهجملهای و درجه چندجملهای را همراه با مثالهای آموزشی ارائه میکند.
مشاهده منبع در OpenStax
- Mathematics LibreTexts، Polynomials. این منبع مباحث تعریف چندجملهای، درجه، ضریب پیشرو، جمع و تفریق و ضرب چندجملهایها را پوشش میدهد.
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
- Mathematics LibreTexts، The Anatomy of a Polynomial. این منبع ساختار جمله، ضریب، جمله ثابت، جمله پیشرو و درجه را در چندجملهایهای یکمتغیره و چندمتغیره توضیح میدهد.
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
منابع وب
این مقاله در سایت علمی
رایشمند منتشر شده است. خوشحال میشویم اگر
دیدگاه و نظر خود را درباره این موضوع با ما و دیگر خوانندگان در میان بگذارید.