مجموعه تهی مجموعه‌ای است که هیچ عضوی ندارد و با نمادهای \( \emptyset \) یا \( \{\} \) نمایش داده می‌شود. این مفهوم یکی از ساده‌ترین و در عین حال بنیادی‌ترین مفاهیم نظریه مجموعه‌هاست و در تعریف زیرمجموعه، اشتراک مجموعه‌ها، حل مسائل، منطق و بسیاری از مباحث ریاضی نقش اساسی دارد.
در این مقاله با تعریف دقیق مجموعه تهی، تفاوت آن با عدد صفر و مجموعه تک‌عضویِ شامل صفر، ویژگی‌های مهم، ارتباط آن با زیرمجموعه‌ها و روش تشخیص مجموعه تهی آشنا می‌شوید و چند مثال حل‌شده را بررسی می‌کنیم.
عضویت و زیرمجموعه از بنیادی‌ترین مفاهیم نظریه مجموعه‌ها هستند و پایه بسیاری از مباحث بعدی ریاضیات، از جمله اجتماع، اشتراک، متمم، مجموعه توانی، روابط و توابع را تشکیل می‌دهند. در این مقاله تفاوت دقیق میان «عضو یک مجموعه بودن» و «زیرمجموعه یک مجموعه بودن» را بررسی می‌کنیم، نمادهای \( \in \)، \( \notin \)، \( \subseteq \) و \( \subsetneq \) را توضیح می‌دهیم و با استفاده از مثال‌های مرحله‌به‌مرحله، روش تشخیص زیرمجموعه، برابری دو مجموعه، زیرمجموعه‌های سره، مجموعه تهی و خواص مهم رابطه زیرمجموعه را آموزش می‌دهیم. همچنین به تفاوت مفاهیمی مانند \(a\in A\) و \(\{a\}\subseteq A\)، رابطه میان عضویت و زیرمجموعه و خطاهای رایج در استفاده از نمادها می‌پردازیم.
نمایش مجموعه یکی از مهارت‌های پایه در یادگیری نظریه مجموعه‌ها و زبان ریاضی است. یک مجموعه را می‌توان به روش‌های مختلفی معرفی کرد؛ از جمله با فهرست‌کردن اعضا، بیان ویژگی مشترک اعضا و در برخی موارد با استفاده از نمودار یا توصیف کلامی. در این مقاله روش فهرستی یا اعضانویسی، روش سازنده مجموعه، کاربرد نمادهای ریاضی، نمایش مجموعه‌های متناهی و نامتناهی، تبدیل میان روش‌های مختلف نمایش و خطاهای رایج بررسی می‌شود. همچنین با مثال‌های حل‌شده نشان می‌دهیم چگونه یک مجموعه را از روی ویژگی اعضای آن بنویسیم و برعکس، از روی نمایش فهرستی ویژگی مشترک اعضا را پیدا کنیم.
مجموعه یکی از بنیادی‌ترین مفاهیم ریاضیات است و بسیاری از مفاهیم مهم مانند عدد، تابع، رابطه، احتمال و ساختارهای ریاضی را می‌توان با زبان مجموعه‌ها تعریف و بررسی کرد. در این مقاله مفهوم مجموعه را از تعریف شهودی تا صورت‌بندی دقیق ریاضی بررسی می‌کنیم، تفاوت مجموعه با فهرست و دنباله را توضیح می‌دهیم، مفهوم عضو و عضویت، برابری مجموعه‌ها، روش‌های تعیین یک مجموعه، مجموعه‌های عددی و مجموعه‌های متناهی و نامتناهی را معرفی می‌کنیم و با مثال‌های حل‌شده نشان می‌دهیم چگونه باید تشخیص دهیم یک شیء عضو یک مجموعه است یا نه. همچنین توضیح می‌دهیم که چرا در ریاضیات جدید، مفهوم مجموعه در سطح بنیادی به‌صورت اصل‌موضوعی مطالعه می‌شود.
مجموعه یکی از بنیادی‌ترین مفاهیم در ریاضیات است و برای تعریف و سازمان‌دهی بسیاری از اشیای ریاضی به کار می‌رود. در این مقاله با مفهوم مجموعه، روش‌های نمایش آن، رابطه عضویت و زیرمجموعه، مجموعه تهی، مجموعه‌های متناهی و نامتناهی و مهم‌ترین عملیات روی مجموعه‌ها آشنا می‌شوید. همچنین مفاهیمی مانند اجتماع، اشتراک، تفاضل، متمم، ضرب دکارتی و مجموعه توانی را در یک چارچوب منسجم بررسی می‌کنیم تا ارتباط میان این مفاهیم و کاربرد آنها در ریاضیات، علوم کامپیوتر و سایر حوزه‌های علمی روشن شود.
ریاضیات فقط مجموعه‌ای از فرمول‌ها و روش‌های محاسبه نیست؛ بلکه زبانی دقیق برای تعریف مفاهیم، بیان گزاره‌ها، استدلال درباره آنها و اثبات نتایج است. هرچه از محاسبات مقدماتی به شاخه‌های پیشرفته‌تر ریاضیات حرکت کنیم، اهمیت این جنبه از ریاضیات بیشتر می‌شود.
پیش از مطالعه موضوعاتی مانند جبر، آنالیز، احتمال، هندسه یا نظریه اعداد، لازم است با برخی مفاهیم بنیادی آشنا باشیم: مجموعه‌ها، گزاره‌ها، منطق، کمیت‌نماها، روش‌های اثبات، دستگاه‌های عددی و زبان نمادین ریاضیات.
این مباحث در واقع به یکدیگر وابسته‌اند. مجموعه‌ها چارچوبی برای تعریف بسیاری از اشیای ریاضی فراهم می‌کنند؛ منطق، ساختار گزاره‌ها و قواعد استدلال را مشخص می‌کند؛ روش‌های اثبات نشان می‌دهند چگونه یک نتیجه را به‌طور معتبر از فرض‌ها به دست آوریم؛ دستگاه‌های عددی انواع مختلف اعداد و روابط میان آنها را سازمان می‌دهند؛ و نمادگذاری ریاضی امکان بیان دقیق و فشرده همه این مفاهیم را فراهم می‌کند.
به همین دلیل، آشنایی با مبانی ریاضیات را باید بخشی از مسیر شکل‌گیری تفکر ریاضی دانست، نه صرفاً مجموعه‌ای از تعاریف مقدماتی. دوره دانشگاهی «Mathematics for Computer Science» در مؤسسه فناوری ماساچوست (MIT) نیز مجموعه‌ها، نمادگذاری منطقی، روابط، استقرا و روش‌های اثبات را در میان ابزارهای پایه ریاضیات قرار می‌دهد. منبع دانشگاهی MIT
پراکسیزوم‌ها اندامک‌های کوچکی هستند که در سلول‌های یوکاریوتی گیاهی و جانوری یافت می‌شوند. صدها عدد از این اندامک‌های کروی در داخل یک سلول وجود دارند. پراکسیزوم‌ها که با نام میکرو بادی نیز شناخته می‌شوند، توسط یک غشای واحد احاطه شده‌اند و حاوی آنزیم‌هایی هستند که هیدروژن پراکسید را به عنوان یک محصول جانبی تولید می‌کنند. این آنزیم‌ها مولکول‌های آلی را از طریق واکنش‌های اکسیداسیون تجزیه کرده و در این فرآیند هیدروژن پراکسید تولید می‌کنند.
نهنگ‌های قاتل دروغین، پستاندارانی آبزی هستند که در آب‌های گرم و معتدل سراسر جهان یافت می‌شوند. آنها بیشتر وقت خود را در اعماق دریا می‌گذرانند، اما گاهی اوقات به مناطق ساحلی نیز سر می‌زنند. نام علمی آنهاPseudorca crassidensاست که از کلمه یونانی "Pseudes" به معنای "دروغین" گرفته شده. این نام‌گذاری به دلیل شباهت جمجمه آنها با نهنگ‌های قاتل واقعی صورت گرفته است. نهنگ‌های قاتل دروغین، سومین گونه بزرگ دلفین‌ها در جهان به شمار می‌روند.
آرامگاه هالیکارناسوس، بنایی عظیم و باشکوه، به یادبود ماسولوس، فرمانروای کاریا، ساخته شد تا هم یاد او را گرامی بدارد و هم میزبان ابدی پیکر او باشد. پس از مرگ ماسولوس در سال 353 قبل از میلاد، همسرش آرتمیسیا، دستور ساخت این سازه عظیم را در شهر هالیکارناسوس (بودروم امروزی در ترکیه) صادر کرد. سرانجام، ماسولوس و آرتمیسیا هر دو در این بنا به خاک سپرده شدند.
محوطه باستانی ال تاخین، واقع در ایالت وراکروز مکزیک، به دلایل متعددی قابل توجه است. در این مکان، سازه‌های متعددی همچون ساختمان‌ها، معابد، کاخ‌ها و زمین‌های بازی باستانی وجود دارد. اما مهم‌ترین و چشمگیرترین بنای ال تاخین، بدون شک هرم طاقچه‌ها است. این معبد برای ساکنان ال تاخین از اهمیت نمادین بالایی برخوردار بوده است؛ چرا که در گذشته دقیقاً 365 طاقچه داشته که نشان‌دهنده ارتباط آن با سال خورشیدی است. حتی پس از سقوط ال تاخین در حدود سال 1200 میلادی، مردم محلی این معبد را پاکیزه نگه می‌داشتند و این بنا اولین بخش از شهر بود که توسط اروپایی‌ها کشف شد.
لندن، پایتخت انگلستان و بریتانیا، نه تنها پرجمعیت‌ترین شهر این کشور است، بلکه به عنوان یکی از بزرگترین مناطق شهری در غرب اروپا نیز شناخته می‌شود. تاریخ این شهر به دوران روم باستان بازمی‌گردد، زمانی که با نام لوندینیوم شناخته می‌شد. بقایای تاریخ باستانی لندن هنوز هم قابل مشاهده است، زیرا هسته تاریخی شهر توسط مرزهای قرون وسطایی آن احاطه شده است.