در منطق ریاضی، بسیاری از گزارهها بهتنهایی سادهاند، اما با استفاده از عملگرهای منطقی میتوان گزارههای مرکبی ساخت که ارزش درستی آنها به چند گزاره وابسته باشد. برای بررسی دقیق همه حالتهای ممکن، از ابزاری به نام جدول ارزش یا Truth Table استفاده میکنیم.
جدول ارزش به ما اجازه میدهد تمام حالتهای ممکنِ درست یا نادرست بودن گزارههای ساده را فهرست کنیم و برای هر حالت، ارزش گزاره مرکب را محاسبه کنیم. این روش در بررسی همارزی منطقی، تشخیص گزارههای هموارهدرست یا tautology، تشخیص تناقض، بررسی اعتبار استدلالها و تحلیل عبارتهای منطقی کاربرد اساسی دارد.
در یک منبع دانشگاهی نیز جدول ارزش بهعنوان جدولی برای نمایش همه تخصیصهای ممکن ارزشهای درستی به نمادهای گزارهای معرفی شده است؛ اگر \(n\) نماد گزارهای مستقل داشته باشیم، جدول شامل \(2^n\) حالت ممکن خواهد بود.
پیشنیازهای جدول ارزش
برای ساخت و خواندن جدول ارزش، ابتدا باید با مفهوم گزاره و ارزش درستی آن آشنا باشیم. گزاره جملهای خبری است که دقیقاً یکی از دو ارزش «درست» یا «نادرست» را دارد. معمولاً ارزش درست را با \(T\) و ارزش نادرست را با \(F\) نشان میدهند. در برخی منابع نیز بهجای \(T\) و \(F\) از \(1\) و \(0\) استفاده میشود.
اگر \(p\) و \(q\) دو گزاره باشند، میتوان با استفاده از عملگرهایی مانند نقیض، عطف، فصل، شرطی و دوشرطی گزارههای مرکب ساخت. جدول ارزش دقیقاً نشان میدهد ارزش گزاره مرکب در هر حالت چه خواهد بود.
برای مطالعه مفهوم پایه گزاره میتوانید به
مقاله گزاره
مراجعه کنید.
جدول ارزش چیست؟
جدول ارزش جدولی است که در آن تمام حالتهای ممکن ارزش درستی گزارههای ساده و ارزش درستی عبارت یا گزاره مرکب ساختهشده از آنها نمایش داده میشود.
اگر در یک عبارت منطقی \(n\) گزاره ساده مستقل وجود داشته باشد، هر گزاره ساده میتواند دو ارزش داشته باشد: درست یا نادرست. بنابراین تعداد کل حالتهای ممکن برابر است با:
$$
2^n
$$
در نتیجه، اگر یک گزاره ساده داشته باشیم، جدول ارزش آن \(2\) سطر خواهد داشت؛ اگر دو گزاره ساده داشته باشیم، \(4\) سطر؛ اگر سه گزاره ساده داشته باشیم، \(8\) سطر؛ و برای چهار گزاره ساده، \(16\) سطر لازم است.
| تعداد گزارههای ساده |
تعداد حالتهای ممکن |
| ۱ |
\(2\) |
| ۲ |
\(4\) |
| ۳ |
\(8\) |
| ۴ |
\(16\) |
| \(n\) |
\(2^n\) |
این نتیجه از آنجا ناشی میشود که برای هر یک از \(n\) گزارهها دو انتخاب مستقل، یعنی درست یا نادرست، وجود دارد. منابع دانشگاهی مانند
Introduction to Logic دانشگاه استنفورد
نیز همین ساختار \(2^n\) حالت را برای \(n\) نماد گزارهای بیان میکنند.
اجزای جدول ارزش
یک جدول ارزش معمولاً از چند نوع ستون تشکیل میشود:
- ستونهای مربوط به گزارههای ساده؛
- ستونهای مربوط به زیرعبارتهای میانی؛
- ستون نهایی مربوط به گزاره مرکب مورد بررسی.
برای مثال، اگر بخواهیم ارزش عبارت
\(p \land q\)
را بررسی کنیم، ستونهای \(p\)، \(q\) و \(p \land q\) را خواهیم داشت.
چگونه جدول ارزش بسازیم؟
ساخت جدول ارزش را میتوان با یک روش منظم و مرحلهای انجام داد.
- ابتدا گزارههای ساده موجود در عبارت را مشخص کنید.
- تعداد گزارههای ساده را بشمارید.
- تعداد سطرها را با فرمول \(2^n\) تعیین کنید.
- تمام ترکیبهای ممکن \(T\) و \(F\) را برای گزارههای ساده بنویسید.
- اگر عبارت مرکب است، زیرعبارتهای آن را به ترتیب محاسبه کنید.
- در نهایت ارزش عبارت اصلی را در ستون آخر قرار دهید.
الگوی نوشتن حالتهای ممکن
فرض کنید دو گزاره \(p\) و \(q\) داشته باشیم. چون \(n=2\)، تعداد سطرها برابر است با:
$$
2^2=4
$$
بنابراین چهار حالت ممکن عبارتاند از:
| \(p\) |
\(q\) |
| \(T\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(F\) |
ترتیب دقیق نمایش سطرها میتواند در منابع مختلف متفاوت باشد؛ آنچه اهمیت دارد این است که هر حالت ممکن دقیقاً یک بار در جدول ظاهر شود.
جدول ارزش نقیض
نقیض گزاره \(p\) با نماد \(\neg p\) نشان داده میشود. نقیض، ارزش درستی گزاره را معکوس میکند:
| \(p\) |
\(\neg p\) |
| \(T\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(T\) |
بنابراین اگر \(p\) درست باشد، \(\neg p\) نادرست است و اگر \(p\) نادرست باشد، \(\neg p\) درست خواهد بود.
برای بررسی دقیقتر این مفهوم میتوانید به
مقاله نقیض گزاره
مراجعه کنید.
جدول ارزش عطف
عطف دو گزاره \(p\) و \(q\) با نماد
\(p \land q\)
نشان داده میشود و تنها زمانی درست است که هر دو گزاره درست باشند.
| \(p\) |
\(q\) |
\(p\land q\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(F\) |
جدول ارزش فصل
فصل دو گزاره با نماد
\(p \lor q\)
نمایش داده میشود. این گزاره زمانی نادرست است که هر دو گزاره \(p\) و \(q\) نادرست باشند.
| \(p\) |
\(q\) |
\(p\lor q\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(F\) |
این همان «یا»ی منطقی است و نباید آن را با «یا»ی انحصاری که در آن دقیقاً یکی از دو گزاره باید درست باشد اشتباه گرفت.
برای مطالعه مستقل این دو عملگر میتوانید به
مقاله عطف و فصل
مراجعه کنید.
جدول ارزش شرطی
گزاره شرطی با نماد
\(p\to q\)
نوشته میشود و معمولاً به صورت «اگر \(p\)، آنگاه \(q\)» خوانده میشود.
ویژگی مهم شرطی این است که فقط در یک حالت نادرست است: وقتی مقدم \(p\) درست و تالی \(q\) نادرست باشد.
| \(p\) |
\(q\) |
\(p\to q\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
این تعریف در منطق گزارهای یک تعریف صوری است و نباید ارزش شرطی را صرفاً بر اساس برداشت روزمره از واژه «اگر» تعیین کرد. در منطق گزارهای، تعریف شرطی دقیقاً مطابق جدول بالا است.
برای توضیح کاملتر این موضوع میتوانید به
مقاله شرطی و دوشرطی
مراجعه کنید.
جدول ارزش دوشرطی
دوشرطی با نماد
\(p\leftrightarrow q\)
نمایش داده میشود و زمانی درست است که \(p\) و \(q\) ارزش درستی یکسانی داشته باشند.
| \(p\) |
\(q\) |
\(p\leftrightarrow q\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
خلاصه جدول عملگرهای اصلی
| عملگر |
نماد |
شرط درست بودن |
| نقیض |
\(\neg p\) |
ارزش آن مخالف \(p\) است. |
| عطف |
\(p\land q\) |
هر دو گزاره درست باشند. |
| فصل |
\(p\lor q\) |
حداقل یکی از دو گزاره درست باشد. |
| شرطی |
\(p\to q\) |
همه حالتها جز \(p=T,q=F\). |
| دوشرطی |
\(p\leftrightarrow q\) |
دو گزاره ارزش یکسان داشته باشند. |
جدولهای پایه عملگرهای منطقی در منابع آموزشی دانشگاهی نیز به همین صورت ارائه شدهاند. برای نمونه، فصل مربوط به ساخت جدول ارزش در
کتاب Contemporary Mathematics از OpenStax
و بخش مربوط به شرطی و دوشرطی در
بخش ۲٫۴ همان کتاب
توضیح داده شده است.
مثال اول: ساخت جدول ارزش \(p\land q\)
میخواهیم جدول ارزش عبارت زیر را بسازیم:
$$
p\land q
$$
دو گزاره ساده داریم، پس چهار حالت ممکن وجود دارد:
$$
2^2=4
$$
| \(p\) |
\(q\) |
\(p\land q\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(F\) |
بنابراین تنها ردیفی که در آن عطف درست است، ردیف اول است؛ زیرا فقط در آن حالت هر دو گزاره درستاند.
مثال دوم: ساخت جدول ارزش \(p\lor\neg q\)
اکنون عبارت زیر را بررسی میکنیم:
$$
p\lor\neg q
$$
دو گزاره ساده \(p\) و \(q\) داریم، بنابراین چهار سطر لازم است. ابتدا مقدار \(\neg q\) را به دست میآوریم و سپس فصل \(p\) و \(\neg q\) را محاسبه میکنیم.
| \(p\) |
\(q\) |
\(\neg q\) |
\(p\lor\neg q\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
همانطور که مشاهده میشود، عبارت فقط در یک حالت نادرست است؛ یعنی زمانی که \(p\) نادرست و \(q\) درست باشد.
مثال سوم: جدول ارزش یک عبارت سهگزارهای
عبارت زیر را در نظر بگیرید:
$$
(p\land q)\to r
$$
سه گزاره ساده \(p\)، \(q\) و \(r\) داریم. بنابراین تعداد سطرها برابر است با:
$$
2^3=8
$$
برای جلوگیری از خطا، ابتدا ستون \(p\land q\) را محاسبه و سپس از آن برای محاسبه شرطی استفاده میکنیم.
| \(p\) |
\(q\) |
\(r\) |
\(p\land q\) |
\((p\land q)\to r\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
تنها حالت نادرست عبارت زمانی رخ میدهد که \(p\) و \(q\) هر دو درست باشند، اما \(r\) نادرست باشد. در این وضعیت، مقدم شرطی درست و تالی آن نادرست است.
مثال چهارم: تشخیص همارزی منطقی با جدول ارزش
یکی از مهمترین کاربردهای جدول ارزش، بررسی همارزی منطقی دو عبارت است. برای مثال میخواهیم بررسی کنیم آیا رابطه زیر برقرار است یا خیر:
$$
p\to q\equiv\neg p\lor q
$$
جدول را تشکیل میدهیم:
| \(p\) |
\(q\) |
\(p\to q\) |
\(\neg p\) |
\(\neg p\lor q\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
\(F\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
ستون \(p\to q\) و ستون \(\neg p\lor q\) در تمام سطرها یکساناند. بنابراین این دو عبارت همارز منطقی هستند:
$$
p\to q\equiv\neg p\lor q
$$
برای آشنایی بیشتر با این مفهوم میتوانید به
مقاله همارزی منطقی
مراجعه کنید.
جدول ارزش و گزاره هموارهدرست
اگر ارزش نهایی یک گزاره مرکب در تمام سطرهای جدول برابر \(T\) باشد، آن گزاره یک گزاره هموارهدرست یا tautology است.
برای نمونه:
$$
p\lor\neg p
$$
| \(p\) |
\(\neg p\) |
\(p\lor\neg p\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
چون ستون نهایی در تمام حالتها \(T\) است، عبارت
\(p\lor\neg p\)
هموارهدرست است.
جدول ارزش و تناقض
اگر ستون نهایی یک گزاره مرکب در تمام سطرها \(F\) باشد، آن عبارت یک تناقض یا عبارت ناسازگار است.
برای مثال:
$$
p\land\neg p
$$
| \(p\) |
\(\neg p\) |
\(p\land\neg p\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
بنابراین این عبارت در هیچ حالتی درست نیست.
جدول ارزش و امکانپذیری یک گزاره
اگر یک گزاره مرکب حداقل در یک سطر مقدار \(T\) داشته باشد، دستکم یک تخصیص ارزش وجود دارد که آن گزاره را درست میکند. چنین گزارهای را ارضاشدنی یا satisfiable مینامند.
بنابراین از روی ستون نهایی جدول میتوان سه حالت مهم را تشخیص داد:
- همه مقادیر \(T\): گزاره هموارهدرست است.
- همه مقادیر \(F\): گزاره تناقض است.
- ترکیبی از \(T\) و \(F\): گزاره نه هموارهدرست و نه تناقض است، اما ارضاشدنی است.
بررسی اعتبار استدلال با جدول ارزش
جدول ارزش فقط برای بررسی یک گزاره منفرد کاربرد ندارد؛ میتوان از آن برای بررسی اعتبار استدلالهای گزارهای نیز استفاده کرد.
فرض کنید استدلالی به شکل زیر داشته باشیم:
$$
p\to q,\quad p\quad\therefore q
$$
این استدلال باید در تمام حالتهایی معتبر باشد که هر دو مقدمه درست هستند. جدول ارزش میتواند این موضوع را بهصورت کامل بررسی کند.
| \(p\) |
\(q\) |
\(p\to q\) |
مقدمه \(p\) |
نتیجه \(q\) |
| \(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(T\) |
| \(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
| \(F\) |
\(T\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(T\) |
| \(F\) |
\(F\) |
\(T\) |
\(F\) |
\(F\) |
تنها سطری که در آن هر دو مقدمه درستاند، سطر اول است و در همان سطر نتیجه نیز درست است. بنابراین این الگوی استدلال معتبر است.
روش سریع ساخت جدول ارزش برای عبارتهای پیچیده
در عبارتهای طولانی، محاسبه مستقیم ستون نهایی ممکن است باعث خطا شود. روش مناسب این است که عبارت را به زیرعبارتهای کوچکتر تقسیم کنیم.
برای مثال، در عبارت
$$
\neg(p\land q)\lor r
$$
بهتر است ستونها را به ترتیب زیر بسازیم:
- ستون \(p\)
- ستون \(q\)
- ستون \(r\)
- ستون \(p\land q\)
- ستون \(\neg(p\land q)\)
- ستون نهایی \(\neg(p\land q)\lor r\)
این روش با ساختار نحوی عبارت هماهنگ است و احتمال اشتباه را کاهش میدهد.
تعداد سطرهای جدول ارزش برای عبارتهای پیچیده
تعداد سطرها به تعداد گزارههای ساده مستقل بستگی دارد، نه به تعداد کل عملگرها یا تعداد ستونهای جدول.
برای نمونه، عبارت
$$
(p\lor q)\land(\neg p\lor r)
$$
سه گزاره ساده \(p\)، \(q\) و \(r\) دارد. بنابراین حتی اگر عبارت چندین عملگر داشته باشد، تعداد حالتهای اصلی آن همچنان برابر است با:
$$
2^3=8
$$
ستونهای میانی بیشتری ممکن است لازم باشند، اما تعداد سطرها تغییر نمیکند.
تفاوت ارزش گزاره و جدول ارزش
«ارزش گزاره» یک مقدار مشخص مانند \(T\) یا \(F\) است؛ اما «جدول ارزش» ابزاری است که ارزش یک گزاره مرکب را در تمام حالتهای ممکن نمایش میدهد.
بنابراین نباید این دو مفهوم را یکی دانست. برای یک گزاره ساده ممکن است فقط با دو مقدار \(T\) و \(F\) سروکار داشته باشیم، اما جدول ارزش گزاره مرکب مجموعهای از حالتها و نتایج را نمایش میدهد.
تفاوت جدول ارزش و جدول کارنو
جدول ارزش و جدول کارنو هر دو میتوانند در تحلیل عبارتهای منطقی و توابع بولی به کار روند، اما هدف و ساختار آنها یکسان نیست.
جدول ارزش تمام حالتهای ممکن ورودی و خروجی را بهصورت صریح نشان میدهد. جدول کارنو بیشتر برای سادهسازی توابع بولی و یافتن عبارتهای منطقی سادهتر طراحی شده است. بنابراین جدول کارنو را نباید صرفاً نام دیگری برای جدول ارزش دانست.
کاربردهای جدول ارزش
- تعیین ارزش درستی گزارههای مرکب؛
- بررسی همارزی منطقی دو عبارت؛
- تشخیص گزارههای هموارهدرست؛
- تشخیص تناقضها؛
- بررسی ارضاشدنی بودن عبارتهای منطقی؛
- بررسی اعتبار برخی استدلالهای گزارهای؛
- بررسی و تحلیل روابط میان عملگرهای منطقی؛
- کمک به تحلیل مدارها و توابع بولی در علوم کامپیوتر.
در علوم کامپیوتر، ارتباط جدول ارزش با توابع بولی و طراحی مدارهای منطقی اهمیت ویژهای دارد. در منابع دانشگاهی علوم کامپیوتر نیز از جدولهای ارزش برای ارتباط دادن توابع بولی با عبارتهای منطقی و طراحی مدار استفاده میشود.
اشتباهات رایج در ساخت جدول ارزش
۱. اشتباه در تعداد سطرها
اگر \(n\) گزاره ساده مستقل داشته باشیم، تعداد سطرها باید دقیقاً برابر \(2^n\) باشد. برای سه گزاره، تعداد سطرها \(8\) است، نه \(6\) یا \(9\).
۲. حذف یکی از حالتهای ممکن
تمام ترکیبهای ممکن \(T\) و \(F\) باید در جدول وجود داشته باشند. حذف حتی یک حالت میتواند نتیجهگیری نهایی را نادرست کند.
۳. اشتباه گرفتن شرطی با عطف
در شرطی \(p\to q\)، تنها حالت نادرست زمانی است که \(p\) درست و \(q\) نادرست باشد. این با عطف \(p\land q\) تفاوت اساسی دارد.
۴. تفسیر شرطی بر اساس زبان روزمره
ارزش شرطی در منطق گزارهای بر اساس تعریف صوری آن تعیین میشود. بنابراین وقتی \(p\) نادرست باشد، عبارت \(p\to q\) در منطق کلاسیک درست است؛ حتی اگر این نتیجه با برخی برداشتهای طبیعی از جمله «اگر \(p\)، آنگاه \(q\)» متفاوت به نظر برسد.
۵. محاسبه مستقیم عبارت پیچیده
در عبارتهای طولانی بهتر است ابتدا زیرعبارتها را محاسبه کنید و سپس به عبارت اصلی برسید. حذف ستونهای میانی احتمال خطای محاسباتی را افزایش میدهد.
۶. اشتباه در تعداد گزارههای مستقل
اگر یک نماد چند بار در عبارت تکرار شود، همچنان فقط یک گزاره محسوب میشود. برای مثال، عبارت
\(p\lor(p\land q)\)
فقط دو گزاره ساده مستقل \(p\) و \(q\) دارد و بنابراین چهار سطر لازم دارد.
نکات مهم برای حل مسائل جدول ارزش
- ابتدا گزارههای ساده را مشخص کنید.
- تعداد سطرها را پیش از شروع محاسبات تعیین کنید.
- تمام حالتهای ممکن را کامل بنویسید.
- برای عبارتهای پیچیده از ستونهای میانی استفاده کنید.
- به تقدم عملگرهای منطقی توجه کنید.
- برای بررسی همارزی، ستونهای نهایی دو عبارت را مقایسه کنید.
- اگر تمام مقادیر ستون نهایی \(T\) باشند، عبارت هموارهدرست است.
- اگر تمام مقادیر ستون نهایی \(F\) باشند، عبارت تناقض است.
- در بررسی اعتبار استدلال، روی سطرهایی تمرکز کنید که همه مقدمات در آنها درستاند.
جمعبندی
جدول ارزش ابزاری نظاممند برای بررسی ارزش درستی گزارهها و عبارتهای منطقی است. اگر یک عبارت دارای \(n\) گزاره ساده مستقل باشد، جدول ارزش آن \(2^n\) حالت ممکن دارد. در هر حالت، ارزش عملگرهای منطقی و در نهایت ارزش عبارت اصلی محاسبه میشود.
با جدول ارزش میتوان رفتار عملگرهای اصلی مانند نقیض، عطف، فصل، شرطی و دوشرطی را بررسی کرد و از آن برای تشخیص همارزی منطقی، گزارههای هموارهدرست، تناقض و ارضاشدنی بودن استفاده کرد. همچنین جدول ارزش یکی از ابزارهای پایه برای بررسی اعتبار استدلالهای گزارهای و درک ارتباط منطق با علوم کامپیوتر و توابع بولی است.
نکته اصلی در حل مسائل جدول ارزش این است که ابتدا همه حالتهای ممکن را بدون حذف هیچ حالت مشخص کنیم و سپس عبارت مرکب را مرحلهبهمرحله از سادهترین زیرعبارتها به سمت عبارت نهایی محاسبه کنیم.
موضوعات مرتبط
منابع
-
Stanford University، Introduction to Logic — Truth Table.
این منبع دانشگاهی تعریف جدول ارزش و تعداد \(2^n\) حالت برای \(n\) نماد گزارهای را ارائه میکند.
مشاهده منبع در Stanford University
-
Stanford University، Introduction to Logic — Chapter 2.
این فصل روش ارزیابی گزارههای منطقی و استفاده از جدول ارزش برای بررسی تخصیصهای ممکن را توضیح میدهد.
مشاهده منبع در Stanford University
-
OpenStax، Donna Kirk، Contemporary Mathematics، بخش 2.3، Constructing Truth Tables، 2023.
این بخش روش ساخت جدول ارزش، تعداد حالتها و تحلیل گزارههای مرکب را آموزش میدهد.
مشاهده منبع در OpenStax
-
OpenStax، Donna Kirk، Contemporary Mathematics، بخش 2.4، Truth Tables for the Conditional and Biconditional، 2023.
این بخش جدول ارزش شرطی و دوشرطی و کاربرد آنها را بررسی میکند.
مشاهده منبع در OpenStax
-
Open Logic Project، P. D. Magnus، Tim Button، Robert Trueman، Richard Zach و همکاران، forall x: Calgary — Truth Tables.
این کتاب دانشگاهی و متنباز، جدولهای ارزش، عملگرهای منطقی، جدولهای کامل و مفاهیم معنایی منطق گزارهای را پوشش میدهد.
مشاهده منبع در Open Logic Project
-
دانشگاه فردوسی مشهد، گروه علوم کامپیوتر، مبانی علوم ریاضی.
در سرفصل این درس، منطق گزارهها و جدول ارزش بهعنوان یکی از مباحث اصلی مبانی علوم ریاضی معرفی شده است و منابع فارسی و انگلیسی مرتبط نیز ارائه شدهاند.
مشاهده منبع در دانشگاه فردوسی مشهد
-
دانشگاه شیراز، دانشکده آموزشهای الکترونیکی، عاملهای منطقی، فصل ششم.
این منبع آموزشی دانشگاهی از جدولهای درستی برای بررسی مدلها، همارزی، اعتبار و ارضاشدنی بودن در منطق استفاده میکند.
مشاهده منبع آموزشی دانشگاه شیراز
-
موحد، ضیاء، درآمدی به منطق جدید، انتشارات و آموزش انقلاب اسلامی، ۱۳۷۹.
این عنوان در فهرست منابع درس مبانی علوم ریاضی دانشگاه فردوسی مشهد نیز بهعنوان یکی از منابع فارسی منطق معرفی شده است.
مشاهده مشخصات منبع در دانشگاه فردوسی مشهد
تاریخ بررسی منابع: ۲۲ مرداد ۱۴۰۵