Processing math: 100%

سخنی از بزرگان...

چگونه این انتگرال معین را حل کنم

سوال:

2π0dxsin4x+cos4x

من سعی کردم این انتگرال را در حالتی که نامعین است با جاگذاری sin4x+cos4x بصورت:

sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)22sin2xcos2x=112sin2(2x)=1+cos2(2x)2

و با تغییر متغیر tan(2x)=t حل نمایم. ولی در حالت معین با مشکلی روبرو می شوم که هر دو کران صفر می شود. لطفا کمکم کنید

پاسخ:

داریم: 

cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)22cos2xsin2x=12cos2xsin2x

=2sin22x2=2(1+tan22x)tan22x2sec22x=tan22x+22sec22x

dxcos4x+sin4x=2sec22xtan22x+2dx

قرار می دهیم: tan2x=u،

2sec22xtan22x+2dx=duu2+(2)2=12arctan(u2)+K

dxcos4x+sin4x=12arctan(tan2x2)+K    (1)

حال tan2x=02x=nπx=nπ2 که n یک عدد صحیح است نتیجه می دهد: 

2a0f(x)dx={2a0f(x)dxif f(2ax)=f(x)0if f(2ax)=f(x)

با جایگذاری 2a=2πa=π و f(x)=cos4x+sin4x داریم: 

cos(2πx)=cosx,sin(2πx)=sinxf(2πx)=f(x)

I=2π0dxcos4x+sin4x=2π0dxcos4x+sin4x

دوباره قرار می دهیم: 2a=πa=π2

cos(πx)=cosx,sin(πx)=+sinxf(πx)=f(x)

I=2π0dxcos4x+sin4x2=22π20dxcos4x+sin4x

نهایتا قرار می دهیم: 2a=π2a=π4

cos(π2x)=sinx,sin(π2x)=cosx

I=42π40dxcos4x+sin4x

با توجه به (1) خواهیم داشت: 

I=8[12arctan(tan2x2)+K]π40=82(π20)

پرینت
5737 رتبه بندی این مطلب:
3.7

مدیر ارشد رایشمندمدیر ارشد رایشمند

سایر نوشته ها توسط مدیر ارشد رایشمند
تماس با نویسنده

نوشتن یک نظر

این فرم نام، ایمیل، آدرس IP و محتوای شما را جمع‌آوری می‌کند تا بتوانیم نظرات درج شده در وب‌سایت را پیگیری کنیم. برای اطلاعات بیشتر خط‌مشی رازداری و شرایط استفاده< /a> که در آن اطلاعات بیشتری در مورد مکان، چگونگی و چرایی ذخیره داده های شما دریافت خواهید کرد.
افزودن نظر

ارتباط با نویسنده

x