چگونه این انتگرال معین را حل کنم مدیر ارشد رایشمند / جمعه, 29 فروردین,1393 / دستهها: ریاضی, آموزش ریاضی, آموزش - کارشناسی سوال: ∫2π0dxsin4x+cos4x من سعی کردم این انتگرال را در حالتی که نامعین است با جاگذاری sin4x+cos4x بصورت: sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2−2⋅sin2x⋅cos2x=1−12⋅sin2(2x)=1+cos2(2x)2 و با تغییر متغیر tan(2x)=t حل نمایم. ولی در حالت معین با مشکلی روبرو می شوم که هر دو کران صفر می شود. لطفا کمکم کنید پاسخ: داریم: cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2−2cos2xsin2x=1−2cos2xsin2x =2−sin22x2=2(1+tan22x)−tan22x2sec22x=tan22x+22sec22x ∫dxcos4x+sin4x=∫2sec22xtan22x+2dx قرار می دهیم: tan2x=u، ∫2sec22xtan22x+2dx=∫duu2+(√2)2=1√2arctan(u√2)+K ⟹∫dxcos4x+sin4x=1√2arctan(tan2x√2)+K (1) حال tan2x=0⟺2x=nπ⟺x=nπ2 که n یک عدد صحیح است نتیجه می دهد: ∫2a0f(x)dx={2∫a0f(x)dxif f(2a−x)=f(x)0if f(2a−x)=−f(x) با جایگذاری 2a=2π⟺a=π و f(x)=cos4x+sin4x داریم: cos(2π−x)=cosx,sin(2π−x)=−sinx⟹f(2π−x)=f(x) ⟹I=∫2π0dxcos4x+sin4x=2∫π0dxcos4x+sin4x دوباره قرار می دهیم: 2a=π⟺a=π2 cos(π−x)=−cosx,sin(π−x)=+sinx⟹f(π−x)=f(x) ⟹I=2∫π0dxcos4x+sin4x2=2⋅2∫π20dxcos4x+sin4x نهایتا قرار می دهیم: 2a=π2⟺a=π4 ⟹cos(π2−x)=sinx,sin(π2−x)=cosx ⟹I=4⋅2∫π40dxcos4x+sin4x با توجه به (1) خواهیم داشت: I=8[1√2arctan(tan2x√2)+K]π40=8√2(π2−0) تغییر مرتبه انتگرال های دوگانه، قضیه گرین سری اول سوالات امتحانی همراه با پاسخ تشریحی پرینت 5737 رتبه بندی این مطلب: 3.7 کلمات کلیدی: انتگرال تغییر متغیر حل انتگرال مدیر ارشد رایشمندمدیر ارشد رایشمند سایر نوشته ها توسط مدیر ارشد رایشمند تماس با نویسنده مطالب مرتبط اثبات تساوی دو انتگرال توسیع انتگرال ریاضیات مهندسی سوالی در مورد انتگرال حساب دیفرانسیل و انتگرال 2 نوشتن یک نظر نام: لطفا نام خود را وارد نمایید. ایمیل: لطفا یک آدرس ایمیل وارد نمایید لطفا یک آدرس ایمیل معتبر وارد نمایید نظر: لطفا یک نظر وارد نمایید موافقم این فرم نام، ایمیل، آدرس IP و محتوای شما را جمعآوری میکند تا بتوانیم نظرات درج شده در وبسایت را پیگیری کنیم. برای اطلاعات بیشتر خطمشی رازداری و شرایط استفاده< /a> که در آن اطلاعات بیشتری در مورد مکان، چگونگی و چرایی ذخیره داده های شما دریافت خواهید کرد. شما باید این قوانین را بخوانید و قبول کنید. افزودن نظر