چگونه این انتگرال معین را حل کنم مدیر ارشد رایشمند / جمعه, 29 فروردین,1393 / دسته ها: ریاضی, آموزش ریاضی, آموزش - کارشناسی سوال: \(\int_0^{2\pi} \frac{dx}{\sin^{4}x + \cos^{4}x}\) من سعی کردم این انتگرال را در حالتی که نامعین است با جاگذاری \(\sin^{4}x + \cos^{4}x\) بصورت: \(\sin^{4}x + \cos^{4}x = (\sin^{2}x + \cos^{2}x)^{2} - 2\cdot\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x = 1 - \frac{1}{2}\cdot\sin^{2}(2x) = \frac{1 + \cos^{2}(2x)}{2}\) و با تغییر متغیر \(\tan(2x) = t\) حل نمایم. ولی در حالت معین با مشکلی روبرو می شوم که هر دو کران صفر می شود. لطفا کمکم کنید پاسخ: داریم: \(\displaystyle\cos^4x+\sin^4x=(\cos^2x+\sin^2x)^2-2\cos^2x\sin^2x=1-2\cos^2x\sin^2x\) \(\displaystyle=\frac{2-\sin^22x}2=\frac{2(1+\tan^22x)-\tan^22x}{2\sec^22x}=\frac{\tan^22x+2}{2\sec^22x}\) \(\int\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}=\int\frac{2\sec^22x}{\tan^22x+2}dx\) قرار می دهیم: \(\tan2x=u\)، \(\int\frac{2\sec^22x}{\tan^22x+2}dx=\int\frac{du}{u^2+(\sqrt2)^2}=\frac1{\sqrt2}\arctan\left(\frac u{\sqrt2}\right)+K\) \(\implies \int\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}=\frac1{\sqrt2}\arctan\left(\frac{\tan2x}{\sqrt2}\right)+K\ \ \ \ (1)\) حال \(\displaystyle\tan2x=0\iff 2x=n\pi\iff x=\frac{n\pi}2\) که n یک عدد صحیح است نتیجه می دهد: \(\int_0^{2a}f(x)dx=\begin{cases} 2\int_0^af(x)dx &\mbox{if } f(2a-x)=f(x) \\ 0 & \mbox{if } f(2a-x)=-f(x) \end{cases}\) با جایگذاری \(2a=2\pi\iff a=\pi\) و \(\displaystyle f(x)=\cos^4x+\sin^4x\) داریم: \(\displaystyle\cos(2\pi-x)=\cos x,\sin(2\pi-x)=-\sin x\implies f(2\pi-x)=f(x)\) \(\implies I=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}=2\int_0^{\pi}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}\) دوباره قرار می دهیم: \(\displaystyle2a=\pi\iff a=\frac\pi2\) \(\displaystyle\cos(\pi-x)=-\cos x,\sin(\pi-x)=+\sin x\implies f(\pi-x)=f(x)\) \(\implies I=2\int_0^{\pi}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}2=2\cdot2\int_0^{\dfrac\pi2}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}\) نهایتا قرار می دهیم: \(\displaystyle2a=\frac\pi2\iff a=\frac\pi4\) \(\displaystyle\implies\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x,\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x\) \(\displaystyle\implies I=4\cdot2\int_0^{\dfrac\pi4}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}\) با توجه به (1) خواهیم داشت: \(\displaystyle I=8\left[\frac1{\sqrt2}\arctan\left(\frac{\tan2x}{\sqrt2}\right)+K\right]_0^{\frac\pi4}=\frac8{\sqrt2}\left(\frac\pi2-0\right)\) تغییر مرتبه انتگرال های دوگانه، قضیه گرین سری اول سوالات امتحانی همراه با پاسخ تشریحی چاپ 5589 رتبه بندی این مطلب: 3.7 کلمات کلیدی: انتگرال تغییر متغیر حل انتگرال مدیر ارشد رایشمندمدیر ارشد رایشمند سایر نوشته ها توسط مدیر ارشد رایشمند تماس با نویسنده مطالب مرتبط اثبات تساوی دو انتگرال توسیع انتگرال ریاضیات مهندسی سوالی در مورد انتگرال حساب دیفرانسیل و انتگرال 2 نوشتن یک نظر نام: لطفا نام خود را وارد نمایید. ایمیل: لطفا یک آدرس ایمیل وارد نمایید لطفا یک آدرس ایمیل معتبر وارد نمایید نظر: لطفا یک نظر وارد نمایید موافقم این فرم نام، ایمیل، آدرس IP و نظرات شما را جمع می کند تا بتوانیم نظرات شما را در وب سایت پیگیری کنیم. برای اطلاعات بیشتر، قوانین و مقررات و سوالات متداول ما را بررسی کنید، در آنجا اطلاعات بیشتری در مورد نحوه و چگونگی ذخیره اطلاعات شما در اختیار شما قرار می دهیم. شما باید این قوانین را بخوانید و قبول کنید. افزودن نظر