سخنی از بزرگان...

سوالی در مورد انتگرال

سوال: اگر \(f(x)\) و \(g(x)\) در \([a,b]\) انتگرال پذیر باشد. آیا می توانیم بگوییم \(f(x)g(x)\) در \([a,b]\) انتگرال پذیر است. منظور از انتگرال انتگرال ریمان است.

جواب: توجه داشته باشید که حاصل ضرب توابع کراندار، کراندار است؛ لذا اگر f و g توابع انتگرال پذیر ریمان باشند، fg نیز کراندار است. بعلاوه اگر f و g در x پیوسته باشند، fg نیز چنین خواهد بود. بنابراین شمول زیر را داریم: 

\(\{x : fg \text{ is not continuous at } x\} \subseteq \{x : f \text{ not continuous}\} \cup \{x : g \text{ not continuous}\}\)

چون f انتگرال پذیر ریمان است، مجموعه ناپیوستگی آن دارای اندازه لبگ صفر است. (یعنی می تواند عدد باشد). حکم مشابهی نیز برای g برقرار است لذا اشتراک از اندازه صفر است. 

بنابراین fg کراندار است و مجموعه ناپیوستگی آن به اندازه کافی کوچک است، لذا fg انتگرال پذیر ریمان است. 

چاپ
2423 رتبه بندی این مطلب:
3.0

مدیر ارشد رایشمندمدیر ارشد رایشمند

سایر نوشته ها توسط مدیر ارشد رایشمند
تماس با نویسنده

نوشتن یک نظر

این فرم نام، ایمیل، آدرس IP و نظرات شما را جمع می کند تا بتوانیم نظرات شما را در وب سایت پیگیری کنیم. برای اطلاعات بیشتر، قوانین و مقررات و سوالات متداول ما را بررسی کنید، در آنجا اطلاعات بیشتری در مورد نحوه و چگونگی ذخیره اطلاعات شما در اختیار شما قرار می دهیم.
افزودن نظر

انتخابگر پوسته

ارتباط با نویسنده

x