حساب دیفرانسیل و انتگرال 2

دوره پیش دانشگاهی

در چه نقاطی ازمنحنی به معادله  \(y^2+x^2+2x-4y=4\) مماس موازی محور x هاست.

1. معادله خط قائم بر منحنی تابع  \(y=f(x)\) در نقطه ای به طول x=4 واقع بر آن هرگاه  \(f^{-1}(x)=x^3+3x\) باشد را به دست آورید.
2. متحرکی روی منحنی  \(xy^2-y\sqrt x=2\) درحال حرکت است وقتی که متحرک در نقطه  \(M(4,1)\) قرار می گیرد مولفه طول سرعت آن  \(2 \ cm/s\) کاهش می یابد، موله عرض سرعت آن چه تغییری می کند.
3. نقطه بحرانی را تعریف کرده و سپس نقاط بحرانی تابع  \(y=x-[x]\) را به دست آورید.
4. ثابت کنید که معادله ی  \(x^5+x^3+x-7=0\) در  \(\mathbb{R}\) دقیقا دارای یک ریشه است.
5. (قضیه) ثابت کنید که هرگاه تابع f روی بازه ی باز  \(I\) دارای مشتق مثبت باشد آنگاه f روی  \(I\) صعودی اکید است.
6. منحنی نمایش و جدول تغییرات تابع  \(y=\frac{1}{sinx}\) را در بازه  \([0,2\pi]\) تنظیم کرده و نمودار آن را رسم کنید.
7. مقدار تقریبی  \(\sqrt[4] 624 \) را با استفاده از دیفرانسیل به دست آورید.
8. برای به دست آوردن ریشه های معادله ی  \(x^2-3x+1=0\) به روش نیوتن با تقریب اولیه  \(x_1=1\) مقدار  \(x_3\) را به دست آورید.
9. تقریب اضافی و نقصانی تابع  \(f(x)=\sin x\) را در بازه  \([0,\pi]\) برای n=4 به دست آورید. 
10. حاصل حد زیر را به دست آورید. 
    \(\lim_{x \to 0}\frac{\int _0^x \tan 2t \ dt}{x^2}\)
11. حاصل هر یک از انتگرال های زیر را به دست آورید.
    \(1- \int_1^3 x^3[x]dx\\ 2- \int(\sqrt[3]x^2+\frac{1}{x^4+5})dx\\ 3- \int x^{-2}\cos\frac{1}{x}dx\)