توسیع انتگرال مدیر ارشد رایشمند / جمعه, 29 فروردین,1393 / دسته ها: ریاضی, آموزش ریاضی, آموزش - کارشناسی پرسش و پاسخ سوال: انتگرال زیر را در نظر بگیرید \(\begin{equation} I(x)=\int^{2}_{0} (1+t) \exp\left(x\cos\left(\frac{\pi(t-1)}{2}\right)\right) dt \end{equation}\) نشان دهید \(\begin{equation} I(x)= 4+ \frac{8}{\pi}x +O(x^{2}) \end{equation}\) که در آن \(x\rightarrow0\) من سعی در حل این انتگرال نموده ولی با جملات بسیار بزرگ و ترسناک مواجه می شوم لطفا کمکم کنید! جواب: ابتدا، تغییر متغیر \(t\leftarrow2-t\) نشان می دهد \(I(x)=\int_0^2(3-t)e^{x\,\cos(\pi(t-1)/2)}dt\) و خواهیم داشت \(\eqalign{I(x)&=2\int_0^2\exp\left(x\cos\frac{\pi(t-1)}{2}\right)dt\cr &=2\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\int_0^2\cos^n\left(\frac{\pi(t-1)}{2}\right)dt\cr &=\frac{8}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\int_0^{\pi/2}\cos^nu du\cr &= \frac{8}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}W_n }\) که \(W_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nu du\) انتگرال شناخته شده ویل می باشد. درحالت خاص \(W_0=\frac{\pi}{2}\) و \(W_1 =1\) خواهیم داشت \(I(x)=4+\frac{8}{\pi}x+{\cal O}(x^2)\) منبع: http://math.stackexchange.com/ معمای ریاضی دوازده بر یک پروفسور لطفی زاده چاپ 4622 رتبه بندی این مطلب: 5.0 کلمات کلیدی: انتگرال انتگرال ریمان حل انتگرال مدیر ارشد رایشمندمدیر ارشد رایشمند سایر نوشته ها توسط مدیر ارشد رایشمند تماس با نویسنده مطالب مرتبط چگونه این انتگرال معین را حل کنم اثبات تساوی دو انتگرال سوالی در مورد انتگرال ریاضیات مهندسی حساب دیفرانسیل و انتگرال 2 نوشتن یک نظر نام: لطفا نام خود را وارد نمایید. ایمیل: لطفا یک آدرس ایمیل وارد نمایید لطفا یک آدرس ایمیل معتبر وارد نمایید نظر: لطفا یک نظر وارد نمایید موافقم این فرم نام، ایمیل، آدرس IP و نظرات شما را جمع می کند تا بتوانیم نظرات شما را در وب سایت پیگیری کنیم. برای اطلاعات بیشتر، قوانین و مقررات و سوالات متداول ما را بررسی کنید، در آنجا اطلاعات بیشتری در مورد نحوه و چگونگی ذخیره اطلاعات شما در اختیار شما قرار می دهیم. شما باید این قوانین را بخوانید و قبول کنید. افزودن نظر