معادله‌ی رادیکالی معادله‌ای است که مجهول درون یک رادیکال قرار دارد و روش اصلی حل آن، ایزوله‌کردن رادیکال و به‌توان‌رساندن دو طرف است — عملیاتی که می‌تواند جواب اضافی تولید کند. در این مقاله دلیل ریاضی وقوع جواب اضافی و سه مثال حل‌شده از ساده تا معادله‌ای با دو رادیکال آورده شده است.

دیوارها زخمی و کثیف است. در نیمکت های چوبی با یک عالم کنده کاری روی میزها و یا نیمکت های فلزی که گوشه های آن فرو رفته دو یا سه دانش آموز می نشینند و به دهان معلم یا دست او که پیاپی مطالبی را روی تخته می نویسد، خیره می شوند. بسیاری از دانش آموزان در همین ژست به رؤیا فرو می روند یا اصطلاحاً با چشمان باز خوابشان می برد و در لحظه ای که ناگهان معلم صاعقه وار سؤالی را می پرسد، دوباره به کلاس برمی گردند و مضطرب و نومیدانه در ذهنشان دنبال جواب می گردند و... این تصویری است که اغلب ما از کلاسهای درس در ذهن داریم. جز چند مدرسه که این شیوه را دگرگون کرده اند، هنوز اکثر قریب به اتفاق کلاسهای درس ما همین وضعیت را دارند.

در اوایل قرن هجدهم، گفته می‌شد که برق آسمان خاصیت مغناطیسی عقربه‌های قطب‌نما را تغییر می‌دهد و کاردکها و چنگالها را آهن‌ربا می‌کند. بعضی از پژوهشگران معتقد بودند که توانسته‌اند سوزنهای فولادی را، با تخلیه الکتریکی بطری لیدن در آنها، به حالت مغناطیسی در آورند. این گزارشها دلالت بر آن داشت که الکتریسیته و مغناطیس به طریقی رابطه‌ای نزدیک با هم دارند. اما این مشاهدات اتفاقی یا آزمایشهای عمدی و از پیش طراحی شده که ممکن بود منجر به مفاهیم و تئوریهای مفید شوند، دنبال نشد.
 

به كار بستن برنامه ای منسجم با هدف ایجاد مهارت های شخصیتی، احساسی و اجتماعی در دانش آموزان، بهبود قابل ملاحظه ای را در كیفیت كلی آموزش و پرورش به همراه دارد.
این نتیجه مطالعه ای است كه بر روی تعدادی از دانش آموزان مدارس هاوایی انجام شده. محققان از این مطالعه نتیجه گرفتند كه انجام فعالیت های سازمان یافته برای ساختن شخصیت دانش آموزان، بیش از قوانین سنتی تر یا سیاستگذاری های موجود در زمینه كنترل یا مجازات مشكلات رفتاری سودمند است. در این مطالعه تنها حدود یك ساعت در هفته از وقت آموزش و پرورش سنتی به برنامه ایجاد مهارت های شخصیتی، احساسی و اجتماعی در كودكان اختصاص یافت.