استقرای قوی یا استقرای کامل یکی از روش‌های مهم اثبات در ریاضیات است که برای نشان دادن درستی یک گزاره برای همه اعداد طبیعی، به‌جای استفاده فقط از حالت قبلی، اجازه می‌دهد در گام استقرا از درستی همه حالت‌های پیشین استفاده کنیم. این روش به‌ویژه زمانی مفید است که حالت \(n+1\) مستقیماً از حالت \(n\) به دست نمی‌آید، اما می‌توان آن را با استفاده از یک یا چند حالت کوچک‌تر اثبات کرد.

در این مقاله اصل استقرای قوی، تفاوت آن با استقرای معمولی، نحوه انتخاب پایه استقرا، نوشتن فرض استقرایی، ساختن گام استقرا و چند مثال مهم از جمله تجزیه هر عدد صحیح بزرگ‌تر از یک به حاصل‌ضرب اعداد اول بررسی می‌شود.

ارکیده یکی از بزرگ ترین و متنوع ترین گروه های گیاهان را تشکیل می دهد. تاکنون بیش از 25 هزار گونه ارکیده شرح داده شده اند. هر سال پژوهشگران صدها گونه جدید را هم کشف می کنند.
علاوه بر وجود شمار عظیم ارکیده ها در حیات وحش، 100 هزار نوع ارکیده هم به شکل غیر طبیعی و از طریق پرورش انتخابی به وجود آمده است.
ارکیده ها را می توان در سراسر جهان پیدا کرد. آنها در انواع مختلف زیستگاه ها، حتی نزدیک به دایره قطب شمال زندگی می کنند. بیشتر گونه های ارکیده در جنگل های انبوه مناطق گرمسیری، در آب و هوای گرم و مرطوب، زندگی می کنند.
متأسفانه 10٪ از گونه های ارکیده، به خاطر تعداد در حال رشد گونه های ارکیده دیگری که انسان ها کشت می کنند در معرض انقراض گرفته اند.

پیش آزمون
چند محاسبه را می توانید در مدت دو دقیقه انجام دهید ؟
همه ی محاسبه های را تا حد ممکن سریع انجام دهید و از ماشین حساب استفاده نکنید. دو دقیقه فرصت دارید. و مسئله ها را با هر ترتیب که بخواهید می توانید حل کنید. زمانی که وقتتان تمام شد بر روی مشاهده جواب ها کلیک کرده و جواب مسئله های تان را مقایسه کنید (فعلا به جواب ها نگاه نکنید ! ) پس از آن که موفق شدید 60 روش محاسبه ی سریع مطرح شده در این کتاب را بیاموزید این مسئله ها را دوباره حل کنید.

اعداد گنگ اعداد حقیقی‌ای هستند که نمی‌توان آن‌ها را به صورت نسبت دو عدد صحیح با مخرج ناصفر نوشت. به بیان دقیق‌تر، اگر عدد حقیقی \(x\) را نتوان به صورت \(\frac{p}{q}\) با \(p,q\in\mathbb{Z}\) و \(q\neq0\) نوشت، آن عدد گنگ است. عددهایی مانند \(\sqrt{2}\)، \(\sqrt{3}\) و \(\pi\) نمونه‌هایی از اعداد گنگ هستند.

نمایش اعشاری یک عدد گنگ نامتناهی و غیردوره‌ای است؛ بنابراین اعداد گنگ برخلاف اعداد گویا، نه نمایش اعشاری متناهی دارند و نه اعشاری که از جایی به بعد به‌صورت دوره‌ای تکرار شود. در این مقاله تعریف دقیق، ویژگی‌ها، روش‌های تشخیص، اثبات گنگ بودن \(\sqrt{2}\)، رابطه اعداد گنگ با اعداد گویا و حقیقی، خواص جبری، مثال‌های حل‌شده و کاربردهای این اعداد را بررسی می‌کنیم.

اشخاص چگونه کارآفرین می شوند؟ آیا افراد کارآفرین زاده می شوند یا ساخته می شوند که کارآفرین باشند؟
سرچشمه کارآفرینی را باید براساس تجربیات دوران زندگی در محدوده خانواده و فرهنگ خانواده پیدا کنیم. زمانی تصور می شد که کارآفرینان به جای ساخته شدن متولد می شوند. صفات آنها به قدری نادر و به خصوص بودند که در هر جایی یافت نمی شدند. امروزه شواهد کافی وجود دارد که نشان می دهد صفات کارآفرینی می تواند درنتیجه آموزش دوران کودکی, استقلال, به خود متکی بودن و در معرض ارزش های فرهنگی به خصوص مرتبط با کار و صنعت قرار گرفتن, پرورانده شود.

اگر شما بتوانید در همان کلاس، تمامی مطالب را بگیرید، خود باعث می شود که حجم عمده ای از فعالیت مطالعه شما در منزل کاسته شود. شاید تا به حال با افرادی برخورد کرده باشید که فقط در کلاس حضور می یابند و بسیار کم در منزل مطالعه می کنند. معمولاً شما در این حالت به خود و اطرافیان خود می گویید: نمی دانم چرا با این که من ساعتها در منزل درس می خوانم یک دهم آن را هم نمی خواند، همیشه نمره های من از او کمتر است.

هم‌ارزی منطقی یکی از مفاهیم اساسی در منطق گزاره‌هاست و زمانی برقرار است که دو گزاره یا عبارت منطقی، برای تمام حالت‌های ممکنِ ارزش‌دهی به گزاره‌های ساده، دقیقاً ارزش صدق یکسانی داشته باشند. اگر دو گزاره \(p\) و \(q\) در همه حالت‌ها هم‌ارزش باشند، آن‌ها را با نماد \(p \equiv q\) نشان می‌دهیم.

یکی از مهم‌ترین روش‌های بررسی هم‌ارزی منطقی، استفاده از جدول ارزش است. همچنین دو عبارت \(p\) و \(q\) دقیقاً زمانی هم‌ارز منطقی هستند که گزاره دوشرطی \(p \leftrightarrow q\) یک همان‌گویی باشد؛ یعنی در تمام حالت‌ها ارزش «درست» داشته باشد.

در این مقاله تعریف رسمی هم‌ارزی منطقی، تفاوت آن با تساوی و استلزام منطقی، قوانین مهم مانند قوانین دمورگان، جابه‌جایی، شرکت‌پذیری و توزیع‌پذیری، روش اثبات هم‌ارزی با جدول ارزش و چند مثال حل‌شده از ساده تا پیشرفته بررسی می‌شود.