پرش به محتوا
ورود | ثبت‌نام
سخنان قصار
  • تمام دارائیت را خرج نكن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • سعی كن بیشتر مطالعه كنی.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی می گویی متاسفم به چشمان طرف مقابل نگاه كن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • سعی كن درزندگی برنامه مشخصی داشته باشی و هدفت رابدانی. اما اگراتفاق عجیب و غیر منتظره ای هم پیش آمد، ازخودت انعطاف نشان بده.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • اگر خواستی كسی را خوب بشناسی، دوستانش را ببین، به این ترتیب چیزهای زیادی درباره اش خواهی فهمید.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • ماشینی بخر كه سقف آفتابگیر داشه باشد.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • سخت ترین گناه آنكه گناهكاران را كوچك بشماردامام علی (ع)
  • از فرصت هایی كه برایت پیش می آیند به خوبی استفاده كن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی به مسافرت می روی و شب را آنجا خواهی ماند، یك حوله حمام و یك بالش نرم و راحت با خودت ببر.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • كار اندكی كه ادامه یابد، از كار بسیاری كه از آن به ستوه آیی امیدوار كننده تر است.امام علی (ع)
  • قلب، كتاب چشم است. (آنچه چشم بنگرد در قلب نشیند.)امام علی (ع)
  • به فرزندانت فرصت بده  نتایج اعمال خود را ببینند.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • هر گاه خدا بخواهد بنده ای را خوار كند، دانش را از او دور سازد.امام علی (ع)
  • بی نیازی از عذرخواهی، گرامی تر از عذر راستین استامام علی (ع)
  • ماهی یكبار غذاهای مفصل و كامل بخور، هرباردر یك رستوران.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • بسا سخن كه از حملة مسلحانه كارگر تر استامام علی (ع)
  • تقوا در رأس همة ارزش های اخلاقی است.امام علی (ع)
  • هنگام ماهیگیری یا پیاده روی دو نوار لاستیكی ضخیم به دور كیف پولت ببند تا از افتادن آن جلوگیری  شود.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • به كارمندان زیر دستت همانقدراحترام بگذار كه به ارباب رجوع می گذاری.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • شغلی را انتخاب كن كه روحت را هم به اندازه حساب بانكی ات غنی سازد.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • خدا از مردم نادان عهد نگرفت كه بیاموزند، تا آنكه از دانایان عهد گرفت كه آموزش دهندامام علی (ع)
  • بعضی كارها را فقط باید انجام داد، بعضی را باید بهتر از گذشته انجام دادو برخی دیگر را نیازی به انجام دادن نیست ، سعی كن فرق بین آنها را تشخیص دهی .اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • هم نشین بی خرد مباش، كه كار زشت خود را زیبا جلوه داده، دوست دارد تو همانند او باشیامام علی (ع)
  • وفاداری با خیانت كاران نزد خدا نوعی خیانت، و خیانت به خیانت كاران نزد خدا وفاداری است.امام علی (ع)
  • برترین بی نیازی و دارایی، ناامیدی است از آنچه در دست مردم است.امام علی (ع)
  • وقتی در مقابل جمعی از تو خواستند دعا كنی فورا" این كار را بكن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • ناراحتی های كوچك را با مشكلات بزرگ اشتباه نكن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • خدا عقل را به انسانی نداد جز آن كه روزی او را با كمك عقل نجات بخشید.امام علی (ع)
  • سعی كن ازآن افرادی نباشی كه می گویند: ((آماده ، هدف ، آتش ))اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • فكرنكن مردمی كه درحرفه خود بالاترین مقام را دارند همه چیز را می دانند.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی چیزی را می بینی كه خیلی دلت می خواهد مال تو باشد به خاطر مقدار كمی پول آن را از دست نده.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • به مردمی كه شغل دشواری دارند بیشتر احترام بگذار.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • جاهلان شما پر تلاش، و آگاهان شما تن پرور و كوتاهی ورزند !امام علی (ع)
  • نابود شد ، كسی كه ارزش خود را ندانستامام علی (ع)
  • برای هر كسی در مال او دو شریك است: وارث، و حوادث.امام علی (ع)
  • وقتی می بینی كسی كارهای كوچك را به خوبی انجام می دهد، مسئولیت كارهای بزرگتر را به او واگذاركن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • سخت ترین گناهان، گناهی است كه گناهكار آن را سبك شماردامام علی (ع)
  • تشك ارزان و بد كیفیت نخر.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • معاملاتت را مكتوب كن. قراردادهای شفاهی اعتباری ندارند.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • دائما درانتظار رسیدن الهامات نوید بخش نباش ، تو تلاش كن ، آنها خود به سراغت خواهند آمد.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
مطالب علمی
۶ دقیقه مطالعه دسته‌ها: ریاضیجبر

نامعادلات گویا چیست؟ روش حل کسری، جدول تعیین علامت صورت و مخرج و مثال‌های حل‌شده

مقدمه

نامعادله‌ی \( \frac{2x-1}{x+3} < 1 \) را در نظر بگیرید. وسوسه‌انگیز است که دو طرف را در \( x+3 \) ضرب کنیم و به \( 2x-1 < x+3 \)، یعنی \( x < 4 \)، برسیم. ولی \( x=-5 \) را امتحان کنید: \( \frac{-11}{-2}=5.5 \) که از ۱ کوچک‌تر نیست! مشکل این‌جاست که برای \( x < -3 \) مخرج منفی است و ضرب در آن باید جهت را برعکس می‌کرد. این مثال کوچک نشان می‌دهد چرا نامعادلات گویا روش خودشان را دارند — روشی که در این مقاله گام‌به‌گام می‌بینیم.

پیش‌نیازها

تعریف دقیق

تعریف رسمی: نامعادله‌ی گویا نامعادله‌ای است که پس از ساده‌سازی بتوان آن را به شکل

$$ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \quad (\text{یا } \geq 0,\ < 0,\ \leq 0) $$

نوشت، که \( P \) و \( Q \) چندجمله‌ای‌اند و \( Q \) ثابت نیست. مجموعه جواب فقط از اعدادی تشکیل می‌شود که \( Q(x) \neq 0 \).

تعریف شهودی: علامت یک کسر فقط به علامت صورت و مخرجش بستگی دارد: اگر هم‌علامت باشند کسر مثبت است و اگر مختلف‌العلامه باشند منفی. پس کسر فقط وقتی می‌تواند تغییر علامت دهد که صورت یا مخرج تغییر علامت دهد — یعنی در ریشه‌های صورت یا مخرج.

مفاهیم اصلی

  • نقاط بحرانی: ریشه‌های صورت (جایی که کسر صفر می‌شود) و ریشه‌های مخرج (جایی که کسر تعریف نشده است).
  • کسر و حاصل‌ضرب هم‌علامت‌اند: \( \frac{P}{Q} \) و \( P \cdot Q \) همیشه علامت یکسانی دارند (چون \( \frac{P}{Q}=\frac{PQ}{Q^2} \) و \( Q^2 > 0 \)). به همین دلیل جدول تعیین علامت یک کسر دقیقاً مثل جدول یک حاصل‌ضرب ساخته می‌شود.
  • ریشه‌ی مخرج هرگز جزو جواب نیست، حتی در نامعادله‌ی نااکید.

قضایا و ویژگی‌ها

هم‌ارزی کسر و حاصل‌ضرب

صورت: برای هر \( x \) که \( Q(x) \neq 0 \):

$$ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \;\Longleftrightarrow\; P(x)\,Q(x) > 0 $$

و \( \frac{P}{Q} \geq 0 \) معادل است با \( PQ \geq 0 \) به‌همراه شرط \( Q \neq 0 \).

اثبات: چون \( Q(x)^2 > 0 \)، ضرب دو طرف \( \frac{P}{Q} > 0 \) در آن جهت را حفظ می‌کند و \( \frac{P}{Q} \cdot Q^2=PQ \).

این هم‌ارزی توضیح می‌دهد که چرا ضرب در \( Q^2 \) (که همیشه مثبت است) مجاز است ولی ضرب در \( Q \) نه.

روش گام‌به‌گام حل

  1. همه‌ی جمله‌ها را به یک طرف ببرید تا طرف دیگر صفر شود. طرفین را در مخرج ضرب نکنید.
  2. با مخرج مشترک، عبارت را به یک کسر واحد \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) تبدیل کنید.
  3. صورت و مخرج را تجزیه کنید. اگر عامل مشترکی هست، آن را ساده کنید اما ریشه‌اش را به‌عنوان «نقطه‌ی ممنوع» به خاطر بسپارید.
  4. ریشه‌های صورت و مخرج را روی محور مرتب کنید و جدول تعیین علامت را بسازید.
  5. بازه‌های مطلوب را انتخاب کنید. در نامساوی نااکید ریشه‌های صورت را بیاورید و ریشه‌های مخرج را همیشه حذف کنید.

مثال‌های حل‌شده

مثال ۱: کسر ساده

نامعادله‌ی \( \frac{x+1}{x-2} \geq 0 \) را حل کنید.

ریشه‌ی صورت: \( -1 \)؛ ریشه‌ی مخرج: \( 2 \).

\( x \)\( -1 \)\( 2 \)
\( x+1 \)\( - \)\( 0 \)\( + \)\( + \)
\( x-2 \)\( - \)\( - \)\( 0 \)\( + \)
کسر\( + \)\( 0 \)\( - \)تعریف‌نشده\( + \)

جواب: \( (-\infty,-1] \cup (2,+\infty) \). نقطه‌ی \( -1 \) با کروشه (کسر صفر می‌شود) و نقطه‌ی ۲ با پرانتز.

مثال ۲: حل درست مثال مقدمه

نامعادله‌ی \( \frac{2x-1}{x+3} < 1 \) را حل کنید.

$$ \frac{2x-1}{x+3}-1 < 0 \;\Rightarrow\; \frac{2x-1-(x+3)}{x+3} < 0 \;\Rightarrow\; \frac{x-4}{x+3} < 0 $$

ریشه‌ها \( -3 \) و \( 4 \)؛ کسر بین آن‌ها منفی است. جواب: \( -3 < x < 4 \). جواب «غلط» \( x < 4 \) بازه‌ی \( (-\infty,-3] \) را اضافه داشت.

مثال ۳: مقایسه‌ی کسر با خود مجهول

نامعادله‌ی \( \frac{1}{x} > x \) را حل کنید.

$$ \frac{1}{x}-x > 0 \;\Rightarrow\; \frac{1-x^2}{x} > 0 \;\Rightarrow\; \frac{(x-1)(x+1)}{x} < 0 $$

(در گام آخر صورت را در \( -1 \) ضرب کردیم و جهت برعکس شد.) ریشه‌ها \( -1 \)، \( 0 \)، \( 1 \)؛ از راست علامت‌ها \( +,-,+,- \). منفی در \( (-\infty,-1) \) و \( (0,1) \). بررسی: برای \( x=\frac{1}{2} \)، \( 2 > \frac{1}{2} \) ✓؛ برای \( x=-2 \)، \( -\frac{1}{2} > -2 \) ✓.

جواب: \( (-\infty,-1) \cup (0,1) \).

مثال ۴: ریشه‌ی تکراری در صورت

نامعادله‌ی \( \frac{(x-3)^2}{x+2} \leq 0 \) را حل کنید.

صورت همیشه نامنفی است و فقط در \( x=3 \) صفر می‌شود. پس کسر یا صفر است (\( x=3 \)) یا هم‌علامت مخرج. کسر نامثبت است اگر \( x+2 < 0 \) یا \( x=3 \). جواب: \( (-\infty,-2) \cup \{3\} \).

مثال ۵: عامل مشترک صورت و مخرج

نامعادله‌ی \( \frac{x^2-1}{x^2+x-2} \geq 0 \) را حل کنید.

$$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)} \geq 0 $$

برای \( x \neq 1 \) کسر برابر \( \frac{x+1}{x+2} \) است، اما \( x=1 \) چون مخرج اصلی را صفر می‌کند، ممنوع است. \( \frac{x+1}{x+2} \geq 0 \) جواب \( (-\infty,-2) \cup [-1,+\infty) \) دارد. با حذف \( x=1 \):

$$ (-\infty,-2) \cup [-1,1) \cup (1,+\infty) $$

مثال ۶ (دشوارتر): دو کسر در دو طرف

نامعادله‌ی \( \frac{3}{x-1} \leq \frac{2}{x+1} \) را حل کنید.

$$ \frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+1} \leq 0 \;\Rightarrow\; \frac{3(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} \leq 0 \;\Rightarrow\; \frac{x+5}{(x-1)(x+1)} \leq 0 $$

نقاط بحرانی \( -5 \) (صورت)، \( -1 \) و \( 1 \) (مخرج). از راست علامت‌ها \( +,-,+,- \): منفی در \( (-\infty,-5) \) و \( (-1,1) \). با افزودن ریشه‌ی صورت:

$$ (-\infty,-5] \cup (-1,1) $$

بررسی با \( x=0 \): \( -3 \leq 2 \) ✓؛ با \( x=2 \): \( 3 \leq \frac{2}{3} \) ✗ (و ۲ هم جزو جواب نیست) ✓.

کاربردها

  • میانگین هزینه: اگر هزینه‌ی کل تولید \( x \) واحد \( C(x)=5000+20x \) باشد، شرط «هزینه‌ی هر واحد کمتر از ۳۰» نامعادله‌ی گویای \( \frac{5000+20x}{x} < 30 \) است که برای \( x > 0 \) به \( x > 500 \) می‌رسد.
  • غلظت محلول: افزودن \( x \) لیتر حلال به محلول، غلظتی به شکل \( \frac{a}{b+x} \) می‌دهد و شرط «غلظت کمتر از حد مجاز» یک نامعادله‌ی گویاست.
  • دامنه‌ی توابع: دامنه‌ی \( \sqrt{\frac{x+1}{x-2}} \) همان جواب مثال ۱ است.

اشتباهات رایج

  • ضرب طرفین در مخرج بدون دانستن علامت آن (خطای مقدمه).
  • قرار دادن ریشه‌ی مخرج در جواب نامعادله‌ی \( \geq \) یا \( \leq \).
  • ساده‌کردن عامل مشترک صورت و مخرج و فراموش کردن حذف ریشه‌ی آن از جواب.
  • «طرفین وسطین» در نامعادله: \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \) در حالت کلی معادل \( ad < bc \) نیست.
  • تبدیل \( \frac{1}{x} < 2 \) به \( x > \frac{1}{2} \)؛ برای همه‌ی \( x \) منفی هم نامعادله برقرار است.

نکات مهم

  • همیشه با «صفر در یک طرف» شروع کنید؛ این مهم‌ترین گام است.
  • اگر علامت مخرج از قبل معلوم باشد (مثلاً \( x^2+1 \) یا شرط \( x > 0 \) در مسئله)، ضرب در آن مجاز است.
  • در جدول، کنار ریشه‌های مخرج به‌جای صفر علامت «تعریف‌نشده» یا دو خط عمودی بگذارید تا در انتخاب جواب اشتباه نکنید.

جمع‌بندی

کلید نامعادلات گویا این است که هرگز طرفین را در مخرجی با علامت نامعلوم ضرب نکنیم. به‌جای آن همه‌چیز را به یک طرف می‌بریم، یک کسر می‌سازیم و علامت آن را با ریشه‌های صورت و مخرج در یک جدول تعیین می‌کنیم. ریشه‌های صورت بسته به نوع نامساوی ممکن است جزو جواب باشند، اما ریشه‌های مخرج هرگز.

موضوعات مرتبط

منابع

  • Mathematics LibreTexts، Polynomial and Rational Inequalities. نقش مجانب‌های قائم و ریشه‌های مخرج به‌عنوان نقاط بحرانی که هرگز در مجموعه جواب نیستند.
    مشاهده منبع
    تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
  • Mathematics LibreTexts، Solving Polynomial and Rational Inequalities (Advanced Algebra). روش یک‌طرفه‌کردن، ساختن کسر واحد و جدول علامت.
    مشاهده منبع
    تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
کد مطلب 16794

مطالب مرتبط

نظرات (۰)

هنوز نظری ثبت نشده است. اولین نفر باشید!

نوشتن نظر

نامعادلات گویا چیست؟ روش حل کسری، جدول تعیین علامت صورت و مخرج و مثال‌های حل‌شده — https://rayeshmand.ir/article/rational-inequalities

دسته بندی مقالات