مقدمه
در نظریه مجموعهها، دو پرسش بسیار ساده اما اساسی وجود دارد: «آیا یک شیء عضو یک مجموعه است؟» و «آیا یک مجموعه، بخشی از مجموعه دیگری است؟». پاسخ به پرسش اول با مفهوم عضویت و پاسخ به پرسش دوم با مفهوم زیرمجموعه بیان میشود.
این دو مفهوم در ظاهر شبیه یکدیگرند، اما از نظر ریاضی تفاوت اساسی دارند. برای مثال، اگر:
$$ A=\{1,2,3\} $$
آنگاه \(1\) یک عضو مجموعه \(A\) است و مینویسیم:
$$ 1\in A $$
اما مجموعه \(\{1\}\) یک زیرمجموعه از \(A\) است:
$$ \{1\}\subseteq A $$
درک همین تفاوت، از بسیاری از خطاهای رایج در مباحث مجموعهها جلوگیری میکند. در ادامه، این دو مفهوم را بهصورت دقیق بررسی میکنیم و سپس روابط و خواص مهم آنها را به کمک مثال و استدلال ریاضی نشان میدهیم.
پیشنیازها
برای مطالعه این مقاله، آشنایی مقدماتی با مفهوم مجموعه و نحوه نمایش آن کافی است. مجموعه را معمولاً با یک حرف بزرگ انگلیسی و اعضای آن را با حروف کوچک یا نمادهای مناسب نشان میدهیم.
برای مثال:
$$ A=\{2,4,6,8\} $$
در این مجموعه، اعداد \(2\)، \(4\)، \(6\) و \(8\) عضو مجموعه \(A\) هستند.
برای مطالعه این مبحث همچنین باید بدانیم که در یک مجموعه، ترتیب اعضا اهمیتی ندارد و تکرار یک عضو، عضو جدیدی ایجاد نمیکند. بنابراین:
$$ \{1,2,3\}=\{3,2,1\} $$
و:
$$ \{1,2,2,3\}=\{1,2,3\} $$
مفاهیم عضویت و زیرمجموعه از مفاهیم بنیادی نظریه مجموعهها ��ستند و در دورههای دانشگاهی ریاضیات گسسته و مباحث مقدماتی نظریه مجموعهها بهطور مستقیم بررسی میشوند. برای نمونه، درس «Mathematics for Computer Science» در MIT نیز مجموعهها و روابط میان آنها را در بخش مفاهیم بنیادی ریاضیات پوشش میدهد.
مشاهده منبع در MIT OpenCourseWare
تعریف دقیق عضویت در مجموعه
اگر \(A\) یک مجموعه و \(x\) یک شیء باشد، میگوییم \(x\) عضو مجموعه \(A\) است هرگاه \(x\) یکی از اعضای \(A\) باشد.
نماد عضویت عبارت است از:
$$ x\in A $$
این نماد را میتوان «\(x\) عضو \(A\) است» یا «\(x\) در \(A\) قرار دارد» خواند.
اگر \(x\) عضو \(A\) نباشد، از نماد زیر استفاده میکنیم:
$$ x\notin A $$
مثال
فرض کنید:
$$ A=\{2,4,6,8\} $$
در این صورت:
$$ 2\in A $$ $$ 6\in A $$
اما:
$$ 3\notin A $$
و همچنین:
$$ 10\notin A $$
بنابراین رابطه عضویت درباره یک شیء و یک مجموعه صحبت میکند.
تعریف دقیق زیرمجموعه
فرض کنید \(A\) و \(B\) دو مجموعه باشند. میگوییم \(A\) زیرمجموعه \(B\) است اگر هر عضوی که در \(A\) وجود دارد، در \(B\) نیز وجود داشته باشد.
نماد استاندارد این رابطه:
$$ A\subseteq B $$
است.
تعریف رسمی را میتوان به صورت زیر نوشت:
$$ A\subseteq B \iff \forall x\,(x\in A\Rightarrow x\in B) $$
یعنی \(A\) زیرمجموعه \(B\) است اگر برای هر شیء \(x\)، هرگاه \(x\) عضو \(A\) باشد، آنگاه \(x\) عضو \(B\) نیز باشد.
این تعریف در منابع دانشگاهی و آموزشی معتبر نیز به همین صورت بیان میشود. برای نمونه، OpenStax زیرمجموعه را مجموعهای تعریف میکند که هر عضو آن، عضو مجموعه شاملکننده نیز باشد. همچنین منابع آموزشی دانشگاهی Mathematics LibreTexts همین تعریف را با نماد \(A\subseteq B\) ارائه میکنند.
مشاهده تعریف زیرمجموعه در OpenStax
مشاهده تعریف زیرمجموعه در Mathematics LibreTexts
مثال
فرض کنید:
$$ A=\{1,2,3\} $$ $$ B=\{1,2,3,4,5\} $$
تمام اعضای \(A\) در \(B\) نیز وجود دارند؛ بنابراین:
$$ A\subseteq B $$
اما \(B\) زیرمجموعه \(A\) نیست، زیرا مثلاً:
$$ 4\in B $$
ولی:
$$ 4\notin A $$
پس:
$$ B\not\subseteq A $$
تفاوت عضویت و زیرمجموعه
مهمترین نکته این مبحث این است که نمادهای \( \in \) و \( \subseteq \) یک معنی ندارند.
| مفهوم |
نماد |
مقایسه میان |
مثال |
| عضویت |
\( \in \) |
یک شیء و یک مجموعه |
\(2\in A\) |
| عدم عضویت |
\( \notin \) |
یک شیء و یک مجموعه |
\(5\notin A\) |
| زیرمجموعه |
\( \subseteq \) |
دو مجموعه |
\(A\subseteq B\) |
| عدم زیرمجموعه |
\( \nsubseteq \) |
دو مجموعه |
\(A\nsubseteq B\) |
برای روشنشدن تفاوت، مجموعه زیر را در نظر بگیرید:
$$ A=\{1,2,3\} $$
در این حالت:
$$ 1\in A $$
درست است، اما:
$$ 1\subseteq A $$
نادرست یا دستکم از نظر نوع عبارت نامناسب است؛ زیرا \(1\) در اینجا یک عدد است، نه مجموعهای که بخواهیم درباره زیرمجموعهبودن آن صحبت کنیم.
در مقابل:
$$ \{1\}\subseteq A $$
درست است، زیرا \(\{1\}\) یک مجموعه است و تنها عضو آن، یعنی \(1\)، در \(A\) قرار دارد.
رابطه میان عضویت و زیرمجموعه
یکی از مهمترین روابط میان این دو مفهوم عبارت است از:
$$ x\in A \iff \{x\}\subseteq A $$
این رابطه میگوید یک شیء \(x\) عضو مجموعه \(A\) است اگر و تنها اگر مجموعه تکعضوی \(\{x\}\) زیرمجموعه \(A\) باشد.
چرا این رابطه درست است؟
اگر:
$$ x\in A $$
باشد، مجموعه \(\{x\}\) فقط یک عضو دارد و آن عضو \(x\) است. چون \(x\in A\)، تمام اعضای \(\{x\}\) در \(A\) قرار دارند؛ پس:
$$ \{x\}\subseteq A $$
برعکس، اگر:
$$ \{x\}\subseteq A $$
باشد، تنها عضو مجموعه \(\{x\}\)، یعنی \(x\)، باید عضو \(A\) باشد. بنابراین:
$$ x\in A $$
این رابطه بهخوبی نشان میدهد که عضویت و زیرمجموعه به هم مرتبطاند، اما یکی نیستند.
زیرمجموعه سره
اگر \(A\) زیرمجموعه \(B\) باشد و در عین حال \(A\) با \(B\) برابر نباشد، \(A\) را زیرمجموعه سره یا زیرمجموعه حقیقی \(B\) مینامیم.
در بسیاری از منابع برای این مفهوم از نماد زیر استفاده میشود:
$$ A\subsetneq B $$
بنابراین:
$$ A\subsetneq B \iff A\subseteq B\land A\ne B $$
مثال
اگر:
$$ A=\{1,2\} $$ $$ B=\{1,2,3\} $$
آنگاه:
$$ A\subsetneq B $$
زیرا تمام اعضای \(A\) در \(B\) هستند، ولی \(A\) و \(B\) برابر نیستند.
تفاوت نمادهای زیرمجموعه
در نمادگذاری امروزی، \(A\subseteq B\) معمولاً به معنای «\(A\) زیرمجموعه \(B\) است و میتواند با \(B\) برابر باشد» استفاده میشود.
در مقابل:
$$ A\subsetneq B $$
بهصراحت نشان میدهد که \(A\) زیرمجموعه \(B\) است اما با آن برابر نیست.
در برخی کتابها ممکن است نماد \( \subset \) برای زیرمجموعه و در برخی دیگر برای زیرمجموعه سره به کار رود. به همین دلیل، در متون دقیق بهتر است قرارداد نمادگذاری مشخص باشد. استفاده از \( \subseteq \) و \( \subsetneq \) ابهام را کاهش میدهد.
زیرمجموعه هر مجموعه از خودش
هر مجموعه زیرمجموعه خودش است:
$$ A\subseteq A $$
این نتیجه مستقیماً از تعریف زیرمجموعه به دست میآید. برای اینکه \(A\subseteq A\) باشد، باید هر عضو \(A\) در \(A\) نیز قرار داشته باشد؛ این گزاره بدیهی است.
مثال
$$ A=\{1,2,3\} $$
بنابراین:
$$ A\subseteq A $$
اما نمیتوان نوشت:
$$ A\subsetneq A $$
زیرا زیرمجموعه سره باید با مجموعه اصلی برابر نباشد.
مجموعه تهی و زیرمجموعه
مجموعه تهی مجموعهای است که هیچ عضوی ندارد و با نماد \( \varnothing \) نمایش داده میشود.
مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه است:
$$ \varnothing\subseteq A $$
برای درک این موضوع، تعریف زیرمجموعه را در نظر بگیرید:
$$ A\subseteq B \iff \forall x\,(x\in A\Rightarrow x\in B) $$
برای \(A=\varnothing\)، هیچ عنصری وجود ندارد که بتواند شرط را نقض کند. بنابراین گزاره «هر عضو مجموعه تهی در \(B\) قرار دارد» برای هر \(B\) برقرار است.
منابع دانشگاهی نیز این ویژگی را بهعنوان یکی از خواص بنیادی زیرمجموعه بیان میکنند.
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
برابری دو مجموعه و زیرمجموعه
دو مجموعه زمانی برابرند که دقیقاً اعضای یکسانی داشته باشند.
یکی از معیارهای مهم برای بررسی برابری دو مجموعه این است:
$$ A=B \iff (A\subseteq B)\land(B\subseteq A) $$
به این روش، اصل شمول دوطرفه یا روش «اثبات با دو شمول» گفته میشود.
مثال
دو مجموعه زیر را در نظر بگیرید:
$$ A=\{1,2,3\} $$ $$ B=\{3,1,2\} $$
برای هر عضو \(A\)، همان عضو در \(B\) نیز وجود دارد؛ بنابراین:
$$ A\subseteq B $$
همچنین هر عضو \(B\) در \(A\) قرار دارد:
$$ B\subseteq A $$
پس:
$$ A=B $$
قضیه: تعدی رابطه زیرمجموعه
رابطه زیرمجموعه دارای خاصیت تعدی است.
اگر:
$$ A\subseteq B $$
و:
$$ B\subseteq C $$
آنگاه:
$$ A\subseteq C $$
اثبات
فرض کنید \(x\) یک عضو دلخواه از \(A\) باشد. چون:
$$ A\subseteq B $$
داریم:
$$ x\in B $$
و چون:
$$ B\subseteq C $$
نتیجه میشود:
$$ x\in C $$
پس هر عضو \(A\) عضو \(C\) نیز هست و بنابراین:
$$ A\subseteq C $$
قضیه: اگر دو مجموعه یکدیگر را شامل کنند، برابرند
اگر:
$$ A\subseteq B $$
و:
$$ B\subseteq A $$
آنگاه:
$$ A=B $$
ایده اثبات
از \(A\subseteq B\) نتیجه میشود هر عضو \(A\) در \(B\) وجود دارد. از \(B\subseteq A\) نیز نتیجه میشود هر عضو \(B\) در \(A\) وجود دارد. پس دو مجموعه دقیقاً اعضای یکسانی دارند و برابرند.
مجموعههای متناهی و تعداد زیرمجموعهها
اگر مجموعه \(A\) دقیقاً \(n\) عضو داشته باشد، تعداد کل زیرمجموعههای آن برابر است با:
$$ 2^n $$
دلیل این فرمول این است که برای هر یک از \(n\) عضو، در ساختن یک زیرمجموعه دو انتخاب داریم: عضو را انتخاب کنیم یا انتخاب نکنیم.
بنابراین تعداد حالتهای ممکن برابر است با:
$$ \underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{n\text{ بار}}=2^n $$
این نتیجه برای مجموعههای متناهی در منابع آموزشی دانشگاهی نیز بیان شده است.
مشاهده منبع در OpenStax
مثال
اگر:
$$ A=\{a,b,c\} $$
باشد، مجموعه \(A\) سه عضو دارد، پس تعداد زیرمجموعههای آن:
$$ 2^3=8 $$
این زیرمجموعهها عبارتاند از:
$$ \varnothing $$ $$ \{a\},\{b\},\{c\} $$ $$ \{a,b\},\{a,c\},\{b,c\} $$ $$ \{a,b,c\} $$
در نتیجه \(A\) هشت زیرمجموعه دارد.
تعداد زیرمجموعههای سره
اگر \(A\) دارای \(n\) عضو باشد، تعداد کل زیرمجموعههای آن:
$$ 2^n $$
است. یکی از این زیرمجموعهها خود \(A\) است و زیرمجموعه سره محسوب نمیشود. بنابراین تعداد زیرمجموعههای سره برابر است با:
$$ 2^n-1 $$
مثال
اگر یک مجموعه \(4\) عضو داشته باشد، تعداد کل زیرمجموعهها:
$$ 2^4=16 $$
و تعداد زیرمجموعههای سره:
$$ 16-1=15 $$
تعداد زیرمجموعههای با تعداد عضو مشخص
اگر مجموعه \(A\) دارای \(n\) عضو باشد، تعداد زیرمجموعههای \(k\)-عضوی آن برابر است با:
$$ \binom{n}{k} $$
زیرا برای تشکیل یک زیرمجموعه \(k\)-عضوی باید \(k\) عضو از میان \(n\) عضو انتخاب کنیم.
مثال
اگر:
$$ |A|=5 $$
باشد، تعداد زیرمجموعههای دو عضوی آن:
$$ \binom{5}{2}=10 $$
این مفهوم در مباحث شمارش، ترکیبیات و احتمال کاربرد گسترده دارد.
تفاوت «عضو»، «مجموعه تکعضوی» و «زیرمجموعه»
یکی از دشوارترین نکات ابتدایی برای بسیاری از دانشآموزان، تفاوت میان یک شیء، مجموعه تکعضوی شامل آن شیء و زیرمجموعه است.
فرض کنید:
$$ A=\{1,2,3\} $$
در این صورت \(1\) یک عدد و عضو \(A\) است:
$$ 1\in A $$
اما \(\{1\}\) یک مجموعه تکعضوی است و زیرمجموعه \(A\) محسوب میشود:
$$ \{1\}\subseteq A $$
همچنین:
$$ \{1\}\in A $$
نادرست است؛ زیرا اعضای \(A\) عبارتاند از \(1\)، \(2\) و \(3\)، نه مجموعه \(\{1\}\).
پس در این مثال:
$$ 1\in A $$ $$ \{1\}\subseteq A $$ $$ \{1\}\notin A $$
این سه عبارت را نباید با یکدیگر اشتباه گرفت.
مجموعهای که خودش مجموعهای از مجموعههاست
برای جلوگیری از یک سوءبرداشت مهم، باید توجه کرد که اعضای یک مجموعه الزاماً عدد نیستند. اعضای مجموعه میتوانند خودشان مجموعه باشند.
مثلاً:
$$ A=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\} $$
در اینجا:
$$ \{1\}\in A $$
درست است؛ زیرا \(\{1\}\) یکی از اعضای \(A\) است.
همچنین:
$$ \{1\}\subseteq A $$
لزوماً درست نیست؛ زیرا برای زیرمجموعهبودن \(\{1\}\) در \(A\)، باید \(1\) عضو \(A\) باشد، در حالی که \(1\) عضو \(A\) نیست.
این مثال نشان میدهد که «عضو بودن» و «زیرمجموعه بودن» حتی زمانی که اعضای مجموعه خودشان مجموعه باشند نیز دو رابطه متفاوت هستند.
روش تشخیص اینکه یک مجموعه زیرمجموعه مجموعه دیگر است
برای بررسی عبارت:
$$ A\subseteq B $$
میتوان مراحل زیر را انجام داد:
- تمام اعضای \(A\) را مشخص کنید.
- هر عضو \(A\) را جداگانه در \(B\) جستوجو کنید.
- اگر حتی یک عضو \(A\) در \(B\) وجود نداشته باشد، \(A\) زیرمجموعه \(B\) نیست.
- اگر تمام اعضای \(A\) در \(B\) وجود داشته باشند، \(A\subseteq B\) است.
- اگر علاوه بر آن \(A\ne B\) باشد، آنگاه \(A\subsetneq B\) است.
مثال
فرض کنید:
$$ A=\{2,4,6\} $$ $$ B=\{1,2,3,4,5,6\} $$
بررسی میکنیم:
$$ 2\in B $$ $$ 4\in B $$ $$ 6\in B $$
پس:
$$ A\subseteq B $$
از آنجا که \(A\) و \(B\) برابر نیستند:
$$ A\subsetneq B $$
مثال نقض
اگر:
$$ A=\{2,4,7\} $$ $$ B=\{1,2,3,4,5,6\} $$
داریم:
$$ 7\in A $$
ولی:
$$ 7\notin B $$
پس:
$$ A\nsubseteq B $$
برای رد کردن یک ادعای زیرمجموعهبودن، پیدا کردن تنها یک عضو از \(A\) که در \(B\) نباشد کافی است.
اثبات زیرمجموعهبودن با زبان منطقی
برای اثبات:
$$ A\subseteq B $$
معمولاً یک عضو دلخواه \(x\) از \(A\) انتخاب میکنیم و نشان میدهیم که \(x\) در \(B\) نیز قرار دارد.
ساختار عمومی اثبات چنین است:
$$ x\in A $$
سپس با استفاده از فرضها یا تعریف \(A\) نتیجه میگیریم:
$$ x\in B $$
بنابراین:
$$ A\subseteq B $$
این الگو یکی از روشهای مهم اثبات در نظریه مجموعهها است. منابع دانشگاهی مانند MIT نیز در آموزش ریاضیات گسسته بر استفاده از تعریفها و روشهای اثبات دقیق برای کار با مجموعهها تأکید دارند.
مشاهده یادداشتهای درس در MIT OpenCourseWare
مثال اثباتی
ثابت کنید:
$$ A\subseteq B $$
اگر:
$$ A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\text{ زوج است}\} $$
و:
$$ B=\{x\in\mathbb{Z}\mid x^2\text{ زوج است}\} $$
باشد.
حل
یک \(x\) دلخواه از \(A\) انتخاب میکنیم. چون \(x\in A\)، عدد \(x\) زوج است. بنابراین عددی صحیح مانند \(k\) وجود دارد که:
$$ x=2k $$
پس:
$$ x^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2) $$
بنابراین \(x^2\) زوج است و در نتیجه:
$$ x\in B $$
پس هر عضو \(A\) عضو \(B\) نیز هست و نتیجه میگیریم:
$$ A\subseteq B $$
زیرمجموعه و عملیات مجموعهای
مفهوم زیرمجموعه پایه بسیاری از عملیات و روابط بعدی در نظریه مجموعهها است.
برای مثال، اگر:
$$ A\subseteq B $$
آنگاه:
$$ A\cap B=A $$
همچنین:
$$ A\cup B=B $$
این روابط نشان میدهند که مفهوم زیرمجموعه فقط یک تعریف مستقل نیست و در فهم عملیات مجموعهای نقش مستقیم دارد.
برای مطالعه عملیات اصلی مجموعهها میتوانید به مطالب زیر مراجعه کنید:
زیرمجموعه و مجموعه توانی
مجموعهای که شامل تمام زیرمجموعههای یک مجموعه \(A\) باشد، مجموعه توانی نام دارد و با \( \mathcal{P}(A) \) یا در برخی منابع با نمادهای دیگر نمایش داده میشود.
بهصورت نمادین:
$$ \mathcal{P}(A)=\{B\mid B\subseteq A\} $$
در این تعریف، نکته مهم این است که اعضای \(\mathcal{P}(A)\) خودشان مجموعه هستند.
برای مثال، اگر:
$$ A=\{1,2\} $$
آنگاه:
$$ \mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\} $$
بنابراین:
$$ \{1\}\in\mathcal{P}(A) $$
و همزمان:
$$ \{1\}\subseteq A $$
برای مطالعه کامل این موضوع میتوانید مقاله مجموعه توانی را نیز بخوانید:
مجموعه توانی چیست؟ تعریف، خواص، فرمول تعداد زیرمجموعهها و مثالهای حلشده
مثالهای حلشده
مثال ۱: تشخیص عضویت
اگر:
$$ A=\{3,6,9,12\} $$
مشخص کنید کدام عبارتها درست هستند:
$$ 6\in A $$ $$ 7\in A $$ $$ 12\notin A $$
حل
چون \(6\) و \(12\) در فهرست اعضای \(A\) هستند:
$$ 6\in A $$
درست است، اما:
$$ 7\notin A $$
پس عبارت \(7\in A\) نادرست است.
همچنین عبارت \(12\notin A\) نادرست است.
مثال ۲: تشخیص زیرمجموعه
اگر:
$$ A=\{1,3\} $$ $$ B=\{1,2,3,4\} $$
آیا \(A\) زیرمجموعه \(B\) است؟
حل
اعضای \(A\) عبارتاند از \(1\) و \(3\). هر دو در \(B\) وجود دارند. بنابراین:
$$ A\subseteq B $$
از آنجا که \(A\ne B\):
$$ A\subsetneq B $$
مثال ۳: یک عضو که زیرمجموعه نیست
اگر:
$$ A=\{1,2,3\} $$
کدام عبارت درست است؟
$$ 1\in A $$ $$ \{1\}\subseteq A $$ $$ 1\subseteq A $$
حل
عبارت اول درست است:
$$ 1\in A $$
عبارت دوم نیز درست است:
$$ \{1\}\subseteq A $$
اما عبارت سوم از نظر نوع رابطه صحیح نیست، زیرا \(1\) یک عدد است و در اینجا مجموعهای نیست که بتوان آن را بهعنوان زیرمجموعه \(A\) بررسی کرد.
مثال ۴: زیرمجموعه تهی
اگر:
$$ A=\{2,4,6\} $$
آیا:
$$ \varnothing\subseteq A $$
است؟
حل
بله. مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است:
$$ \varnothing\subseteq A $$
برای آشنایی کاملتر با مجموعه تهی:
مجموعه تهی چیست؟ تعریف، نماد، ویژگیها و مثالهای مجموعه تهی
مثال ۵: برابری دو مجموعه با دو شمول
نشان دهید:
$$ A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -2\leq x\leq2\} $$
و:
$$ B=\{-2,-1,0,1,2\} $$
برابرند.
حل
از تعریف \(A\) داریم:
$$ A=\{-2,-1,0,1,2\} $$
پس هر عضو \(A\) در \(B\) قرار دارد:
$$ A\subseteq B $$
و برعکس، هر عضو \(B\) شرط تعریف \(A\) را دارد:
$$ B\subseteq A $$
پس:
$$ A=B $$
مثال ۶: تعداد زیرمجموعهها
مجموعهای با \(5\) عضو چند زیرمجموعه دارد؟
حل
برای هر عضو دو انتخاب وجود دارد: عضو در زیرمجموعه باشد یا نباشد. بنابراین:
$$ 2^5=32 $$
پس مجموعه دارای \(32\) زیرمجموعه است.
تعداد زیرمجموعههای سره نیز:
$$ 32-1=31 $$
کاربردهای عضویت و زیرمجموعه
در نظریه مجموعهها
تقریباً تمام عملیات اصلی نظریه مجموعهها بر مبنای رابطه عضویت تعریف میشوند. اجتماع، اشتراک، تفاضل، متمم و مجموعه توانی همگی با مشخصکردن اینکه چه اشیایی عضو مجموعه هستند تعریف میشوند.
در تابعها
تابع را میتوان با استفاده از مجموعههای دامنه و همدامنه تعریف کرد و رابطه میان دامنه، برد و همدامنه با مفهوم زیرمجموعه ارتباط مستقیم دارد.
اگر \(f:A\to B\) باشد، برد تابع \(f\) زیرمجموعهای از \(B\) است:
$$ f(A)\subseteq B $$
در احتمال
در نظریه احتمال، رویدادها زیرمجموعههایی از فضای نمونه هستند. اگر \(\Omega\) فضای نمونه باشد، یک رویداد \(E\) معمولاً به صورت:
$$ E\subseteq\Omega $$
تعریف میشود.
در علوم کامپیوتر
در ریاضیات گسسته و علوم کامپیوتر، مجموعهها برای مدلسازی دادههای متمایز، دامنهها، روابط، گرافها و ساختارهای گسسته استفاده میشوند. در بسیاری از این کاربردها لازم است مشخص شود یک مجموعه از دادهها بخشی از مجموعه بزرگتر است یا خیر.
درس دانشگاهی MIT با عنوان «Mathematics for Computer Science» نیز مجموعهها، روابط، منطق، اثبات و ساختارهای گسسته را در چارچوب ریاضیات مورد استفاده در علوم کامپیوتر آموزش میدهد.
مشاهده دوره Mathematics for Computer Science در MIT OpenCourseWare
اشتباهات رایج
اشتباه اول: یکی دانستن \( \in \) و \( \subseteq \)
این دو نماد رابطههای متفاوتی را نشان میدهند:
$$ x\in A $$
یعنی \(x\) عضو \(A\) است، در حالی که:
$$ A\subseteq B $$
یعنی هر عضو \(A\) در \(B\) نیز وجود دارد.
اشتباه دوم: تصور اینکه اگر \(a\in A\)، آنگاه \(a\subseteq A\)
این نتیجه درست نیست. از:
$$ a\in A $$
میتوان نتیجه گرفت:
$$ \{a\}\subseteq A $$
اما نمیتوان بهطور کلی نوشت:
$$ a\subseteq A $$
اشتباه سوم: فراموشکردن اینکه مجموعه تهی زیرمجموعه همه مجموعههاست
همیشه داریم:
$$ \varnothing\subseteq A $$
مهم نیست \(A\) چند عضو داشته باشد.
اشتباه چهارم: تصور اینکه مجموعه خودش زیرمجموعه خودش نیست
هر مجموعه زیرمجموعه خودش است:
$$ A\subseteq A $$
اما زیرمجموعه سره خودش نیست:
$$ A\nsubsetneq A $$
اشتباه پنجم: تصور اینکه دو مجموعه با ترتیب متفاوت، متفاوتاند
برای مثال:
$$ \{1,2,3\}=\{3,2,1\} $$
پس ترتیب نوشتن اعضا بر رابطه برابری مجموعهها تأثیری ندارد.
اشتباه ششم: اشتباه گرفتن \(\{a\}\) با \(a\)
در عبارت:
$$ a\in A $$
شیء \(a\) عضو \(A\) است.
اما:
$$ \{a\}\subseteq A $$
درباره مجموعه تکعضوی \(\{a\}\) صحبت میکند.
نکات مهم
- رابطه \(x\in A\) رابطه میان یک شیء و یک مجموعه است.
- رابطه \(A\subseteq B\) رابطه میان دو مجموعه است.
- \(x\in A\) دقیقاً معادل \(\{x\}\subseteq A\) است.
- هر مجموعه زیرمجموعه خودش است.
- مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است.
- اگر \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq A\)، آنگاه \(A=B\).
- اگر \(A\subseteq B\) و \(A\ne B\)، آنگاه \(A\subsetneq B\).
- اگر \(A\) دارای \(n\) عضو باشد، دقیقاً \(2^n\) زیرمجموعه دارد.
- اگر \(A\) دارای \(n\) عضو باشد، دقیقاً \(2^n-1\) زیرمجموعه سره دارد.
- تعداد زیرمجموعههای \(k\)-عضوی یک مجموعه \(n\)-عضوی برابر \(\binom{n}{k}\) است.
- برای اثبات \(A\subseteq B\)، معمولاً یک عضو دلخواه \(x\in A\) انتخاب و نشان داده میشود که \(x\in B\).
- برای اثبات برابری دو مجموعه، میتوان دو رابطه \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq A\) را ثابت کرد.
جمعبندی
عضویت و زیرمجموعه دو مفهوم پایه اما متفاوت در نظریه مجموعهها هستند. عضویت با نماد \( \in \) بیان میکند که یک شیء در یک مجموعه قرار دارد:
$$ x\in A $$
در مقابل، زیرمجموعهبودن با نماد \( \subseteq \) بیان میکند که تمام اعضای یک مجموعه در مجموعه دیگری نیز قرار دارند:
$$ A\subseteq B $$
مهمترین تفاوت مفهومی این است که در رابطه عضویت، طرف اول یک شیء و طرف دوم یک مجموعه است؛ اما در رابطه زیرمجموعه، هر دو طرف مجموعه هستند.
از تعریف زیرمجموعه نتایج مهمی مانند:
$$ A\subseteq A $$ $$ \varnothing\subseteq A $$ $$ (A\subseteq B\land B\subseteq A)\Rightarrow A=B $$
به دست میآید. همچنین برای مجموعههای متناهی، رابطه زیرمجموعه به شمارش نیز متصل میشود و اگر مجموعهای \(n\) عضو داشته باشد، تعداد زیرمجموعههای آن برابر \(2^n\) است.
تسلط بر این مفاهیم، پیشنیاز طبیعی برای مطالعه مجموعههای متناهی و نامتناهی، اجتماع و اشتراک، تفاضل و متمم، ضرب دکارتی و مجموعه توانی است.
موضوعات مرتبط
منابع
منابع کتابی
- Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8th Edition, McGraw-Hill Education, 2019.
- Richard Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, 8th Edition, Pearson.
- Ralph P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, 5th Edition, Pearson.
- Paul R. Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974.
منابع دانشگاهی و آموزشی وب
- MIT OpenCourseWare، Mathematics for Computer Science، Massachusetts Institute of Technology. این دوره مجموعهها، منطق، روشهای اثبات و ساختارهای گسسته را در سطح دانشگاهی بررسی میکند.
مشاهده منبع در MIT OpenCourseWare
- OpenStax، 1.2 Subsets، کتاب Contemporary Mathematics. این بخش تعریف زیرمجموعه، زیرمجموعه سره، مجموعه تهی و تعداد زیرمجموعههای یک مجموعه متناهی را بررسی میکند.
مشاهده منبع در OpenStax
- Mathematics LibreTexts، 2.1: Subsets and Equality، Mount Royal University. این منبع تعریف زیرمجموعه، روش اثبات \(A\subseteq B\)، برابری مجموعهها و زیرمجموعههای مجموعه تهی را بررسی میکند.
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
- Mathematics LibreTexts، Sets, Subsets, and Predicates. این منبع تعریف رسمی زیرمجموعه و نمونههای مختلف مربوط به شمول مجموعهها را ارائه میکند.
مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
- MIT OpenCourseWare، 6.1200J/18.062J Mathematics for Computer Science. در یادداشتهای این درس، تفاوت میان عضویت \(x\in A\) و زیرمجموعهبودن \(S\subseteq T\) بهصورت مستقیم معرفی شده است.
مشاهده یادداشت درس در MIT OpenCourseWare