قدر مطلق چیست؟ تعریف، خواص، فرمول‌ها و مثال‌های حل‌شده

قدر مطلق یکی از ابزارهای مهم برای بیان فاصله، اندازه و اختلاف بدون توجه به جهت در ریاضیات است. اگر یک عدد روی محور اعداد در سمت راست یا چپ صفر قرار داشته باشد، قدر مطلق آن فقط فاصله آن عدد تا صفر را در نظر می‌گیرد؛ بنابراین علامت مثبت یا منفی عدد در مقدار نهایی نقشی ندارد.

برای نمونه، عددهای \(5\) و \(-5\) هر دو پنج واحد از صفر فاصله دارند، بنابراین:

$$ |5| = |-5| = 5 $$

منابع دانشگاهی مانند OpenStax College Algebra و منابع آموزشی دانشگاهی موجود در Mathematics LibreTexts نیز قدر مطلق را با مفهوم فاصله از صفر مرتبط می‌دانند و از همین مفهوم برای حل معادلات و نامعادلات قدر مطلق استفاده می‌کنند. مشاهده مبحث قدر مطلق در OpenStax و مشاهده مبحث معادلات و نامعادلات قدر مطلق در Mathematics LibreTexts.

پیش‌نیازهای فهم قدر مطلق

برای درک قدر مطلق، آشنایی مقدماتی با اعداد حقیقی، محور اعداد و مقایسه عددها کافی است. در محور اعداد، هر عدد حقیقی یک نقطه را مشخص می‌کند و فاصله دو نقطه همیشه مقداری نامنفی است.

برای مثال، فاصله عدد \(7\) از صفر برابر \(7\) و فاصله عدد \(-7\) از صفر نیز برابر \(7\) است. همین مفهوم هندسی اساس تعریف قدر مطلق را تشکیل می‌دهد.

تعریف دقیق قدر مطلق

قدر مطلق یک عدد حقیقی \(x\)، فاصله آن عدد از صفر روی محور اعداد است و با نماد \( |x| \) نشان داده می‌شود.

تعریف جبری قدر مطلق به‌صورت تابع چندضابطه‌ای چنین است:

$$ |x| = \begin{cases} x & \text{اگر } x \geq 0\\ -x & \text{اگر } x < 0 \end{cases} $$

بنابراین اگر عدد مثبت یا صفر باشد، قدر مطلق آن خود عدد است؛ اما اگر عدد منفی باشد، قرینه آن گرفته می‌شود تا نتیجه نامنفی شود.

برای مثال:

$$ |8| = 8 $$

و

$$ |-8| = -(-8) = 8 $$

در نتیجه، قدر مطلق هیچ عدد حقیقی منفی نیست:

$$ |x| \geq 0 $$

این تعریف و ویژگی در منابع دانشگاهی جبر نیز به همین صورت ارائه شده است. تعریف قدر مطلق در OpenStax.

تفسیر هندسی قدر مطلق

مهم‌ترین برداشت شهودی از قدر مطلق، مفهوم فاصله است.

اگر \(x\) یک عدد حقیقی باشد، \( |x| \) فاصله نقطه متناظر با \(x\) از مبدأ محور اعداد است.

برای نمونه، نقاط متناظر با \(4\) و \(-4\) نسبت به صفر متقارن‌اند و هر دو چهار واحد با صفر فاصله دارند:

$$ |4| = |-4| = 4 $$

این تفسیر برای حل معادلات و نامعادلات قدر مطلق بسیار مهم است؛ زیرا به‌جای حفظ کردن چند فرمول، می‌توان مسئله را به زبان فاصله تفسیر کرد.

قدر مطلق و فاصله بین دو عدد

فاصله دو عدد حقیقی \(x\) و \(y\) برابر قدر مطلق اختلاف آن‌هاست:

$$ d(x,y) = |x-y| $$

از آنجا که \( |x-y| = |y-x| \)، ترتیب دو نقطه در محاسبه فاصله اهمیتی ندارد.

برای مثال، فاصله \(3\) و \(11\) برابر است با:

$$ |11-3| = |8| = 8 $$

و اگر ترتیب را عوض کنیم:

$$ |3-11| = |-8| = 8 $$

بنابراین معادله‌ای مانند \( |x-5|=3 \) را می‌توان چنین تفسیر کرد: «فاصله \(x\) از عدد \(5\)، برابر \(3\) است.»

خواص مهم قدر مطلق

۱. نامنفی بودن

برای هر عدد حقیقی \(x\):

$$ |x| \geq 0 $$

مساوی شدن با صفر فقط زمانی رخ می‌دهد که خود عدد صفر باشد:

$$ |x| = 0 \iff x = 0 $$

۲. قدر مطلق عدد و قرینه آن

هر عدد و قرینه‌اش قدر مطلق یکسانی دارند:

$$ |-x| = |x| $$

برای مثال:

$$ |-12| = |12| = 12 $$

۳. ضرب

قدر مطلق حاصل‌ضرب دو عدد برابر حاصل‌ضرب قدر مطلق آن‌هاست:

$$ |xy| = |x|\,|y| $$

برای نمونه:

$$ |-3 \times 5| = |-15| = 15 $$

از طرف دیگر:

$$ |-3|\,|5| = 3 \times 5 = 15 $$

۴. تقسیم

اگر \(y \neq 0\)، آنگاه:

$$ \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|} $$

۵. توان دوم

برای هر عدد حقیقی \(x\):

$$ |x|^2 = x^2 $$

همچنین:

$$ |x| = \sqrt{x^2} $$

این رابطه یکی از کاربردهای مهم قدر مطلق است؛ زیرا ریشه دوم اصلی همیشه نامنفی است.

۶. نامساوی مثلثی

یکی از خواص مهم قدر مطلق این است که:

$$ |x+y| \leq |x|+|y| $$

این رابطه را نامساوی مثلثی می‌نامند. تفسیر هندسی آن با این ایده سازگار است که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه از مسیرهای غیرمستقیم طولانی‌تر نیست.

۷. کران پایین اختلاف قدر مطلق‌ها

برای هر دو عدد حقیقی \(x\) و \(y\):

$$ \big||x|-|y|\big| \leq |x-y| $$

این رابطه نشان می‌دهد تغییر در قدر مطلق دو عدد نمی‌تواند از فاصله خود آن دو عدد بیشتر باشد.

رابطه قدر مطلق با علامت عدد

قدر مطلق علامت عدد را حذف می‌کند، اما این به معنی آن نیست که هر عبارت دارای قدر مطلق را می‌توان بدون توجه به علامت ساده کرد.

مثلاً:

$$ |x| = x $$

فقط زمانی درست است که:

$$ x \geq 0 $$

در مقابل:

$$ |x| = -x $$

زمانی برقرار است که:

$$ x < 0 $$

بنابراین عبارت \( |x| \) را نمی‌توان همیشه به \(x\) تبدیل کرد.

تابع قدر مطلق

تابع پایه قدر مطلق به شکل زیر تعریف می‌شود:

$$ f(x)=|x| $$

این تابع برای هر عدد حقیقی تعریف شده است؛ بنابراین دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی است:

$$ \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R} $$

از آنجا که خروجی تابع قدر مطلق همیشه نامنفی است، برد آن برابر است با:

$$ \operatorname{Ran}(f)=[0,\infty) $$

منبع دانشگاهی OpenStax نیز دامنه تابع قدر مطلق را همه اعداد حقیقی و برد آن را مقادیر بزرگ‌تر یا مساوی صفر معرفی می‌کند. مشاهده منبع OpenStax درباره دامنه و برد.

نمودار تابع قدر مطلق

نمودار تابع \(f(x)=|x|\) شکلی شبیه حرف V دارد و رأس آن در مبدأ مختصات، یعنی نقطه \((0,0)\)، قرار می‌گیرد.

این شکل مستقیماً از تعریف چندضابطه‌ای تابع به دست می‌آید:

$$ f(x)= \begin{cases} x & \text{اگر } x \geq 0\\ -x & \text{اگر } x < 0 \end{cases} $$

در سمت راست محور \(y\)، نمودار خط \(y=x\) و در سمت چپ آن نمودار خط \(y=-x\) است.

فرم عمومی‌تر تابع قدر مطلق عبارت است از:

$$ f(x)=a|x-h|+k $$

در این فرم، نقطه \( (h,k) \) رأس نمودار است. اگر \(a>0\) باشد، نمودار رو به بالا و اگر \(a<0\) باشد، نمودار رو به پایین باز می‌شود.

منبع OpenStax نیز انتقال افقی و عمودی و تغییر شکل نمودار تابع قدر مطلق را با همین فرم بررسی می‌کند. مشاهده بخش تابع قدر مطلق در OpenStax.

معادله قدر مطلق

یکی از مهم‌ترین شکل‌های معادله قدر مطلق چنین است:

$$ |A|=b $$

اگر \(b>0\) باشد، دو حالت ممکن وجود دارد:

$$ A=b $$

یا:

$$ A=-b $$

بنابراین:

$$ |A|=b \iff A=b \quad \text{یا} \quad A=-b $$

اگر \(b=0\) باشد، تنها حالت ممکن \(A=0\) است.

اما اگر \(b<0\) باشد، معادله هیچ جواب حقیقی ندارد؛ زیرا قدر مطلق نمی‌تواند منفی باشد.

مثال حل‌شده: معادله ساده قدر مطلق

معادله زیر را حل کنید:

$$ |x|=7 $$

چون فاصله \(x\) از صفر باید \(7\) باشد، دو نقطه روی محور اعداد ممکن هستند:

$$ x=7 $$

یا:

$$ x=-7 $$

پس مجموعه جواب:

$$ \{-7,7\} $$

مثال حل‌شده: معادله قدر مطلق با عبارت جبری

معادله زیر را حل کنید:

$$ |2x-5|=3 $$

دو حالت ایجاد می‌کنیم:

$$ 2x-5=3 $$

در نتیجه:

$$ 2x=8 $$

و بنابراین:

$$ x=4 $$

حالت دوم:

$$ 2x-5=-3 $$

پس:

$$ 2x=2 $$

و:

$$ x=1 $$

بنابراین جواب نهایی:

$$ x=1 \quad \text{یا} \quad x=4 $$

معادله قدر مطلق با جواب نداشتن

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$$ |3x-5|=-2 $$

سمت چپ معادله همیشه نامنفی است، اما سمت راست منفی است. بنابراین هیچ عدد حقیقی نمی‌تواند این معادله را برقرار کند.

در نتیجه:

$$ \varnothing $$

این نکته بسیار مهم است: قبل از حل یک معادله قدر مطلق، باید بررسی کنیم که مقدار سمت دیگر معادله منفی نباشد.

نامعادلات قدر مطلق

نامعادلات قدر مطلق معمولاً به دو گروه اصلی تقسیم می‌شوند: نامعادلاتی که بیانگر «فاصله کمتر» هستند و نامعادلاتی که بیانگر «فاصله بیشتر» هستند.

برای عدد مثبت \(a\)، رابطه‌های بنیادی عبارت‌اند از:

$$ |A| < a \iff -a < A < a $$

و:

$$ |A| \leq a \iff -a \leq A \leq a $$

در مقابل:

$$ |A| > a \iff A < -a \quad \text{یا} \quad A > a $$

و:

$$ |A| \geq a \iff A \leq -a \quad \text{یا} \quad A \geq a $$

این روابط در منابع دانشگاهی جبر برای حل نامعادلات قدر مطلق به‌صورت مستقیم ارائه شده‌اند. مشاهده قواعد حل نامعادلات قدر مطلق در Mathematics LibreTexts.

تفسیر هندسی نامعادلات قدر مطلق

اگر بنویسیم:

$$ |x-3| < 2 $$

در واقع می‌گوییم فاصله \(x\) از عدد \(3\) کمتر از \(2\) است. بنابراین \(x\) باید بین دو عدد \(1\) و \(5\) قرار داشته باشد:

$$ 1 < x < 5 $$

به زبان بازه‌ای:

$$ x \in (1,5) $$

اما اگر داشته باشیم:

$$ |x-3| > 2 $$

یعنی فاصله \(x\) از \(3\) بیشتر از \(2\) است. بنابراین \(x\) در یکی از دو ناحیه بیرونی قرار دارد:

$$ x < 1 \quad \text{یا} \quad x > 5 $$

و به زبان بازه‌ای:

$$ x \in (-\infty,1) \cup (5,\infty) $$

بنابراین تفاوت اصلی این دو گروه آن است که «کمتر از یک فاصله مشخص» ناحیه‌ای بین دو نقطه را مشخص می‌کند، در حالی که «بیشتر از یک فاصله مشخص» دو ناحیه بیرونی را مشخص می‌کند. این تفسیر فاصله‌ای در منابع دانشگاهی جبر و پیش‌حساب نیز برای حل نامعادلات قدر مطلق به کار می‌رود.

مثال حل‌شده: نامعادله کمتر از

نامعادله زیر را حل کنید:

$$ |2x-1| \leq 5 $$

از قاعده نامعادله قدر مطلق استفاده می‌کنیم:

$$ -5 \leq 2x-1 \leq 5 $$

به هر سه بخش \(1\) اضافه می‌کنیم:

$$ -4 \leq 2x \leq 6 $$

اکنون هر سه بخش را بر \(2\) تقسیم می‌کنیم:

$$ -2 \leq x \leq 3 $$

پس جواب:

$$ x \in [-2,3] $$

مثال حل‌شده: نامعادله بیشتر از

نامعادله زیر را حل کنید:

$$ |3x+2| > 8 $$

چون با «بیشتر از» مواجه هستیم، دو حالت داریم:

$$ 3x+2 < -8 $$

یا:

$$ 3x+2 > 8 $$

از حالت اول:

$$ 3x < -10 $$

پس:

$$ x < -\frac{10}{3} $$

از حالت دوم:

$$ 3x > 6 $$

پس:

$$ x > 2 $$

بنابراین:

$$ x \in \left(-\infty,-\frac{10}{3}\right) \cup (2,\infty) $$

حل نامعادلات قدر مطلق با عدد منفی

اگر پس از جدا کردن قدر مطلق به رابطه‌ای مانند زیر برسیم:

$$ |A| < -3 $$

هیچ جوابی وجود ندارد؛ زیرا قدر مطلق همیشه نامنفی است.

همچنین:

$$ |A| \geq -3 $$

برای هر مقدار حقیقی \(A\) درست است، زیرا همیشه:

$$ |A| \geq 0 > -3 $$

بنابراین در نامعادلات قدر مطلق، علامت و مقدار عددی که در طرف دیگر قرار دارد باید قبل از اجرای قواعد بررسی شود.

حل قدر مطلق با استفاده از تعریف چندضابطه‌ای

گاهی بهترین روش حل، بررسی علامت عبارت داخل قدر مطلق است.

برای نمونه:

$$ |x-2| $$

اگر \(x\geq2\) باشد، عبارت \(x-2\) نامنفی است و:

$$ |x-2|=x-2 $$

اگر \(x<2\) باشد، عبارت \(x-2\) منفی است و:

$$ |x-2|=-(x-2)=2-x $$

پس:

$$ |x-2|= \begin{cases} x-2 & \text{اگر } x \geq 2\\ 2-x & \text{اگر } x < 2 \end{cases} $$

این روش به‌ویژه زمانی مفید است که یک عبارت پیچیده‌تر شامل چند قدر مطلق داشته باشیم.

قدر مطلق و فاصله از یک عدد دلخواه

قدر مطلق فقط برای فاصله از صفر استفاده نمی‌شود. عبارت:

$$ |x-a| $$

فاصله عدد \(x\) از عدد \(a\) را نشان می‌دهد.

برای مثال:

$$ |x-10| $$

فاصله \(x\) از \(10\) است.

اگر بخواهیم عددهایی را پیدا کنیم که حداکثر \(4\) واحد از \(10\) فاصله دارند، می‌نویسیم:

$$ |x-10| \leq 4 $$

که معادل است با:

$$ -4 \leq x-10 \leq 4 $$

و در نتیجه:

$$ 6 \leq x \leq 14 $$

بنابراین مجموعه جواب:

$$ x \in [6,14] $$

قدر مطلق در خطای اندازه‌گیری و تلورانس

یکی از کاربردهای مهم قدر مطلق، بیان میزان انحراف یک مقدار واقعی از مقدار اسمی یا مطلوب است.

اگر مقدار اسمی \(a\) باشد و مقدار واقعی \(x\)، اختلاف آن‌ها برابر \(x-a\) است؛ اما برای بیان اندازه خطا بدون توجه به جهت، از:

$$ |x-a| $$

استفاده می‌کنیم.

اگر خطای مجاز حداکثر \(e\) باشد، شرط قابل قبول بودن مقدار \(x\) چنین نوشته می‌شود:

$$ |x-a| \leq e $$

و این رابطه معادل است با:

$$ a-e \leq x \leq a+e $$

OpenStax نیز برای بیان محدوده مجاز یک مقدار اندازه‌گیری‌شده، نمونه‌ای از همین کاربرد را با مقاومت الکتریکی ارائه می‌کند. مشاهده مثال کاربردی قدر مطلق در OpenStax.

قضیه مهم درباره فاصله و قدر مطلق

برای هر دو عدد حقیقی \(x\) و \(a\)، مجموعه تمام نقاطی که فاصله آن‌ها از \(a\) کمتر یا مساوی \(r\) است، برای \(r\geq0\)، برابر با بازه بسته زیر است:

$$ |x-a| \leq r \iff a-r \leq x \leq a+r $$

اگر به‌جای «کمتر یا مساوی»، «کمتر» داشته باشیم:

$$ |x-a| < r \iff a-r < x < a+r $$

و اگر فاصله بیشتر از \(r\) باشد:

$$ |x-a| > r \iff x < a-r \quad \text{یا} \quad x > a+r $$

این روابط مستقیماً از تعریف هندسی فاصله به دست می‌آیند.

اشتباهات رایج در قدر مطلق

اشتباه اول: حذف مستقیم علامت منفی بدون توجه به عبارت

این گزاره همیشه درست نیست:

$$ |x-3|=x-3 $$

این برابری فقط زمانی درست است که:

$$ x-3 \geq 0 $$

یعنی \(x\geq3\).

اشتباه دوم: فراموش کردن جواب دوم معادله

در معادله:

$$ |A|=b $$

برای \(b>0\)، باید هر دو حالت \(A=b\) و \(A=-b\) بررسی شوند.

اشتباه سوم: تبدیل نامعادله «بیشتر از» به یک بازه داخلی

برای مثال:

$$ |x| > 3 $$

جواب بین \(-3\) و \(3\) نیست. بلکه بیرون این بازه قرار دارد:

$$ x < -3 \quad \text{یا} \quad x > 3 $$

اشتباه چهارم: تقسیم نامساوی بدون توجه به علامت

اگر در حل نامعادله هر سه طرف را بر عدد منفی تقسیم کنیم، جهت نامساوی‌ها باید عوض شود. این قاعده مربوط به خود قدر مطلق نیست، اما در حل نامعادلات قدر مطلق بسیار مهم است.

اشتباه پنجم: فرض اینکه هر معادله قدر مطلق دو جواب دارد

معادله‌ای مانند:

$$ |x|=0 $$

فقط یک جواب دارد:

$$ x=0 $$

و معادله‌ای مانند:

$$ |x|=-2 $$

اصلاً جواب حقیقی ندارد.

نکات مهم و عمیق‌تر

• قدر مطلق مقدار فاصله است، نه جهت. به همین دلیل مقدار آن همیشه نامنفی است.
• \(|x|=|-x|\) نشان‌دهنده تقارن نسبت به صفر روی محور اعداد است.
• \(|x-a|\) فاصله \(x\) از \(a\) را نشان می‌دهد.
• نامعادلات «کمتر از» معمولاً به یک ناحیه داخلی و نامعادلات «بیشتر از» معمولاً به دو ناحیه بیرونی منجر می‌شوند.
• در حل معادلات قدر مطلق، ابتدا باید خود عبارت قدر مطلق را تا حد امکان تنها کرد.
• اگر مقدار مقابل قدر مطلق منفی باشد، معادله قدر مطلق معمولاً بدون جواب حقیقی است؛ اما در نامعادلات باید نوع علامت نامساوی را جداگانه بررسی کرد.
• تابع \(f(x)=|x|\) نمونه‌ای بنیادی از تابع چندضابطه‌ای است و نمودار آن شکلی V مانند دارد.

فرمول‌های مهم قدر مطلق

مهم‌ترین روابط این مبحث عبارت‌اند از:

$$ |x| = \begin{cases} x & \text{اگر } x \geq 0\\ -x & \text{اگر } x < 0 \end{cases} $$

$$ |x| \geq 0 $$

$$ |-x|=|x| $$

$$ |xy|=|x|\,|y| $$

$$ \left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|} \quad (y\neq0) $$

$$ |x|=\sqrt{x^2} $$

$$ |x+y|\leq |x|+|y| $$

$$ |x-a|=d(x,a) $$

$$ |A|=b \iff A=b \quad \text{یا} \quad A=-b \quad (b>0) $$

$$ |A|<>0) $$

$$ |A|\leq b \iff -b\leq A\leq b \quad (b\geq0) $$

$$ |A|>b \iff A<-b \quad \text{یا} \quad A>b \quad (b\geq0) $$

$$ |A|\geq b \iff A\leq-b \quad \text{یا} \quad A\geq b \quad (b\geq0) $$

جمع‌بندی

قدر مطلق را می‌توان هم به‌صورت جبری و هم به‌صورت هندسی درک کرد. تعریف بنیادی آن می‌گوید \( |x| \) فاصله عدد \(x\) از صفر روی محور اعداد است. به همین دلیل، قدر مطلق همیشه نامنفی است و عددهای متقارن نسبت به صفر قدر مطلق یکسانی دارند.

مفهوم فاصله مهم‌ترین ابزار برای فهم معادلات و نامعادلات قدر مطلق است. عبارت \( |x-a| \) فاصله \(x\) از \(a\) را نشان می‌دهد؛ بنابراین معادله \( |x-a|=r \) دو نقطه در فاصله \(r\) از \(a\) را مشخص می‌کند، در حالی که نامعادلات با علامت «کمتر» یک ناحیه داخلی و نامعادلات با علامت «بیشتر» نواحی بیرونی را مشخص می‌کنند.

شناخت این تفسیر هندسی باعث می‌شود قواعد حل قدر مطلق صرفاً مجموعه‌ای از فرمول‌های حفظی نباشند و ارتباط آن‌ها با محور اعداد، بازه‌ها، توابع و نامعادلات به‌صورت روشن دیده شود.

موضوعات مرتبط

برای مطالعه مفاهیم مرتبط، می‌توانید موضوعات زیر را در ادامه دنبال کنید:

• محور اعداد
• بازه‌ها
• نامعادله‌ها
• معادلات قدر مطلق
• نامعادلات قدر مطلق
• توابع
• توابع چندضابطه‌ای

منابع

• OpenStax، College Algebra, Section 3.6: Absolute Value Functions، Jay Abramson، OpenStax، ۲۰۱۵.
  این منبع تعریف تابع قدر مطلق، نمایش چندضابطه‌ای، نمودار، انتقال‌ها و کاربردهای قدر مطلق را بررسی می‌کند.
  مشاهده منبع در OpenStax
• OpenStax، College Algebra, Section 3.2: Domain and Range، Jay Abramson، OpenStax.
  این بخش تعریف قدر مطلق، دامنه و برد تابع قدر مطلق و تفسیر آن به‌عنوان فاصله از صفر را توضیح می‌دهد.
  مشاهده منبع در OpenStax
• OpenStax، College Algebra, Chapter 3 Key Equations، Jay Abramson، OpenStax.
  این منبع تابع قدر مطلق و روابط اصلی مرتبط با توابع را در مجموعه معادلات کلیدی کتاب ارائه می‌کند.
  مشاهده منبع در OpenStax
• Mathematics LibreTexts، Solving Absolute Value Equations and Inequalities، Mathematics LibreTexts.
  این منبع روش‌های حل معادلات و نامعادلات قدر مطلق و تبدیل آن‌ها به نامعادلات مرکب را بررسی می‌کند.
  مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
• Mathematics LibreTexts، Linear Inequalities and Absolute Value Inequalities.
  این منبع تفسیر قدر مطلق به‌عنوان فاصله و روش حل جبری و نموداری نامعادلات قدر مطلق را توضیح می‌دهد.
  مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts
• Mathematics LibreTexts، Equations and Inequalities and Absolute Value، The NROC Project.
  این منبع تعریف قدر مطلق به‌عنوان فاصله از صفر و روش حل معادلات و نامعادلات شامل قدر مطلق را ارائه می‌کند.
  مشاهده منبع در Mathematics LibreTexts

تاریخ بررسی و تطبیق منابع: ۲۳ مرداد ۱۴۰۵

---

این مقاله در سایت علمی رایشمند منتشر شده است. خوشحال می‌شویم اگر دیدگاه و نظر خود را درباره این موضوع با ما و دیگر خوانندگان در میان بگذارید.