پرش به محتوا
ورود | ثبت‌نام
سخنان قصار
  • ستودن بیش از آن چه كه سزاوار است نوعی چاپلوسی، و كمتر از آن،‌ درماندگی یا حسادت است.امام علی (ع)
  • كمتر تلویزیون تماشا كن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی در مقابل جمعی از تو خواستند دعا كنی فورا" این كار را بكن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی به كسی می گویی دوستت دارم این را در عمل نشان بده.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی به دیدن دوست بیمار خود می روی به یاد داشته باش كه امید دادن وتقویت افكار مثبت برای او قویترین داروست.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • منزلت را درطبقات بالای آپارتمان انتخاب كن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • تشك ارزان و بد كیفیت نخر.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • به مردمی كه شغل دشواری دارند بیشتر احترام بگذار.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی فردی را كه مشتاق دیدارش بودی ملاقات كردی لبخند بزن خودت را معرفی كن و بگو: تا به حال سعادت دیدارشما را نداشته ام.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • تقوا در رأس همة ارزش های اخلاقی است.امام علی (ع)
  • ای فرزند آدم ! اندوه روز نیامده را بر امروزت میفزا، زیرا اگر روز نرسیده، از عمر تو باشد خدا روزی تو را خواهد رساند.امام علی (ع)
  • تمام دارائیت را خرج نكن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • سعی كن خانه و محل كارت سالم و بدون دود سیگار باشد.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • اگر می خواهی كسی را نصیحت كنی، اول خودت به آن عمل كن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • دریك شب سرد كتت را روی دوش همسرت بینداز.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • نردبان، سیم رابط و شلنگ را همیشه بلندتر از مقدار مورد نیاز بخر.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • بسا سخن كه از حملة مسلحانه كارگر تر استامام علی (ع)
  • پیش از ازدواج حداقل شش ماه با همسرت نامزد باش .اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • از نافرمانی خدا در خلوت ها بپرهیزید، زیرا همان كه گواه است، داوری كند.امام علی (ع)
  • كار اندكی كه ادامه یابد، از كار بسیاری كه از آن به ستوه آیی امیدوار كننده تر است.امام علی (ع)
  • سعی كن زندگی خوب و پرافتخاری داشته باشی تا بعدها كه به گذشته فكر می كنی از یادآوری آن لذت ببری.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • هرسال یك اثر هنری بخر، حتی اگر كاری مانند نقاشی رنگ و روغن یك دانش آموز دبیرستانی باشد.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • سعی كن از فنجان ، بشقاب و به طوركلی ظروف پلاستیكی كمتر استفاده كنی.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی خانمی را به خانه اش می رسانی تا وقتی مطمئن نشده ای كه به سلامت وارد خانه اش شده آنجا را ترك نكن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی درزمینه های حرفه ای و تخصصی با مشكل مواجه شدی ، از افراد متخصص كمك بخواه نه از دوستانت.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • هر گاه مستحبات به واجبات زیان رساند آن را ترك كنید.امام علی (ع)
  • در تربیت خویش تو را بس كه از آنچه بر دیگران نمی پسندی دوری كنی.امام علی (ع)
  • هركز با كسی كه سابقه به دادگاه كشیدن مردم را دارد معامله نكن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • وقتی در كاری شكست می خوری عذر و بهانه نیاور.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • ماشینی بخر كه سقف آفتابگیر داشه باشد.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • بدترین دوست،‌ کسی است که برای او به رنج و زحمت افتی.امام علی (ع)
  • سعی كن در محیط مدرسه كاملا آرام باشی.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • به یك دانش آموز نیازمند كمك كن تا در اردوهای تابستانی شركت كند.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • مردم فرزندان دنیا هستند و هیچ كس را بر دوستی مادرش نمی توان سرزنش كرد.امام علی (ع)
  • از دیگران انتظار نداشته باش كه بهترین هدیه ها را به بهترین شكل كادوپیچی كرده و به تو بدهند.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • هر گاه خدا بخواهد بنده ای را خوار كند، دانش را از او دور سازد.امام علی (ع)
  • ناراحتی های كوچك را با مشكلات بزرگ اشتباه نكن.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
  • خدا از مردم نادان عهد نگرفت كه بیاموزند، تا آنكه از دانایان عهد گرفت كه آموزش دهندامام علی (ع)
  • نابود شد ، كسی كه ارزش خود را ندانستامام علی (ع)
  • افكار محرمانه ات را مخفی نگهدار.اچ جکسون براون (کتاب نکته‌های کوچک زندگی)
مطالب علمی
۶ دقیقه مطالعه دسته‌ها: ریاضیجبر

دستگاه دو معادله دو مجهول؛ روش نموداری، تشخیص تعداد جواب با نسبت ضرایب و مثال‌های حل‌شده

مقدمه

نمودار هر معادله‌ی خطی \( ax+by=c \) یک خط راست است. حالا اگر دو خط در یک صفحه رسم کنیم، تنها سه اتفاق ممکن است: هم را در یک نقطه قطع کنند، موازی باشند و هرگز به هم نرسند، یا روی هم بیفتند. همین تصویر ساده، تمام داستان دستگاه دو معادله دو مجهول را تعریف می‌کند: هر روش جبری که برای حل به کار می‌بریم، در واقع راهی دقیق برای پیدا کردن همان نقطه‌ی برخورد است.

پیش‌نیازها

  • حل معادله خطی یک‌مجهولی
  • رسم خط در صفحه‌ی مختصات و مفهوم شیب

تعریف دقیق

تعریف رسمی: دستگاه دو معادله‌ی خطی دو مجهول به شکل زیر است:

$$ \begin{cases} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{cases} $$

که در هر معادله دست‌کم یکی از ضرایب \( x \) و \( y \) ناصفر است. زوج مرتب \( (x_0,y_0) \) جواب دستگاه است اگر در هر دو معادله صدق کند.

تعریف شهودی: هر معادله مجموعه‌ی بی‌شماری از نقاط (یک خط) را توصیف می‌کند؛ دستگاه می‌پرسد کدام نقطه‌ها روی هر دو خط‌اند.

مفاهیم اصلی

  • دستگاه سازگار: دست‌کم یک جواب دارد. اگر جوابش یکتا باشد مستقل و اگر بی‌شمار باشد وابسته نامیده می‌شود.
  • دستگاه ناسازگار: هیچ جوابی ندارد.
  • دترمینان ضرایب: عدد \( D=ab'-a'b \) که تعیین می‌کند آیا جواب یکتا وجود دارد یا نه.

قضیه‌ی تعداد جواب‌ها

صورت قضیه: برای دستگاه بالا (با فرض ناصفر بودن ضرایب در مخرج نسبت‌ها):

شرطوضعیت خطوطتعداد جواب
\( \dfrac{a}{a'} \neq \dfrac{b}{b'} \)متقاطعیک جواب
\( \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'} \neq \dfrac{c}{c'} \)موازیبدون جواب
\( \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'} \)منطبقبی‌شمار جواب

شکل بدون کسر شرط اول، که وقتی ضریبی صفر است هم معتبر است: جواب یکتا \( \Longleftrightarrow ab'-a'b \neq 0 \).

ایده‌ی اثبات: با حذف \( y \) (ضرب معادله‌ی اول در \( b' \) و دومی در \( b \) و تفریق) به \( (ab'-a'b)x=cb'-c'b \) می‌رسیم. اگر \( ab'-a'b \neq 0 \)، \( x \) یکتا به دست می‌آید و سپس \( y \). اگر \( ab'-a'b=0 \)، شیب دو خط برابر است؛ آن‌گاه یا معادله‌ها مضرب هم‌اند (منطبق) یا نه (موازی).

فرمول کلی جواب

اگر \( D=ab'-a'b \neq 0 \):

$$ x=\frac{cb'-c'b}{ab'-a'b},\qquad y=\frac{ac'-a'c}{ab'-a'b} $$

این همان قاعده‌ی کرامر برای دستگاه \( 2 \times 2 \) است. برای حل دستی معمولاً روش حذفی یا جانشینی سریع‌تر است، اما این فرمول برای دستگاه‌های پارامتری بسیار مفید است.

روش‌های حل

  • نموداری: رسم هر دو خط و خواندن نقطه‌ی برخورد؛ مناسب برای درک، نه برای دقت.
  • جانشینی: یک مجهول را از یک معادله به دست آورید و در دیگری بگذارید.
  • حذفی: با ضرب و جمع معادله‌ها یکی از مجهول‌ها را حذف کنید.
  • کرامر: فرمول بالا.

مثال‌های حل‌شده

مثال ۱: حل نموداری

دستگاه \( x+y=5 \) و \( x-y=1 \) را حل کنید.

خط اول از \( (0,5) \) و \( (5,0) \) می‌گذرد و خط دوم از \( (0,-1) \) و \( (1,0) \). با رسم، دو خط در \( (3,2) \) یکدیگر را قطع می‌کنند. بررسی: \( 3+2=5 \) و \( 3-2=1 \) ✓. (از فرمول کلی: \( D=1\cdot(-1)-1\cdot 1=-2 \)، \( x=\frac{5\cdot(-1)-1\cdot 1}{-2}=3 \)، \( y=\frac{1\cdot 1-1\cdot 5}{-2}=2 \).)

مثال ۲: دستگاه بدون جواب

دستگاه \( 2x-4y=6 \) و \( -x+2y=3 \) چند جواب دارد؟

$$ \frac{2}{-1}=\frac{-4}{2}=-2,\qquad \frac{6}{3}=2 \neq -2 $$

خطوط موازی‌اند و دستگاه ناسازگار است. به‌طور مستقیم: ضرب معادله‌ی دوم در \( -2 \) می‌دهد \( 2x-4y=-6 \)، که با \( 2x-4y=6 \) تناقض دارد.

مثال ۳: بی‌شمار جواب

دستگاه \( 3x+6y=9 \) و \( x+2y=3 \) را حل کنید.

معادله‌ی اول سه برابر دومی است؛ پس هر دو یک خط‌اند. جواب‌ها همه‌ی نقاط این خط‌اند. با قرار دادن \( y=t \) (عدد دلخواه): \( x=3-2t \)، یعنی مجموعه جواب \( \{(3-2t,\,t) : t \in \mathbb{R}\} \).

مثال ۴: دستگاه پارامتری

به‌ازای چه مقادیری از \( m \) دستگاه \( mx+2y=3 \) و \( 2x+my=4 \) جواب یکتا دارد؟ برای بقیه‌ی مقادیر چه رخ می‌دهد؟

\( D=m\cdot m-2\cdot 2=m^2-4 \). جواب یکتا \( \Longleftrightarrow m \neq \pm 2 \).

  • \( m=2 \): \( 2x+2y=3 \) و \( 2x+2y=4 \)؛ تناقض، بدون جواب.
  • \( m=-2 \): \( -2x+2y=3 \) و \( 2x-2y=4 \)؛ دومی را در \( -1 \) ضرب کنید: \( -2x+2y=-4 \)؛ باز هم بدون جواب.

برای \( m \neq \pm 2 \)، طبق فرمول کلی: \( x=\frac{3m-8}{m^2-4} \) و \( y=\frac{4m-6}{m^2-4} \).

مثال ۵: مسئله‌ی مخلوط

چند لیتر محلول ۲۰٪ و چند لیتر محلول ۵۰٪ را مخلوط کنیم تا ۳۰ لیتر محلول ۴۰٪ به دست آید؟

با \( x \) لیتر از اولی و \( y \) لیتر از دومی:

$$ \begin{cases} x+y=30 \\ 0.2x+0.5y=0.4(30)=12 \end{cases} $$

از اولی \( x=30-y \)؛ جانشینی در دومی: \( 6-0.2y+0.5y=12 \Rightarrow 0.3y=6 \Rightarrow y=20 \) و \( x=10 \). یعنی ۱۰ لیتر از محلول ۲۰٪ و ۲۰ لیتر از محلول ۵۰٪.

مثال ۶ (دشوارتر): دستگاه تبدیل‌پذیر به خطی

دستگاه زیر را حل کنید:

$$ \begin{cases} \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=7 \\[2mm] \dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{y}=7 \end{cases} $$

این دستگاه بر حسب \( x \) و \( y \) خطی نیست، اما با تغییر متغیر \( u=\frac{1}{x} \) و \( v=\frac{1}{y} \) خطی می‌شود: \( 2u+3v=7 \) و \( 4u-v=7 \). از دومی \( v=4u-7 \)؛ در اولی: \( 2u+12u-21=7 \Rightarrow u=2 \) و \( v=1 \). پس \( x=\frac{1}{2} \) و \( y=1 \).

کاربردها

  • مسائل قیمت، مخلوط، سرعت (حرکت در جهت جریان آب و خلاف آن) و سن.
  • نقطه‌ی تعادل بازار: برخورد خط عرضه و خط تقاضا.
  • نقطه‌ی سربه‌سر: جایی که خط هزینه و خط درآمد به هم می‌رسند.
  • هندسه‌ی تحلیلی: محل برخورد دو خط، مثلاً در یافتن مرکز ثقل یا محل برخورد ارتفاع‌ها.

اشتباهات رایج

  • اکتفا به حل نموداری وقتی جواب کسری است؛ نمودار فقط تقریب می‌دهد.
  • اشتباه گرفتن دستگاه ناسازگار با دستگاهی که «جوابش صفر است».
  • در حالت بی‌شمار جواب، گزارش یک نقطه‌ی خاص به‌جای کل مجموعه جواب.
  • استفاده از نسبت‌ها وقتی یکی از ضرایب صفر است (تقسیم بر صفر)؛ در این حالت از \( ab'-a'b \) استفاده کنید.

نکات مهم

  • شیب خط \( ax+by=c \) برابر \( -\frac{a}{b} \) است؛ برابری نسبت \( \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'} \) همان برابری شیب‌هاست.
  • در دستگاه پارامتری، اول \( D \) را بررسی کنید؛ مقادیری که \( D \) را صفر می‌کنند جداگانه بررسی می‌شوند.
  • همیشه جواب را در هر دو معادله‌ی اصلی امتحان کنید.

جمع‌بندی

دستگاه دو معادله دو مجهول خطی، مسئله‌ی برخورد دو خط است. اگر \( ab'-a'b \neq 0 \) خطوط متقاطع‌اند و جواب یکتاست؛ در غیر این صورت خطوط موازی (ناسازگار) یا منطبق (بی‌شمار جواب) هستند و مقایسه‌ی نسبت \( \frac{c}{c'} \) تکلیف را روشن می‌کند. حل عملی با روش حذفی یا جانشینی انجام می‌شود و فرمول کلی جواب، برای تحلیل دستگاه‌های پارامتری ابزاری قدرتمند است.

موضوعات مرتبط

منابع

  • OpenStax، Intermediate Algebra 2e — 4.1 Solve Systems of Linear Equations with Two Variables. حل نموداری، تشخیص دستگاه سازگار و ناسازگار، مستقل و وابسته.
    مشاهده منبع
    تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
  • OpenStax، College Algebra 2e — 7.1 Systems of Linear Equations: Two Variables. روش‌های نموداری، جانشینی و حذف و مسائل کاربردی.
    مشاهده منبع
    تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
کد مطلب 16798

مطالب مرتبط

نظرات (۰)

هنوز نظری ثبت نشده است. اولین نفر باشید!

نوشتن نظر

دستگاه دو معادله دو مجهول؛ روش نموداری، تشخیص تعداد جواب با نسبت ضرایب و مثال‌های حل‌شده — https://rayeshmand.ir/article/two-variable-linear-systems

دسته بندی مقالات