مدیر ارشد رایشمند چهارشنبه ۱۳ آبان ۱۴۰۵ ۷ دقیقه مطالعه دسته‌ها: ریاضی جبر

نامعادله درجه دوم چیست؟ تعیین علامت سه‌جمله‌ای، نقش ممیز و مثال‌های حل‌شده

مقدمه

توپی را از سطح زمین با سرعت ۲۰ متر بر ثانیه رو به بالا پرتاب می‌کنیم. ارتفاع آن پس از $ t $ ثانیه تقریباً $ h=20t-5t^2 $ متر است. توپ در چه بازه‌ی زمانی بالاتر از ۱۵ متر است؟ پاسخ، جواب نامعادله‌ی $ 20t-5t^2 > 15 $ است؛ یک نامعادله‌ی درجه دوم. برخلاف نامعادله‌ی خطی، این‌جا جابه‌جاکردن جمله‌ها به‌تنهایی کار را تمام نمی‌کند و به ابزار تازه‌ای به نام تعیین علامت نیاز داریم.

پیش‌نیازها

حل معادله درجه دوم و محاسبه‌ی ممیز $ \Delta=b^2-4ac $
حل نامعادله خطی و نمایش جواب با بازه
شکل کلی نمودار سهمی $ y=ax^2+bx+c $

تعریف دقیق

تعریف رسمی: نامعادله‌ی درجه دوم نامعادله‌ای است که بتوان آن را به شکل استاندارد زیر نوشت:

$$ ax^2+bx+c > 0 \quad (\text{یا } < 0,\ \geq 0,\ \leq 0),\qquad a \neq 0 $$

تعریف شهودی: نمودار $ y=ax^2+bx+c $ یک سهمی است. حل $ ax^2+bx+c > 0 $ یعنی پیدا کردن $ x $هایی که سهمی در آن‌ها بالای محور $ x $ است، و حل $ ax^2+bx+c < 0 $ یعنی جاهایی که سهمی زیر محور است. ریشه‌های معادله‌ی $ ax^2+bx+c=0 $ همان نقاط برخورد سهمی با محورند و مرز این ناحیه‌ها را می‌سازند.

مفاهیم اصلی

شکل استاندارد: پیش از هر کاری همه‌ی جمله‌ها را به یک طرف می‌بریم تا طرف دیگر صفر شود.
ریشه‌ها (نقاط مرزی): جواب‌های معادله‌ی متناظر؛ تنها جاهایی که عبارت می‌تواند تغییر علامت دهد.
علامت $ a $: جهت دهانه‌ی سهمی را تعیین می‌کند؛ $ a > 0 $ رو به بالا و $ a < 0 $ رو به پایین.
ممیز: تعداد نقاط برخورد سهمی با محور را مشخص می‌کند.

قضیه‌ی تعیین علامت سه‌جمله‌ای درجه دوم

صورت قضیه: فرض کنید $ P(x)=ax^2+bx+c $ و $ \Delta=b^2-4ac $.

اگر $ \Delta > 0 $ و ریشه‌ها $ x_1 < x_2 $ باشند: $ P(x) $ در بیرون ریشه‌ها ($ x < x_1 $ یا $ x > x_2 $) هم‌علامت $ a $ و بین ریشه‌ها ($ x_1 < x < x_2 $) مخالف علامت $ a $ است.
اگر $ \Delta=0 $ و ریشه‌ی مضاعف $ x_0=-\frac{b}{2a} $ باشد: $ P(x) $ برای همه‌ی $ x \neq x_0 $ هم‌علامت $ a $ است و در $ x_0 $ صفر می‌شود.
اگر $ \Delta < 0 $: $ P(x) $ برای همه‌ی اعداد حقیقی هم‌علامت $ a $ است.

ایده‌ی اثبات: در حالت $ \Delta > 0 $ داریم $ P(x)=a(x-x_1)(x-x_2) $. اگر $ x $ بین دو ریشه باشد، $ x-x_1 > 0 $ و $ x-x_2 < 0 $، پس حاصل‌ضرب این دو منفی است و $ P(x) $ مخالف علامت $ a $ می‌شود؛ بیرون ریشه‌ها دو عامل هم‌علامت‌اند، حاصل‌ضربشان مثبت است و $ P(x) $ هم‌علامت $ a $. در حالت $ \Delta \leq 0 $ از مربع کامل استفاده می‌کنیم:

$$ P(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right] $$

اگر $ \Delta \leq 0 $، داخل کروشه مجموع یک مربع (نامنفی) و عدد نامنفی $ -\frac{\Delta}{4a^2} $ است، پس نامنفی است و فقط وقتی $ \Delta=0 $ و $ x=x_0 $ صفر می‌شود. بنابراین $ P(x) $ هم‌علامت $ a $ است.

جدول خلاصه برای $ a > 0 $

ممیز	$ P(x) > 0 $	$ P(x) \geq 0 $	$ P(x) < 0 $	$ P(x) \leq 0 $
$ \Delta > 0 $	$ x < x_1 $ یا $ x > x_2 $	$ x \leq x_1 $ یا $ x \geq x_2 $	$ x_1 < x < x_2 $	$ x_1 \leq x \leq x_2 $
$ \Delta=0 $	$ \mathbb{R}-\{x_0\} $	$ \mathbb{R} $	تهی	$ \{x_0\} $
$ \Delta < 0 $	$ \mathbb{R} $	$ \mathbb{R} $	تهی	تهی

برای $ a < 0 $ کافی است دو طرف را در $ -1 $ ضرب کنیم (و جهت را برعکس کنیم) تا به همین جدول برسیم.

روش گام‌به‌گام حل

نامعادله را به شکل استاندارد (یک طرف صفر) درآورید.
ریشه‌های معادله‌ی متناظر را با تجزیه یا فرمول ریشه‌ها پیدا کنید.
جدول تعیین علامت را با قاعده‌ی بالا (یا با امتحان یک عدد از هر بازه) کامل کنید.
بازه‌هایی را که علامتشان با نامعادله می‌خواند انتخاب کنید؛ در $ \leq $ و $ \geq $ ریشه‌ها را هم بیاورید.

مثال‌های حل‌شده

مثال ۱: دو ریشه، بیرون ریشه‌ها

نامعادله‌ی $ x^2-5x+6 \geq 0 $ را حل کنید.

ریشه‌ها از $ (x-2)(x-3)=0 $: $ x=2 $ و $ x=3 $. چون $ a=1 > 0 $، عبارت بیرون ریشه‌ها مثبت است:

$ x $	$ -\infty $		$ 2 $		$ 3 $		$ +\infty $
$ x^2-5x+6 $		$ + $	$ 0 $	$ - $	$ 0 $	$ + $

جواب: $ (-\infty,2] \cup [3,+\infty) $.

مثال ۲: ضریب $ a $ منفی

نامعادله‌ی $ -2x^2+x+3 > 0 $ را حل کنید.

ریشه‌ها: $ -2x^2+x+3=0 \;\Rightarrow\; 2x^2-x-3=0 \;\Rightarrow\; (2x-3)(x+1)=0 $، پس $ x=-1 $ و $ x=\frac{3}{2} $. چون $ a=-2 < 0 $، عبارت بین ریشه‌ها مثبت (مخالف علامت $ a $) است. جواب: $ -1 < x < \frac{3}{2} $.

مثال ۳: ممیز صفر

نامعادله‌های $ x^2-6x+9 > 0 $ و $ x^2-6x+9 \leq 0 $ را حل کنید.

$ x^2-6x+9=(x-3)^2 $ که همیشه نامنفی است و فقط در $ x=3 $ صفر می‌شود. پس جواب اولی $ \mathbb{R}-\{3\} $ و جواب دومی فقط $ \{3\} $ است.

مثال ۴: ممیز منفی

نامعادله‌ی $ x^2+2x+5 \leq 0 $ را حل کنید.

$ \Delta=4-20=-16 < 0 $ و $ a=1 > 0 $، پس عبارت همیشه مثبت است و هرگز کوچک‌تر یا مساوی صفر نمی‌شود. جواب ندارد. (به‌همین ترتیب $ x^2+2x+5 > 0 $ برای همه‌ی $ x $ برقرار است.)

مثال ۵: مسئله‌ی مقدمه

$ 20t-5t^2 > 15 $ را حل کنید.

$$ -5t^2+20t-15 > 0 \;\Rightarrow\; t^2-4t+3 < 0 \;\Rightarrow\; (t-1)(t-3) < 0 $$

(در گام اول بر $ -5 $ تقسیم کردیم و جهت برعکس شد.) عبارت بین ریشه‌ها منفی است، پس $ 1 < t < 3 $: توپ از ثانیه‌ی اول تا ثانیه‌ی سوم بالاتر از ۱۵ متر است.

مثال ۶ (دشوارتر): شرط همیشه مثبت بودن

به‌ازای چه مقادیری از $ m $، عبارت $ x^2+mx+m+3 $ برای همه‌ی $ x $ مثبت است؟

چون $ a=1 > 0 $، طبق قضیه کافی و لازم است $ \Delta < 0 $ باشد:

$$ \Delta=m^2-4(m+3)=m^2-4m-12=(m-6)(m+2) < 0 \;\Rightarrow\; -2 < m < 6 $$

این مسئله نشان می‌دهد که خودِ شرط روی پارامتر هم یک نامعادله‌ی درجه دوم است.

کاربردها

حرکت پرتابی: بازه‌ی زمانی‌ای که جسم از ارتفاع معینی بالاتر است.
اقتصاد: اگر سود تابعی درجه دوم از قیمت باشد، بازه‌ی قیمت‌هایی که سود مثبت می‌دهد.
دامنه‌ی توابع: دامنه‌ی $ \sqrt{x^2-4x} $ جواب $ x^2-4x \geq 0 $ است: $ (-\infty,0] \cup [4,+\infty) $.
معادلات پارامتری: شرط داشتن دو ریشه‌ی حقیقی ($ \Delta > 0 $) اغلب خودش یک نامعادله‌ی درجه دوم بر حسب پارامتر است.

اشتباهات رایج

جذر گرفتن از دو طرف: $ x^2 > 4 \Rightarrow x > 2 $ غلط است؛ جواب کامل $ x < -2 $ یا $ x > 2 $ است (یعنی $ |x| > 2 $).
تقسیم دو طرف بر $ x $: در $ x^2 > 3x $ نمی‌توان بر $ x $ تقسیم کرد چون علامتش معلوم نیست؛ باید نوشت $ x(x-3) > 0 $.
استفاده از قاعده‌ی «بیرون موافق» پیش از درآوردن نامعادله به شکل استاندارد.
فراموش کردن علامت $ a $ و نوشتن جواب حالت $ a > 0 $ برای عبارتی با $ a < 0 $.
وقتی ممیز منفی است، نتیجه‌گیری «جواب ندارد» برای همه‌ی نامعادله‌ها؛ بسته به جهت نامساوی، جواب ممکن است کل $ \mathbb{R} $ باشد.

نکات مهم

برای راحتی، اگر $ a < 0 $ است، اول دو طرف را در $ -1 $ ضرب کنید و جهت را برعکس کنید.
شرط «$ ax^2+bx+c > 0 $ برای همه‌ی $ x $» معادل است با $ a > 0 $ و $ \Delta < 0 $؛ و شرط «همیشه منفی» با $ a < 0 $ و $ \Delta < 0 $.
جواب نامعادله‌ی «کوچک‌تر از صفر» با $ a > 0 $ همیشه یک بازه‌ی کران‌دار (یا تهی) است و جواب «بزرگ‌تر از صفر» اجتماع دو نیم‌خط (یا تمام $ \mathbb{R} $).

جمع‌بندی

نامعادله‌ی درجه دوم با یک ایده حل می‌شود: پس از رساندن آن به شکل استاندارد، علامت سه‌جمله‌ای را تعیین کنید. با دو ریشه، بیرون ریشه‌ها موافق و بین ریشه‌ها مخالف علامت $ a $ است؛ با ممیز صفر یا منفی، عبارت (جز احتمالاً در یک نقطه) همیشه هم‌علامت $ a $ است. تصویر سهمی بالای یا پایین محور، این قاعده‌ها را به‌خاطرسپردنی می‌کند.

موضوعات مرتبط

منابع

OpenStax، Intermediate Algebra 2e — 9.8 Solve Quadratic Inequalities. روش نموداری و جبری، اعداد مرزی و حالت ممیز منفی که عبارت همیشه مثبت یا همیشه منفی است.
مشاهده منبع
تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵
Mathematics LibreTexts، Solving Polynomial and Rational Inequalities. روش جدول علامت و نقاط بحرانی که نامعادله‌ی درجه دوم حالت خاص آن است.
مشاهده منبع
تاریخ بررسی: ۱۲ آبان ۱۴۰۵

نظرات (۰)

هنوز نظری ثبت نشده است. اولین نفر باشید!

نوشتن نظر

نام * ایمیلبه دیگران نمایش داده نمی‌شود.

نظر * سؤال امنیتی: ۳ + ۲ = ?

نامعادله درجه دوم چیست؟ تعیین علامت سه‌جمله‌ای، نقش ممیز و مثال‌های حل‌شده — https://rayeshmand.ir/article/quadratic-inequality

ممیز	\( P(x) > 0 \)	\( P(x) \geq 0 \)	\( P(x) < 0 \)	\( P(x) \leq 0 \)
\( \Delta > 0 \)	\( x < x_1 \) یا \( x > x_2 \)	\( x \leq x_1 \) یا \( x \geq x_2 \)	\( x_1 < x < x_2 \)	\( x_1 \leq x \leq x_2 \)
\( \Delta=0 \)	\( \mathbb{R}-\{x_0\} \)	\( \mathbb{R} \)	تهی	\( \{x_0\} \)
\( \Delta < 0 \)	\( \mathbb{R} \)	\( \mathbb{R} \)	تهی	تهی

\( x \)	\( -\infty \)		\( 2 \)		\( 3 \)		\( +\infty \)
\( x^2-5x+6 \)		\( + \)	\( 0 \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)