در این صفحه گروه آموزش را ملاحظه می نمایید. برای مشاهده کلیه مطالب سایت اعم از آموزش ریاضی، اخبار ریاضی، نمونه سوال ریاضی، فرمول های ریاضی، مشاهیر و دانشمندان، رشته های تحصیلی و مطالب دیگر می توانید از لینک زیر استفاده کنید

در صفحه جزئیات مطلب که با کلیک روی لینک زیر راهی آن می شوید می توانید از گروه بندی که در سمت چپ وجود دارد برای دسترسی به کلیه مطالب سایت استفاده کنید

تمام مطالب

جدیدترین آموزش ها

RSS

آموزش

مدیر ارشد سایت

جلسه اول جبر سه

تعاریف و مثال های اولیه از مدول ها

*در سرتاسر این بخش R یک حلقه جابجایی در نظر گرفته می شود*

نظریه مدول ها

تعریف: فرض کنیم M یک گروه جمعی آبلی باشد و R حلقه ای جابجایی باشد در این صورت M را یک R-مدول می نامیم هر گاه یک ضرب اسکالر از عناصر M بصورت زیر تعریف شده باشد. 

\(.:R\times M \to M \\(r,m)=r.m\)

به طوری که به ازای هر \(r,r_1,r_2 \in R\) و \(m,m_1,m_2 \in M\) داشته باشیم:

  1. \(r(m_1+m_2)=rm_1+rm_2\)
  2. \((r_1+r_2)m=r_1m+r_2m\)
  3. \((r_1r_2)m=r_1(r_2m)\)

و اگر R یکدار باشد و \(1_R.m=m\) آن گاه M را یک R-مدول یکانی می نامیم.

نکته: اگر R یک حلقه تقسیم باشد (مخصوصا یک میدان باشد) آنگاه M را یک فضای برداری روی R می نامیم. (میدان لزوما جابجایی است و هر عضو آن وارون ضربی دارد ولی حلقه تقسیم لزوما جابجایی نیست)

مثال: \(\mathbb{R}\) یک \(\mathbb{R}\)-مدول است.

حل: ضرب اسکالر زیر را در نظر می گیریم

\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ r.s=rs\)

چون در حالت کلی هر حلقه یک گروه جمعی آبلی است لذا شرط اول برقرار است و برقراری خواص دیگر نیز براحتی نتیجه می شوند پس 

\(\mathbb{R}\) یک \(\mathbb{R}\)-مدول است.
یادآوری: 
\(I\trianglelefteq R \iff \left\{ \begin{array}{l \|l} I \ne \varnothing\\ \forall a,b \in I ; a-b\in I \\ \forall a\in I , r \in R; ra\in I \end{array} \right.\)
مثال: فرض کنید \(I\) ایده آلی از R باشد در این صورت با ضرب اسکالر
 \(R\times {R\over I} \to {R\over I}\\ r(s+I)=rs+I\)
اولا \({R\over I}\) یک گروه جمعی آبلی است. 
دوما خوش تعریف است زیرا: 
\((r,s+I)=(r^\prime,s^\prime+I) \implies \left\{ \begin{array}{l l} r=r^\prime\\ s+I = s^\prime +I \to s-s^\prime\in I \end{array} \right. \\ \implies r(s-s^\prime)\in I \implies rs-rs^\prime\in I \to rs-r^\prime s^\prime \in I\\ \implies rs+I=r^\prime s^\prime +I\)
\({R\over I}\) یک R-مدول است زیرا 
  1. \(r[(s+I)+(s ^\prime +I)]=r[s+s^\prime+I]=r(s+s ^\prime)+I\\=rs+rs^\prime+I=rs+I+rs^\prime+I=r(s+I)+r(s^\prime+I)\)
  2. \((r+r^\prime)(s+I)=r(s+I)+r^\prime (s+I)\)
  3. \((rr^\prime)(s+I)=r(r^\prime(s+I))\)

ملاحظه: اگر v یک فضای برداری روی F باشد در این صورت 

\(\text{if} \ \ c\in f , \alpha \in v , c\alpha =0 \to c=0 \quad \text{or} \quad \alpha=0\)

زیرا اگر \(c\ne 0\) داریم: 

\(c\alpha=0 \implies c^{-1}(c\alpha)=(c^{-1}c)\alpha=0 \implies \alpha =0\)

و اگر \(\alpha \ne0\) داریم:

\(c\alpha=0 \implies c(\alpha \alpha^{-1})=0 \implies c =0\)

اما این موضوع در مدول ها ممکن است برقرار نباشد. 

بعنوان مثال میدانیم \(6 \mathbb{Z}\) ایده آلی از \(\mathbb{Z}\) است پس بنابر مثال قبل \(\mathbb{Z} \over 6\mathbb{Z}\) یک \(\mathbb{Z}\) مدول است ( پس هر \(\mathbb{Z}_n\) یک \(\mathbb{Z}\)-مدول است) داریم: 

\(0 \ne 2 \in \mathbb{Z} \quad 0 \ne3+6\mathbb{Z} \in {\mathbb{Z} \over 6\mathbb{Z}} \\ 2.(3+6\mathbb{Z})=2 \times 3+6\mathbb{Z}=6+6\mathbb{Z}=0\)

تعریف: فرض کنید R و S حلقه های جابجایی باشند در این صورت S را یک R-جبر می نامیم هر گاه یک همریختی حلقه ای مانند \(f:R\to S\) وجود داشته باشد. 

نکته: \(a+H =0 \iff a\in H \quad , \quad 0_{R\over I}=I\)

مثال: اگر S یک R-جبر باشد آنگاه می توان S را به عنوان یک R-مدول در نظر گرفت

حل: چون S یک R-جبر است لذا یک همریختی حلقه ای مانند \(f:R\to S\) موجود است ضرب اسکالر زیر را در نظر می گیریم:

\(.:R\times S \to S \\ r.s =f(r).s\)

چون S حلقه است لذا گروه جمعی آبلی است. داریم 

\(\forall r,r_1,r_2 \in R \quad , s,s_1, s_2 \in S\\ 1) \ r(s_1+s_2)=f(r). (s_1+s_2)=f(r). s_1+f(r). s_2=rs_1+rs_2\\ 2) \ (r_1+r_2)s=f(r_1+r_2) s \stackrel{\text{Hom}}{=} (f(r_1)+f(r_2)) s= f(r_1)s+f(r_2)s\\ r_1s+r_2s\\ 3) \ (r_1r_2)s=f(r_1r_2)s \stackrel{\text{Hom}}{=} (f(r_1)f(r_2)) s= f(r_1)(f(r_2)s)\\ r_1(f(r_2)s)=r_1(r_2s)\\\)

همچنین اگر R یکدار باشد داریم 

\(1_R\times S=f(1_R).s=1_R.s=s\)

چرا که اگر f یک همریختی باشد آنگاه \(f(c)=c\)

پس S یک R-مدول یکانی است.

مطلب قبلی آشنایی با منشا X که احتمالا شما نمی دانید
مطلب بعدی نظریه طبقه بندی سیستم های هامیلتونی
چاپ
4116 رتبه بندی این مطلب:
4/8

مدیر ارشد سایتمدیر ارشد سایت

سایر نوشته ها توسط مدیر ارشد سایت

نوشتن یک نظر

نام:
ایمیل:
نظر:
افزودن نظر