104 مسئله ی تئوری اعداد

104 Number Theory Problems

این کتاب شامل 104 تا از بهترین مسائلی است که در تمرین و سنجش تیم المپیاد ریاضی بین المللی (IMO) ایالات متحده استفاده شده است. این مسائل صرفا مجموعه ای از سوالات خیلی مشکل نیستند بلکه به تدریج تکنیک ها و مهارت های دانش آموزان در تئوری اعداد را می سازند. بخش اول معرفی جامعی از تئوری اعداد و ساختارهای ریاضی آن ارائه می کند. از این بخش می توان به عنوان جزوه درسی برای دوره های کوتاه تئوری اعداد استفاده کرد. این کتاب به بهبود دید ریاضی دانش آموزان و آمادگی بهتر آنان برای شرکت در مسابقات مختلف ریاضی کمک می کند. علاوه بر آن با افزایش توانایی های دانش آموزان در حل مسائل، سبب غنای آنان در شاخه های مهم تئوری اعداد می شود. این کتاب علاقه ی دانش آموزان را برای مطالعه ی بیشتر در ریاضیات برمی انگیزد. 

در ایالات متحده امریکا، فرایند انتخاب شرکت کنندگان در مسابقات جهانی المپیاد ریاضی (IMO) شامل چند مسابقه ملی است که مسابقه ی ریاضی امریکا ویژه دانش آموزان سال دهم (AMC10)، مسابقه ی ریاضی امریکا ویژه دانش آموزان سال دوازدهم (AMC12)، آزمون انتخابی ریاضی امریکا (AIME) و المپیاد ریاضی ایالات متحده امریکا (USAMO) نامیده می شود. شرکت در آزمون های AIME و USAMO با دعوت نامه و بر مبنای عملکرد در آزمون های قبلی می باشد. برنامه ی تابیستانی المپیاد ریاضی (MOSP) یک برنامه تمرینی فشرده به مدت چهار هفته است که تقریبا برای 50 دانش آموزی که به صدر رقابت های ریاضی امریکا رسیده اند برگزار می شود. شش دانش آموزی که به نمایندگی از امریکا در IMO شرکت می کند بر مبنای نمراتشان در USAMO و آزمون هایی که در طول MOSP برگزار شده است، انتخاب می شوند. در طول MOSP کلاس ها و مجموعه ی سوالاتی که به دانش آموزان داده می شود برای آمادگی کامل آن ها در چند شاخه مهم از ریاضیات است. این موضوعات شامل استدلال های ترکیباتی، توابع مولد، نظریه گراف، روابط بازگشتی، مجموع ها و حاصل ضرب ها، احتمالات، تئوری اعداد، چند جمله ای ها، معادلات تابعی، اعداد مختلط در هندسه، اثبات های الگوریتمی، هندسه پیشرفته و ترکیباتی و نامساوی های کلاسیک می باشد. 

آزمون هایی مانند آزمون المپیاد شامل چندین مساله چالش برانگیز هستند. پاسخ صحیح اغلب نیاز به تحلیل عمیق و استدلال دقیق داد. سوالات المپیاد ممکن است برای افراد مبتدی غیرقابل نفوذ به نظر برسد اما اکثر آن ها را می توان با روش های ریاضی دبیرستان حل کرد. 

در این جا چند پیشنهاد برای دانش آموزانی که برای حل مسائل تلاش می کنند. ارائه می کنیم:

1. نگران زمان نباشید! افزاد بسیار محدودی می توانند همه ی مسائل را حل کنند. 
2. سعی کنید بین مسائل ارتباط برقرار کنید. یک نکته مهم برای این کار این است که به همه روش ها و ایده های مهم که در کتاب مطرح شده ا ند بیش از یک بار اشاره شده است.
3. مسائل المپیاد به سرعت شکست نمی خورند. صبور باشیسد. روش های مختلف را امتحان کنید. آزمایش با حالت های ساده و در برخی، بازگشت به عقب از حکم مورد نظر، می تواند مفید باشد.
4. حتی اگر توانستید یک مسائله را حل کنید، پاسخ خود را دوباره بخوانید. ممکن است نکاتی را درباه حل تان فراموش کرده باشید که روش ها و تاکتیک هایی که در جای دیگر استفاده کرده اید توجیه می کنند. وقتی پاسخ را می خوانید سعی کنید تفکری که منجر به آن شده است را بازسازی کنید. از خودتان بپرسید «ایده ی کلیدی چه بوده است؟ چگونه می توان این ایده ها را فراتر از این به کار برد؟»
5. بعدا به مساله ی اصلی برگردید و ببینید آیا می توانید آن را از روش دیگری حل کنید. اکثر مسائل چندین راه حل دارند اما همه ی آن ها اینجا مطرح نمی شوند.
6. افزایش توانایی در حل مسائل نیاز به تمرین دارد. اگر در ابتدا دچار مشل شددی مایوس و دل سرد نشوید. برای تمرین بیشتر از کتاب هایی که در انتها فهرست شده اند استفاده کنید

فهرست این کتاب مفید شامل مباحث زیر است: 

1. اصول تئوری اعداد
2. بخش پذیری
3. الگوریتم تقسیم
4. اعداد اول
5. قضیه بنیادی حساب
6. بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک
7. اگلوریتم اقلیدس
8. قضیه بزو
9. کوچک ترین مضرب مشترک
10. تعداد مقسوم علیه ها
11. مجموع مقسوم علیه ها
12. حساب پیمانه ای (همنهشتی)
13. دستگاه مانده ها
14. قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر
15. تابع \(\phi\) اویلر
16. تابع ضربی 
17. معادلات دیوفانتین خطی
18. دیتگاه های عددی
19. شرایط بخش پذیری در دستگاه های دهدهی
20. تابع جزء صحیح (تابع کف)
21. تابع لژاندر
22. اعداد فرما
23. اعداد مرسن
24. اعداد تام (کامل)
25. مسائله مقدماتی
26. مسائل پیشرفته
27. پاسخ مسائل مقدماتی
28. پاسخ مسائل پیشرفته
29. تعاریف و قضایا
30. منابعی برای مطالعه بیشتر
31. واژه نامه