دنباله هندسی

حسابان

\(a_n=aq^{n-1}\)

مثال: دنباله\(2,1,{1\over 2}, \dots\)چند جمله بزرگتر از \(10^{-3}\) دارد؟
حل: چون 2 =a و \(q=1/2\) پس \(a_n=2(1/2)^{n-1}\) كه طبق فرض بايد \(2(1/2)^{n-1}>10^{-3}\) باشد بنابراين:

\(2 \times(1/2)^n(1/2)^{-1}>{1 \over 1000} \Rightarrow(1/2)^n>{1 \over 4000}\Rightarrow2^n<4000 \Rightarrow n<12\)

درنتيجه يازده جمله بزرگتر از \(10^{-3}\) دارد.

اگر a_n و a_mدو جمله غیر صفر از یک دنباله هندسی باشد آنگاه \({a_m \over a_n}=q^{m-n}\)

اگر a_lو a_{p و}a_nو a_m چهار جمله از يك دنباله هندسي و m + n = p + l آنگاه a_ma_n = a_pa_l.
در هر دنباله هندسي متناهي حاصل ضرب هر دو جمله متساوي الفاصله از طرفين باهم برابر است.
اگر در يك دنباله هندسي متناهي تعداد جملات فرد باشد حاصل ضرب همه جملات آن برابر است با مقدار جمله وسط به توان تعداد آن ها.
مثال: اگر در يك دنباله هندسي 12 = a₂ و 96 = a₅ باشد a₇ را بيابيد.
حل:

\({a_5 \over a_3}=q^3 \Rightarrow {96 \over 12}=q^3 \Rightarrow q=2 \\ {a_7 \over a_3}=q^3 \Rightarrow a_7={96 \times 4} \Rightarrow a_7=384\)

مثال: در يك دنباله هندسي داريم 1 = a₅ حاصلضرب جملات اول تا نهم آن را بيابيد.

حل:a₁ a₂ ....a₉ = (a₅)⁹= 1⁹= 1
مجموعn جمله اول دنباله هندسي برابر است با:

\(S(n) = \left\{ \begin{array}{l l} {a(1-q^n) \over 1-q} & \quad q\neq\\ na & \quad q=1 \end{array} \right.\)

مثال: در يك دنباله هندسي داريم S₆=63 , S₃=7، جمله ششم چند برابر جمله دوم است.

حل:

\({s_6 \over s_3}={63 \over 7}\Rightarrow {{a(1-q^6) \over 1-q} \over{a(1-q^3) \over 1-q}}=9 \Rightarrow {a(1-q^6) \over a(1-q^3)}=9 \Rightarrow(1-q^3)=9 \Rightarrow q=2\)

در نتيجه:

\({a_6 \over a_2}=q^4 \rightarrow{a_6 \over a_2}=16\)

مثال: حداكثر چند جمله ابتداي دنباله \(1,{1 \over 3}, {1 \over 9}, \dots\) را جمع كنيم تا حاصل كمتر از 1/497شود.

حل: چون 1 =a و \(q=1/3\) و مي خواهيم S_n<1/497 باشد پس داریم:

\({-({1 \over 3})^n \over {1 \over 3}}<1.497 \Rightarrow {3 \over 2}(1-({1 \over 3})^n)<{499 \over 500}\rightarrow({1 \over 3})^n>{1 \over 500}\Rightarrow 3^n<500 \Rightarrow n<6\)

پس مي توان حداكثر 5 جمله آن را باهم جمع نمود.

™ اگر در يك دنباله هندسي نامتناهي، \(|q|<1\) باشد مجموع همه جملات آن برابر است
با:

\(S={a \over 1-q}\)

مثال: مجموع همه جملات دنباله \(1,-{1 \over 4},{1 \over 16},-{1 \over 64}, \dots\) را بيابيد.
حل:

\(a=1 , 1=-1/4, |q|<1 \Rightarrow S={1 \over 1-(-1/4)}={1 \over {5 \over 4}}={4 \over 5}\)

مثال: در يك دنباله هندسي نامتناهي جمله اول برابر با مجموع ساير جملات آن مي باشد نسبت جمله پنجم به جمله اول اين دنباله را بيابيد.

حل: اگر جمله اول a و قدر نسبت q باشد داريم:

\(a={aq \over 1-q}\Rightarrow1={q \over 1-q}\Rightarrow q=1/2 \Rightarrow {a_5 \over a_1}=q^4= {1 \over 16}\)

لطفا نظرات خود را در مورد این آموزش برای ما و دوستانتان ارسال کنید