از تعریف می دانیم که:

\(M_3=\frac{\sum (x_i-‎\bar{x})^3}{n}‎‎\\ ‎m_1=‎\frac{\sum ‎x_i}{n}‎‎\\ ‎‎‎m_2=\frac{\sum ‎x_i^2}{n}\\ ‎‎‎m_3=\frac{\sum ‎x_i^3}{n}\)

با توجه به اینکه

\((x_i-‎\bar{x})^3=x_i^3‎-‎3x_i^2\bar{x}‎+‎3x_i\bar{x}^2‎-‎\bar{x}^3\)

از تعریف \(‎M_3\) 

\(M_3=\frac{\sum x_i^3}{n}-3\frac{\sum x_i^2 \bar{x}}{n}+3\frac{\sum x_i \bar{x}^2}{n}-\frac{\sum ‎\bar{x}^3}{n}\)

عبارت اول، یعنی ‎ \(\frac{\sum ‎x_i^3}{n}\)‎ ‎‎‎ مساوی است با ‎‎ ‎\(m_3\)‎ ‎

در عبارت دوم ‎\(3\frac{\sum x_i^2 ‎\bar{x}}{n}=‎‎ ‎\frac{3\bar{x}‎\sum x_i^2}{n}\)‎‎‎ ‎‎‎ کافیست به جای

‎\( ‎\bar{x}=m_1‎‎‎ ‎ \)و به دست می آید

\(3\frac{\sum x_i^2 ‎\bar{x}}{n}=‎‎ ‎\frac{3\bar{x}‎\sum ‎x_i^2}{n}=3‎\frac{\sum ‎x_i}{n}‎\frac{‎\sum ‎x_i^2}{n}=3m_1m_2\)

دقت کنید که در اینجا ‎ \(‎\bar{x‎}‎‎\) ‎‎‎ همانند یک ضریب عمل می کند و می تواند از سیگما بیرون بیاید.

در عبارت سوم به جای ‎ \(‎\frac{\sum ‎x_i}{n}‎\) ‎‎ قرار می دهیم ‎ \(‎\bar{x}‎\)  و لذا خواهیم داشت:

\(3\frac{\sum x_i ‎\bar{x}^2}{n}=3(\bar{x})\bar{x}^2=3\bar{x}^3\)

عبارت چهارم یعنی \( \frac{\sum ‎\bar{x}^3}{n}\)‎ ‎‎‎ مساوی است با \(‎ ‎\dfrac{n‎\bar{x}^3‎‎‎ ‎}{n}=‎\bar{x}^3\)‎‎‎ ‎ ‎‎

در اینجا عبارت  ‎\(\Sigma‎ ‎\bar{x}^3=n\bar{x}^3‎‎‎‎ \)‎، زیرا یک عدد ثابت ‎ ‎n‎ ‎‎‎ بار جمع بسته می شود.

دو عبارت سوم و چهارم ‎ \(3\frac{\sum x_i \bar{x}^2}{n}-\frac{\sum ‎\bar{x}^3}{n}=3‎\bar{x}^3-\bar{x}^3=2\bar{x}^3=‎2m_1^3\)‎‎ ‎‎‎ را به دست می دهد.

 لذا نتیجه می شود که :

\(M_3=m_3-3m_1m_2+‎2m_1^3\)