جلسه اول جبر سه

تعاریف و مثال های اولیه از مدول ها

*در سرتاسر این بخش R یک حلقه جابجایی در نظر گرفته می شود*

نظریه مدول ها

تعریف: فرض کنیم M یک گروه جمعی آبلی باشد و R حلقه ای جابجایی باشد در این صورت M را یک R-مدول می نامیم هر گاه یک ضرب اسکالر از عناصر M بصورت زیر تعریف شده باشد. 

$.:R\times M \to M \\(r,m)=r.m$

به طوری که به ازای هر $r,r_1,r_2 \in R$ و $m,m_1,m_2 \in M$ داشته باشیم:

1. $r(m_1+m_2)=rm_1+rm_2$
2. $(r_1+r_2)m=r_1m+r_2m$
3. $(r_1r_2)m=r_1(r_2m)$

   و اگر R یکدار باشد و $1_R.m=m$ آن گاه M را یک R-مدول یکانی می نامیم.

   نکته: اگر R یک حلقه تقسیم باشد (مخصوصا یک میدان باشد) آنگاه M را یک فضای برداری روی R می نامیم. (میدان لزوما جابجایی است و هر عضو آن وارون ضربی دارد ولی حلقه تقسیم لزوما جابجایی نیست)

   مثال: $\mathbb{R}$ یک $\mathbb{R}$-مدول است.

   حل: ضرب اسکالر زیر را در نظر می گیریم

   $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ r.s=rs$

   چون در حالت کلی هر حلقه یک گروه جمعی آبلی است لذا شرط اول برقرار است و برقراری خواص دیگر نیز براحتی نتیجه می شوند پس 

   $\mathbb{R}$ یک $\mathbb{R}$-مدول است.
   یادآوری: 
   $I\trianglelefteq R \iff \left\{ \begin{array}{l \|l} I \ne \varnothing\\ \forall a,b \in I ; a-b\in I \\ \forall a\in I , r \in R; ra\in I \end{array} \right.$
   مثال: فرض کنید $I$ ایده آلی از R باشد در این صورت با ضرب اسکالر
    $R\times {R\over I} \to {R\over I}\\ r(s+I)=rs+I$
   اولا ${R\over I}$ یک گروه جمعی آبلی است. 
   دوما خوش تعریف است زیرا: 
   $(r,s+I)=(r^\prime,s^\prime+I) \implies \left\{ \begin{array}{l l} r=r^\prime\\ s+I = s^\prime +I \to s-s^\prime\in I \end{array} \right. \\ \implies r(s-s^\prime)\in I \implies rs-rs^\prime\in I \to rs-r^\prime s^\prime \in I\\ \implies rs+I=r^\prime s^\prime +I$
   ${R\over I}$ یک R-مدول است زیرا 
   1. $r[(s+I)+(s ^\prime +I)]=r[s+s^\prime+I]=r(s+s ^\prime)+I\\=rs+rs^\prime+I=rs+I+rs^\prime+I=r(s+I)+r(s^\prime+I)$
   2. $(r+r^\prime)(s+I)=r(s+I)+r^\prime (s+I)$
   3. $(rr^\prime)(s+I)=r(r^\prime(s+I))$

   ملاحظه: اگر v یک فضای برداری روی F باشد در این صورت 

   $\text{if} \ \ c\in f , \alpha \in v , c\alpha =0 \to c=0 \quad \text{or} \quad \alpha=0$

   زیرا اگر $c\ne 0$ داریم: 

   $c\alpha=0 \implies c^{-1}(c\alpha)=(c^{-1}c)\alpha=0 \implies \alpha =0$

   و اگر $\alpha \ne0$ داریم:

   $c\alpha=0 \implies c(\alpha \alpha^{-1})=0 \implies c =0$

   اما این موضوع در مدول ها ممکن است برقرار نباشد. 

   بعنوان مثال میدانیم $6 \mathbb{Z}$ ایده آلی از $\mathbb{Z}$ است پس بنابر مثال قبل $\mathbb{Z} \over 6\mathbb{Z}$ یک $\mathbb{Z}$ مدول است ( پس هر $\mathbb{Z}_n$ یک $\mathbb{Z}$-مدول است) داریم: 

   $0 \ne 2 \in \mathbb{Z} \quad 0 \ne3+6\mathbb{Z} \in {\mathbb{Z} \over 6\mathbb{Z}} \\ 2.(3+6\mathbb{Z})=2 \times 3+6\mathbb{Z}=6+6\mathbb{Z}=0$

   تعریف: فرض کنید R و S حلقه های جابجایی باشند در این صورت S را یک R-جبر می نامیم هر گاه یک همریختی حلقه ای مانند $f:R\to S$ وجود داشته باشد. 

   نکته: $a+H =0 \iff a\in H \quad , \quad 0_{R\over I}=I$

   مثال: اگر S یک R-جبر باشد آنگاه می توان S را به عنوان یک R-مدول در نظر گرفت

   حل: چون S یک R-جبر است لذا یک همریختی حلقه ای مانند $f:R\to S$ موجود است ضرب اسکالر زیر را در نظر می گیریم:

   $.:R\times S \to S \\ r.s =f(r).s$

   چون S حلقه است لذا گروه جمعی آبلی است. داریم 

   $\forall r,r_1,r_2 \in R \quad , s,s_1, s_2 \in S\\ 1) \ r(s_1+s_2)=f(r). (s_1+s_2)=f(r). s_1+f(r). s_2=rs_1+rs_2\\ 2) \ (r_1+r_2)s=f(r_1+r_2) s \stackrel{\text{Hom}}{=} (f(r_1)+f(r_2)) s= f(r_1)s+f(r_2)s\\ r_1s+r_2s\\ 3) \ (r_1r_2)s=f(r_1r_2)s \stackrel{\text{Hom}}{=} (f(r_1)f(r_2)) s= f(r_1)(f(r_2)s)\\ r_1(f(r_2)s)=r_1(r_2s)\\$

   همچنین اگر R یکدار باشد داریم 

   $1_R\times S=f(1_R).s=1_R.s=s$

   چرا که اگر f یک همریختی باشد آنگاه $f(c)=c$

   پس S یک R-مدول یکانی است.

   نظریه طبقه بندی سیستم های هامیلتونی رابطه بین گشتاورهای مرتبه اول و دوم و سوم حول صفر با گشتاور مرکزی مرتبه سوم
   پرینت
   7874 رتبه بندی این مطلب:

   3.9
   کلمات کلیدی: سری های آموزشی جبر 3

   مدیر ارشد رایشمندمدیر ارشد رایشمند

   سایر نوشته ها توسط مدیر ارشد رایشمند

   تماس با نویسنده

   نوشتن یک نظر

   نام:	لطفا نام خود را وارد نمایید.
   ایمیل:	لطفا یک آدرس ایمیل وارد نمایید لطفا یک آدرس ایمیل معتبر وارد نمایید

   نظر:	لطفا یک نظر وارد نمایید
   موافقم	این فرم نام، ایمیل، آدرس IP و محتوای شما را جمع‌آوری می‌کند تا بتوانیم نظرات درج شده در وب‌سایت را پیگیری کنیم. برای اطلاعات بیشتر خط‌مشی رازداری و شرایط استفاده< /a> که در آن اطلاعات بیشتری در مورد مکان، چگونگی و چرایی ذخیره داده های شما دریافت خواهید کرد. شما باید این قوانین را بخوانید و قبول کنید.

   افزودن نظر