حل چند سوال کوتاه از منطق و رابطه ها
ساختمان گسسته، رشته کامپیوتر و فناوری اطلاعات
- نشان دهید \(p\Longrightarrow (q \Longrightarrow p \vee s)\) یک استلزام منطقی است.
- ترکیب \((p \wedge \neg q)\vee (p \wedge q) \) را فقط با استفاده از نماد \( (\Longrightarrow)\) بنویسید.
- نقیض گزاره " عدد صحیح \(a\) فرد است اگر و فقط اگر عدد صحیح \(a^2\) فرد باشد" را بنویسید؛ هم ارزی مورد استفاده را به زبان منطق بیان نمایید.
- تابع \( f:X \to Y\) مفروض است. ثابت کنید
\(\Re (f)=\{(a,b)\in X \times X | f(a)=f(b)\}\)
یک رابطه هم ارزی در \(X\) است.
حل سوالات:
1. یک (هر) گزاره شرطی (دو شرطی) همیشه درست را یک استلزام منطقی گویند.
\(p\Longrightarrow (q \Longrightarrow p \vee s)\equiv \sim p \vee (\sim q \vee p \vee s) \equiv (\sim p \vee p)\vee(\sim q \vee s)\equiv T\vee (\sim q \vee s)\equiv T\)
2.
\((p \wedge \neg q)\vee (p \wedge q) \equiv p \wedge (\sim q \vee q) \equiv p \wedge T \equiv p \equiv p \vee F \equiv \sim F \Longrightarrow p\)
3.
عدد صحیح \(a\) فرد است اگر و تنها اگر عدد صحیح \(a^2\) فرد نباشد. هم ارزی مورد استفاده به صورت
\( \sim (p \Longleftrightarrow q)\equiv p \Longleftrightarrow \sim q\)
می باشد.
4.
\(f(a)=f(a) \Longrightarrow(a,a)\in X\times X \\ (a,b)\in X\times X \Longrightarrow f(a)=f(b) \Longrightarrow f(b)=f(a) \Longrightarrow (b,a)\in X\times X \\ (a,b)\in X\times X \wedge (b,c)\in X\times X \Longrightarrow f(a)=f(b) \wedge f(b)=f(c) \Longrightarrow f(a)=f(c) \Longrightarrow (a,c)\in X\times X\)
بنابراین \(\Re\) یک رابطه هم ارزی روی \(X\) است.