تعریف

1. عددی به شکل \(a + b\,i\) که در ان a و b دو عدد حقیقی و i قسمت موهومی است را یک عدد مختلط می نامیم. خاصیت اصلی و اساسی i به این صورت است که: \(i^2 = -1\)
2. اعداد مختلط \(z = a + b\,i\) و \(\overline{z} = a - b\,i\) را مزدوج یکدیگر می نامند. 

فرمول ها

تساوی دو عدد مختلط: 

\(a + b\,i = c + d\,i \Longleftrightarrow a = c ~~and~~ b = d\)

جمع دو عدد مختلط:

\((a + b\,i) + (c + d\,i) = (a + c) + (b + d)\,i\)

کسر دو عدد مختلط: 

\((a + b\,i) - (c + d\,i) = (a - c) + (b - d)\,i\)

ضرب دو عدد مختلط:

\((a + b\,i)\cdot(c + d\,i) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i\)

تقسیم دو عدد مختلط:

\(\frac{a + b\,i}{c + d\,i} = \frac{a + b\,i}{c + d\,i}\cdot\frac{c - d\,i}{c - d\,i} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} \, i\)

شکل قطبی اعداد مختلط: 

\(a + b\,i = r\cdot(\cos\theta + i\,\sin\theta)\)

ضرب و تقسیم دو عدد مختلط در حالت قطبی:

\(\left[r_1\left(\cos\theta_1 + i \cdot \sin\theta_1\right)\right] \cdot \left[r_2\left(\cos\theta_2 + i \cdot \sin\theta_2\right)\right] = r_1 \cdot r_2 \left[ \cos\left(\theta_1+\theta_2\right) + i \cdot \sin\left(\theta_1+\theta_2\right) \right]\)

\(\frac{r_1\left(\cos\theta_1 + i\,\sin\theta_1\right)}{r_2\left(\cos\theta_2 + i\,\sin\theta_2\right)}= \frac{r_1}{r_2} \left[\cos\left(\theta_1-\theta_2\right) + i \cdot \sin\left(\theta_1-\theta_2\right)\right]\)

قضیه دی مویر: 

\(\left[r \left( \cos\theta + i\,\sin\theta \right) \right]^n = r^n \left( \cos ( n\theta) + i\,\sin (n\theta) \right)\)

ریشه های اعداد مختلط

\(\left[r \left( \cos\theta + i\,\sin\theta \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\,\sin \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) ~~ k=0,1,\dots, n-1\)