فرمول نظریه مجموعه ها
در این قسمت و در راستای انتشار فرمول های ریاضی در رایشمند، فرمول های مربوط به مجموعه ها، شامل اجتماع، اشتراک، متمم، قانون دمورگان و ترکیبی از اعمال موجود در مجموعه ها را قرار می دهیم
تعاریف
مجموعه تهی:
مجموعه مرجع (مجموعه جهانی): \(I\)
اجتماع دو مجموعه:
\(A \cup B = \left\{x : x \in A ~~ or ~~ x \in B \right\}\)
اشتراک دو مجموعه:
\(A \cap B = \left\{x : x \in A ~~ and ~~ x \in B \right\}\)
متمم:
\(A' = \left\{ x \in I : x \not \in A \right\}\)
اختلاف مجموعه ها:
\(A \setminus B = \left\{x : x \in A ~~ and ~~ x \not \in B \right\}\)
ضرب دکارتی:
\(A \times B = \left\{ (x,y) : x \in A ~~ and ~~ y \in B \right\}\)
خواص اشتراک مجموعه ها:
جابجایی:
\(A \cup B = B \cup A\)
شرکت پذیری:
\(A \cup \left(B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C\)
خودتوانی:
\(A \cup A = A\)
خواص اشتراک مجموعه ها
جابجایی:
\(A \cap B = B \cap A\)
جابجایی:
\(A \cap \left(B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C\)
خودتوانی:
\(A \cap A = A\)
خواص مجموعه ها، در اجتماع و اشتراک
توزیع پذیری:
\(A \cup \left(B \cap C \right) = \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)\)
\(A \cap \left(B \cup C \right) = \left(A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)\)
تسلط:
\(A \cap \varnothing = \varnothing\)
\(A \cup I = I\)
همانی:
\(A \cup \varnothing = A\)
\(A \cap I = A\)
فرمول های مجموعه ها شامل روابط اجتماع، اشتراک و متمم
متمم در اجتماع و اش راک
\(A \cup A' = I\)
\(A \cap A' = \varnothing\)
قوانین دمورگان:
\(\left( A \cup B \right)' = A' \cap B~'\)
\(\left(A \cap B \right)' = A' \cup B~'\)
فرمول مجموعه های شامل کسر
\(B \setminus A = B \setminus \left( A \cup B \right)\)
\(B \setminus A = B \cap A'\)
\(A \setminus A = \varnothing\)
\(\left(A \setminus B \right) \cap C = \left(A \cap C \right) \setminus \left(B \cap C \right)\)
\(A' = I \setminus A\)
اگر به نظرتان فرمولی از قلم افتاده، به رایشمند یادآوری نمایید
این مقاله در تاریخ 95/02/13 به دلیل رفع ایرادی که در قسمت نظرات اشاره شده بود به‌روز‌رسانی شد