توسیع انتگرال

پرسش و پاسخ

سوال: 

انتگرال زیر را در نظر بگیرید

\(\begin{equation} I(x)=\int^{2}_{0} (1+t) \exp\left(x\cos\left(\frac{\pi(t-1)}{2}\right)\right) dt \end{equation}\)

نشان دهید 

\(\begin{equation} I(x)= 4+ \frac{8}{\pi}x +O(x^{2}) \end{equation}\)

که در آن \(x\rightarrow0\)

من سعی در حل این انتگرال نموده ولی با جملات بسیار بزرگ و ترسناک مواجه می شوم لطفا کمکم کنید!

جواب: 

ابتدا، تغییر متغیر \(t\leftarrow2-t\) نشان می دهد \(I(x)=\int_0^2(3-t)e^{x\,\cos(\pi(t-1)/2)}dt\) و خواهیم داشت

\(\eqalign{I(x)&=2\int_0^2\exp\left(x\cos\frac{\pi(t-1)}{2}\right)dt\cr &=2\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\int_0^2\cos^n\left(\frac{\pi(t-1)}{2}\right)dt\cr &=\frac{8}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\int_0^{\pi/2}\cos^nu du\cr &= \frac{8}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}W_n }\)

که \(W_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nu du\) انتگرال شناخته شده ویل می باشد. درحالت خاص \(W_0=\frac{\pi}{2}\) و \(W_1 =1\) خواهیم داشت 

\(I(x)=4+\frac{8}{\pi}x+{\cal O}(x^2)\)

منبع: http://math.stackexchange.com/