دنباله حسابی
حسابان
دنباله حسابی (عددی): دنباله ای است كه به جز جمله اول آن، هر جمله اش برابر است با جمله قبلی آن به اضافه یك مقدار ثابت. این مقدار ثابت را قدر نسبت دنباله نامیده با d نشان میدهیم به عبارت دیگر دنباله ی حسابی دنباله ای است كه تفاضل هر دو جمله متوالی آن مقدار ثابتی است.
مثال: an = 3n-2 جمله عمومی یك دنباله حسابی است، زیرا:
\( a_{n+1} − a_{n} = (3(n+1)−2) (− 3n−2)= 3\)
مثال: bn = n2 جمله عمومی یك دنباله حسابی نیست، زیرا:
به n وابسته است bn+1 −bn = (n+1)2 −n2 =2n+1
جمله عمومی دنباله حسابی كه قدر نسبت آنd و جمله اول آنa باشد برابر است
با:
an = a +(n−1)d
مثال: جمله چندم دنباله \(1,4,7,\dots\) برابر با 100 است؟
حل: چون a=1 و d=3 می باشد و an =100 بنابراین:
100 = 1+ (n − 1)(3) ⇒ 100 = 1+ 3n − 3 ⇒ 3n = 102 ⇒ n = 34
بنابراین جمله سی و چهارم برابر با 100 میباشد.
مثال: در یك دنباله حسابی داریم و a81 ، a5 + a7=54 را بیابید.
حل:
\( \left\{
\begin{array}{l l}
a_4-a_2=10 \\
a_5+a_7=54
\end{array} \right. \rightarrow \left\{
\begin{array}{l l}
(a+3d)-(a+d)=10 \\
(a+4d)+(a+6d)=54
\end{array} \right. \rightarrow \left\{
\begin{array}{l l}
2d=10 \\
2a+10d=54
\end{array} \right. \rightarrow d=5, a=2\)
- مجموع n جمله اول دنباله حسابی برابر است با :
\(s_n={n \over2}(2a+(n-1)d)\)
-
تمرین
S10 = 
(158+36) = 970
روش دوم: چون a21=-1+20×4=79 ، پس مجموع خواسته شده برابر است با مجموع ده جمله اول دنباله حسابی كه جمله اول آن 79 و قدر نسبت آن 4 می باشد، بنابراین:
S30-S30=\(30\over2\)(-2+29×4)-\(30\over2\)(-2+19×4)=970 = مجموع جملات بیست و یكم تا سی ام
روش اول: چون a = −1 , d=4 پس:
حل:
مثال: در دنباله حسابی \(-1,3,7,\dots\) ، مجموع جملات بیست و یكم تا سی ام را بیابید.
S17 = \(17 \over 2\)(a1 + a17 )⇒ S17 = \(17 \over 2\)×10= 85
⇒ 2(a1 + a17 )= 20⇒ a1 + a17 = 10
a3 + a7 + a11 + a15 = 20⇒ (a3 + a15 ) +(a7 + a11 )= 20
مثال: در یك دنباله حسابی داریم S17 ، a3 + a7 + a11 + a15=20 را بیابید.
مقدار جمله وسط ضربدر تعداد آنها
- در هر دنباله حسابی متناهی مجموع هر دو جمله متساوی الفاصله از طرفین باهم برابر است.
- اگر در یك دنباله حسابی متناهی تعداد جملات فرد باشد مجموع هر دو جمله متساوی الفاصله از طرفین مساوی دو برابر جمله وسط آن است و مجموع همه جملات آن برابر است با:
.am + an = ap + al
- اگر an و am دو جمله از یك دنباله حسابی باشد آنگاه \(d={{a_m-a_n}\over{m-n}}\).
- اگر am , an , ap ,al چهار جمله از یك دنباله حسابی و m +n = p +l آنگاه
a7 = (4(72 )−7)−(4(62 )−6)= 51
حل: با كمی دقت متوجه می شویم كه a7 = S7 − S6 پس:
مثال: در یك دنباله حسابی داریم Sn = 4n2 − n ، جمله هفتم این دنباله را بیابید.
\(s_n={n \over2}(a_1+a_n)\)
مجموع n جمله اول دنباله حسابی كه جمله اول آن a1و جمله nام آن an باشد برابر است با:
-
1- در یك دنباله حسابی مجموع ده جمله ی اول 20 و مجموع یازده جمله ی اول آن 11 می باشد. مجموع بیست و یك جمله ی اول این دنباله را بیابید.
2- مجموع اعداد سه رقمی مضرب 7 را بدست آورید.
3- در دنباله an داریم، 3 = a1 و 5 +an+1 = an، جمله صدم دنباله و مجموع یكصد جمله اول را بدست آورید.
4- در یك دنباله جمله پنجم \(-7 \over2\) و هر جمله از جمله بعدی \(3 \over 2\) بیشتر است مجموع بیست جمله اول آن را بدست آورید.
5- تعدادی توپ مطابق شكل به فاصله 3 متر از یكدیگر واقع هستند و فاصله اولین توپ از یك سطل برابر 3 متر است.
فردی از كنار سطل حركت كرده و اولین توپ را برداشته و به كنار سطل برگشته و توپ را در سطل میاندازد و این عمل برای توپ های دیگر نیز تكرار می كند. اگر این فرد در مجموع 120 متر پیموده باشد تعداد توپ هایی كه در سطل انداخته است را بدست آورید.
6- مجموع بیست جمله اول یك دنباله حسابی 590 و مجموع بیست جمله بعدی 1790 می باشد مجموع جملات دهم تا سی ام را بدست آورید
7- در یك دنباله حسابی با جمله اول a و قدر نسبت d ، به قدر نسبت، 2 واحد اضافه می كنیم مجموع ده جمله اول دنباله جدید چقدر از مجموع ده جمله دنباله قبلی بیشتر است.
8- در یك دنباله عددی داریم 40 = s15 ، a3 + a7 + a9 + a13 را بیابید.
9- اضلاع یك مثلث قائم الزاویه تشكیل یك دنباله عددی می دهند. اگر طول وتر این مثلث 15 سانتیمتر باشد، مساحت آن را بیابید.
10- مجموع كلیه اعداد طبیعی سه رقمی كه بر 2 و 3 بخشپذیرند را بیابید.
11- حداقل چند جمله اول دنباله ...,3,7,11 را جمع كنیم تا حاصل بزرگتر از 200 شود.
12- در یك دنباله حسابی صدجمله ای مجموع جملات با شماره های فرد 400 و مجموع جملات با شماره های زوج 500 می باشد. قدر نسبت این دنباله را بیابید.
13- در یك دنباله حسابی مجموع 7 جمله اول 80 و مجموع 7 جمله دوم برابر با 160 می باشد.
مجموع 20 جمله اول این دنباله را بیابید.
14- در یك دنباله حسابی داریم \({s_5 \over s_3}={25 \over 9}\). اگر 8 =a باشد، S8 را بیابید.
15- دو دنباله ...,1,4,7 و ...,2,3−,7− چند جمله مشترك سه رقمی دارند؟
16- اگر an جمله عمومی دنباله حسابی باشد، نشان دهید كه:
\({{1} \over {{\sqrt a_1}+\sqrt a_2}}+{{1} \over {{\sqrt a_2}+\sqrt a_3}}+\dots{{1} \over {{\sqrt a_{n-1}}+\sqrt a_n}}={{n-1} \over {{\sqrt a_1}+\sqrt a_n}}\)
17- در یك دنباله حسابی صد جمله ای، مجموع سه جمله اول 2 و مجموع سه جمله آخر آن 10 می باشد. مجموع همه ی جملات آن را بیابید.
18- مقدار x را از رابطه ی 26 = (50+x+ (x+2) + (x+4) + ...+ (x بیابید.