سخنی از بزرگان...

فرمول های مثلثات

فرمول های مثلثات

تعاریف مثلثات با استفاده از زوایای یک مثلث قائم الزاویه

Image

\(\sin \alpha = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}}\) سینوس یک زاویه برابر است با اندازه ضلع روبرو تقسیم بر وتر

\(\cos \alpha = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}}\) کسینوس یک زاویه برابر است با اندازه ضلع مجاور تقسیم بر اندازه وتر

\(\tan \alpha = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}}\) تانژانت در واقع سینوس تقسیم بر کسینوس است که با تقسیم دو کسر مربوط به سینوس و کسینوس بر هم، حاصل اندازه ضلع روبرو تقسیم بر ضلع مجاور می شود. 

\(\csc \alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Opposite}}\) کسکانت یک زاویه، معکوس سینوس همان زاویه است یعنی وتر تقسیم بر ضلع مقابل

\(\sec \alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Adjacent}}\) سکانت یک زاویه، معکوس کسینوس همان زاویه است یعنی وتر تقسیم بر ضلع مجاور

\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Opposite}}\) کتانژانت یک زاویه نیز، معکوس تانژانت است یعنی ضلع مجاور تقسیم بر ضلع روبرو

فرمول های تاثیر کاهش و افزایش یک زاویه بر توابع مثلثاتی

Image

در دایره مثلثاتی دقت به این مسئله ضروری است: * در دایره مثلثاتی محور x به cos و محور y به sin بدل می شود پس در ربع اول سینوس و کسینوس مثبت است. 

با توجه به این نکته کلیدی فرمول های زیر را داریم: 

\(\sin(-x) = -\sin(x)\) سینوس x در ربع اول است پس مثبت است وقتی x به منفی x تبدیل شود، سینوس می افتد در ربع چهارم پس منفی می شود.

\(\cos(-x) = \cos(x)\) کسینوس x در ربع اول است پس مثبت است و وقتی x به منفی x تبدیل شود، کسینوس در ربع چهارم قرار می گیرد که در ربع چهارم نیز کسینوس مثبت است، پس حاصل مثبت می گردد.

 \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\) وقتی در کمان \(\frac{\pi}{2}\) موجود باشد سینوس تبدیل به کسینوس می شود و برعکس که در اینجا نمی توان آن را ثابت کرد. ولی به راحتی قابل اثبات است که در مطلبی دیگر این اثبات را انجام خواهیم داد. دقت کنید که حاصل این عبارت در ربع اول است پس حاصل مثبت می گردد.

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\) حاصل در ربع اول است پس مثبت می گردد

\(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)\)

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)\)

\(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) حاصل در ربع دوم است که سینوس مثبت است. 

\(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\) حاصل در ربع دوم است که کسینوس در این ربع منفی است

\(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\) در ربع سوم، سینوس منفی است. 

\(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\) در ربع سوم کسینوس منفی است.

فرمول های پایه ای

\(\sin^2x + \cos^2x = 1\) این فرمول به شاه کلید مثلثات معروف است

\(\tan^2x + 1 = \frac{1}{\cos^2x}\)

\(\cot^2x + 1 = \frac{1}{\sin^2x}\)

فرمول های جمع و تفریق مثلثات

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos \beta + \sin\beta \cdot \cos\alpha\)

\(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos \beta - \sin \beta \cdot \cos\alpha\)

\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos \beta - \sin\alpha \cdot \cos\beta\)

\(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos \beta + \sin\alpha \cdot \cos\beta\)

\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{ \tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta }\)

\(\tan(\alpha - \beta) = \frac{ \tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta }\)

فرمول های نصف کمان و دوبرابر کمان در توابع مثلثاتی

\(\sin(2\,\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha\)

\(\cos(2\,\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)

\(\tan(2\,\alpha) = \frac{2\,\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\)

\(\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\)

\(\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\)

\(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}\)

\(\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha} }\)

سایر فرمولهای مفید در مثلثات

  1. قانون سینوس
    \(\frac{\sin\alpha}{\alpha} = \frac{\sin\beta}{\beta} = \frac{\sin\gamma}{\gamma}\)
  2. قانون کسینوس
    \(\begin{aligned} a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta \\ c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma \end{aligned}\)
  3. مساحت مثلث
    \(A = \frac{1}{2} a\,b\, \sin\gamma\)
چاپ
99658 رتبه بندی این مطلب:
3.6
 

مدیر ارشد رایشمندمدیر ارشد رایشمند

سایر نوشته ها توسط مدیر ارشد رایشمند
تماس با نویسنده

24 نظر در مطلب "فرمول های مثلثات" ثبت شده است

30
11
Avatar image

علی

عالی بود


18
8
Avatar image

MHK

چرا دروغ میگی هزارتا فرمول دیگرو نگفت

مثلا فرمول تبدیل جمع به ضرب


1
1
Avatar image

پارسا

تمام فرمول های دیگه از همین ها نشأت میگیره فقط یکم خلاقیت داشته باش


5
7
Avatar image

سیامک اسلام طلب اکبری

عااااااااااااااااااااااااااالی بود


6
5
Avatar image

مدیر ارشد سایت

متشکر


6
8
Avatar image

Kian

با سلام

کسی میدونه زاویه "آلفا" و "بتا" رو چطور در یک مثلث قائم الزاویه حساب میکنن....؟؟؟؟

با تشکر فراوان


7
34
Avatar image

Mahsa

چرا دروغ میگی مثلا میخایی بگی درس خونی ایششششششششششش


14
4
Avatar image

Kian

روش حلش رو پیدا کردم اما سوالم اینه که چطور اون عدد رو به زاویه تبدیل میکنن....؟؟؟

مثلا:

0.46.=(Cos(c

چطور به درجه تبدیل میشه؟؟؟

با تشکر فراوان


8
2
Avatar image

استاد خرمی

کسینوس وارون 0.46را باید با ماشین حساب حساب کرد


1
2
Avatar image

Kian

با دورود فراوان

سپاس گذارم از راهنمایی شما، جناب استاد خرمی


0
0
Avatar image

Kian

با دورود

جناب استاد خرمی

میشه روش محاسبه با ماشین حساب رو لطف بفرمایید.

با تشکر


3
1
Avatar image

کامران

سلام نحوه محاسبه با ماشین حساب.مجهول a(تانژانت به توان 2)

110=60tan^2(45+a/2)


1
0
Avatar image

unknown

با داشتن تانژانت یا کتانژانت چجوری باید سینوس و کسینوس رو محاسبه کنیم؟


0
0
Avatar image

mathlovêr

خوب خیلی راحته..وقتی tan یا cot رو دارید از این فرمول میرید ک ۱ منهای تانژانت به توان ۲ برابر است با یک به روی کسینوس توان ۲


1
1
Avatar image

عرفان

سلام دوستان واقعامرسی خیلی ب دردم خورد... فقط مشکلم اینجاس بعصیاشودرک میکنم ک حله بعصیاشوک سختن ومجبور میشم حفط کنم بعددوروز یادم میره جیکارکنم؟ اخه مثلثات جیزیه ک تااخرعمر باش سروکاردارم


1
1
Avatar image

نوید

میگه اصلا من نمی فهمم باید چه کنم


2
0
Avatar image

mathlovér

awli bud mrcccc...mn asheq riazi am ...in rell with mathmatics


0
0
Avatar image

طناز

خود sin x رو ميشه ب چيزي بسط داد؟ توي تمرين ليميت كه مخرج صفر ميشه و بايد رفع ابهام زد و sinx رو ميخام بسط بدم چون حتا با ضرب كردن ب كسر حاصل يك هم باز مخرج مبهمه


0
0
Avatar image

محمد

اقا سلام علیکم پی دف اینا کجاست


0
0
Avatar image

حسيب الله

فورمول خوبي است


0
1
Avatar image

مجید

کسینوس افا + بتا و همچنین کسینوس الفا - بتا اشتباه .

Cos a cos b _sin a sinb=cos(a+b


2
1
Avatar image

Nadi

خیلی اشتباه واشت


1
0
Avatar image

هومن

درود

یکی اثبات فرمول کسینوس چهارالفا رو توضیح میده؟


0
0
Avatar image

امیررضا

سلام خسته نباشید ، وقتی کسینوس رو داری ولی سینوس رو نداری از چه راهی باید استفاده کرد ؟

مثلا کسینوس رو داده 0.9 سینوس چنده؟

نوشتن یک نظر

این فرم نام، ایمیل، آدرس IP و نظرات شما را جمع می کند تا بتوانیم نظرات شما را در وب سایت پیگیری کنیم. برای اطلاعات بیشتر، قوانین و مقررات و سوالات متداول ما را بررسی کنید، در آنجا اطلاعات بیشتری در مورد نحوه و چگونگی ذخیره اطلاعات شما در اختیار شما قرار می دهیم.
افزودن نظر

انتخابگر پوسته

ارتباط با نویسنده

x