تعاریف مثلثات با استفاده از زوایای یک مثلث قائم الزاویه
\(\sin \alpha = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}}\) سینوس یک زاویه برابر است با اندازه ضلع روبرو تقسیم بر وتر
\(\cos \alpha = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}}\) کسینوس یک زاویه برابر است با اندازه ضلع مجاور تقسیم بر اندازه وتر
\(\tan \alpha = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}}\) تانژانت در واقع سینوس تقسیم بر کسینوس است که با تقسیم دو کسر مربوط به سینوس و کسینوس بر هم، حاصل اندازه ضلع روبرو تقسیم بر ضلع مجاور می شود.
\(\csc \alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Opposite}}\) کسکانت یک زاویه، معکوس سینوس همان زاویه است یعنی وتر تقسیم بر ضلع مقابل
\(\sec \alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Adjacent}}\) سکانت یک زاویه، معکوس کسینوس همان زاویه است یعنی وتر تقسیم بر ضلع مجاور
\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Opposite}}\) کتانژانت یک زاویه نیز، معکوس تانژانت است یعنی ضلع مجاور تقسیم بر ضلع روبرو
فرمول های تاثیر کاهش و افزایش یک زاویه بر توابع مثلثاتی
در دایره مثلثاتی دقت به این مسئله ضروری است: * در دایره مثلثاتی محور x به cos و محور y به sin بدل می شود * پس در ربع اول سینوس و کسینوس مثبت است.
با توجه به این نکته کلیدی فرمول های زیر را داریم:
\(\sin(-x) = -\sin(x)\) سینوس x در ربع اول است پس مثبت است وقتی x به منفی x تبدیل شود، سینوس می افتد در ربع چهارم پس منفی می شود.
\(\cos(-x) = \cos(x)\) کسینوس x در ربع اول است پس مثبت است و وقتی x به منفی x تبدیل شود، کسینوس در ربع چهارم قرار می گیرد که در ربع چهارم نیز کسینوس مثبت است، پس حاصل مثبت می گردد.
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\) وقتی در کمان \(\frac{\pi}{2}\) موجود باشد سینوس تبدیل به کسینوس می شود و برعکس که در اینجا نمی توان آن را ثابت کرد. ولی به راحتی قا��ل اثبات است که در مطلبی دیگر این اثبات را انجام خواهیم داد. دقت کنید که حاصل این عبارت در ربع اول است پس حاصل مثبت می گردد.
\(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\) حاصل در ربع اول است پس مثبت می گردد
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)\)
\(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)\)
\(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) حاصل در ربع دوم است که سینوس مثبت است.
\(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\) حاصل در ربع دوم است که کسینوس در این ربع منفی است
\(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\) در ربع سوم، سینوس منفی است.
\(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\) در ربع سوم کسینوس منفی است.
فرمول های پایه ای
\(\sin^2x + \cos^2x = 1\) این فرمول به شاه کلید مثلثات معروف است
\(\tan^2x + 1 = \frac{1}{\cos^2x}\)
\(\cot^2x + 1 = \frac{1}{\sin^2x}\)
فرمول های جمع و تفریق مثلثات
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos \beta + \sin\beta \cdot \cos\alpha\)
\(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos \beta - \sin \beta \cdot \cos\alpha\)
\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos \beta - \sin\alpha \cdot \cos\beta\)
\(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos \beta + \sin\alpha \cdot \cos\beta\)
\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{ \tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta }\)
\(\tan(\alpha - \beta) = \frac{ \tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta }\)
فرمول های نصف کمان و دوبرابر کمان در توابع مثلثاتی
\(\sin(2\,\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha\)
\(\cos(2\,\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)
\(\tan(2\,\alpha) = \frac{2\,\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\)
\(\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\)
\(\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\)
\(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}\)
\(\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha} }\)
سایر فرمولهای مفید در مثلثات
- قانون سینوس
\(\frac{\sin\alpha}{\alpha} = \frac{\sin\beta}{\beta} = \frac{\sin\gamma}{\gamma}\)
- قانون کسینوس
\(\begin{aligned} a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta \\ c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma \end{aligned}\)
- مساحت مثلث
\(A = \frac{1}{2} a\,b\, \sin\gamma\)
این مقاله در سایت علمی
رایشمند منتشر شده است. خوشحال میشویم اگر
دیدگاه و نظر خود را درباره این موضوع با ما و دیگر خوانندگان در میان بگذارید.