فرمول های مثلثات

تعاریف مثلثات با استفاده از زوایای یک مثلث قائم الزاویه

\(\sin \alpha = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}}\) سینوس یک زاویه برابر است با اندازه ضلع روبرو تقسیم بر وتر

\(\cos \alpha = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}}\) کسینوس یک زاویه برابر است با اندازه ضلع مجاور تقسیم بر اندازه وتر

\(\tan \alpha = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}}\) تانژانت در واقع سینوس تقسیم بر کسینوس است که با تقسیم دو کسر مربوط به سینوس و کسینوس بر هم، حاصل اندازه ضلع روبرو تقسیم بر ضلع مجاور می شود. 

\(\csc \alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Opposite}}\) کسکانت یک زاویه، معکوس سینوس همان زاویه است یعنی وتر تقسیم بر ضلع مقابل

\(\sec \alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Adjacent}}\) سکانت یک زاویه، معکوس کسینوس همان زاویه است یعنی وتر تقسیم بر ضلع مجاور

\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Opposite}}\) کتانژانت یک زاویه نیز، معکوس تانژانت است یعنی ضلع مجاور تقسیم بر ضلع روبرو

فرمول های تاثیر کاهش و افزایش یک زاویه بر توابع مثلثاتی

در دایره مثلثاتی دقت به این مسئله ضروری است: * در دایره مثلثاتی محور x به cos و محور y به sin بدل می شود * پس در ربع اول سینوس و کسینوس مثبت است. 

با توجه به این نکته کلیدی فرمول های زیر را داریم: 

\(\sin(-x) = -\sin(x)\) سینوس x در ربع اول است پس مثبت است وقتی x به منفی x تبدیل شود، سینوس می افتد در ربع چهارم پس منفی می شود.

\(\cos(-x) = \cos(x)\) کسینوس x در ربع اول است پس مثبت است و وقتی x به منفی x تبدیل شود، کسینوس در ربع چهارم قرار می گیرد که در ربع چهارم نیز کسینوس مثبت است، پس حاصل مثبت می گردد.

 \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\) وقتی در کمان \(\frac{\pi}{2}\) موجود باشد سینوس تبدیل به کسینوس می شود و برعکس که در اینجا نمی توان آن را ثابت کرد. ولی به راحتی قابل اثبات است که در مطلبی دیگر این اثبات را انجام خواهیم داد. دقت کنید که حاصل این عبارت در ربع اول است پس حاصل مثبت می گردد.

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\) حاصل در ربع اول است پس مثبت می گردد

\(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)\)

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)\)

\(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) حاصل در ربع دوم است که سینوس مثبت است. 

\(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\) حاصل در ربع دوم است که کسینوس در این ربع منفی است

\(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\) در ربع سوم، سینوس منفی است. 

\(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\) در ربع سوم کسینوس منفی است.

فرمول های پایه ای

\(\sin^2x + \cos^2x = 1\) این فرمول به شاه کلید مثلثات معروف است

\(\tan^2x + 1 = \frac{1}{\cos^2x}\)

\(\cot^2x + 1 = \frac{1}{\sin^2x}\)

فرمول های جمع و تفریق مثلثات

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos \beta + \sin\beta \cdot \cos\alpha\)

\(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos \beta - \sin \beta \cdot \cos\alpha\)

\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos \beta - \sin\alpha \cdot \cos\beta\)

\(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos \beta + \sin\alpha \cdot \cos\beta\)

\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{ \tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta }\)

\(\tan(\alpha - \beta) = \frac{ \tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta }\)

فرمول های نصف کمان و دوبرابر کمان در توابع مثلثاتی

\(\sin(2\,\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha\)

\(\cos(2\,\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)

\(\tan(2\,\alpha) = \frac{2\,\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\)

\(\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\)

\(\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\)

\(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}\)

\(\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha} }\)

سایر فرمولهای مفید در مثلثات

1. قانون سینوس
   \(\frac{\sin\alpha}{\alpha} = \frac{\sin\beta}{\beta} = \frac{\sin\gamma}{\gamma}\)
2. قانون کسینوس
   \(\begin{aligned} a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta \\ c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma \end{aligned}\)
3. مساحت مثلث
   \(A = \frac{1}{2} a\,b\, \sin\gamma\)

فرمول های لگاریتم فرمول های توان

30

11

علی

عالی بود

1395/01/29 11:40 ب.ظ

پاسخ به

21

10

MHK

چرا دروغ میگی هزارتا فرمول دیگرو نگفت

مثلا فرمول تبدیل جمع به ضرب

1398/03/18 01:15 ق.ظ

پاسخ به

2

1

پارسا

تمام فرمول های دیگه از همین ها نشأت میگیره فقط یکم خلاقیت داشته باش

1399/10/24 03:32 ب.ظ

پاسخ به

5

7

سیامک اسلام طلب اکبری

عااااااااااااااااااااااااااالی بود

1395/06/03 10:55 ب.ظ

پاسخ به

6

6

مدیر ارشد سایت

متشکر

1395/06/04 10:16 ب.ظ

پاسخ به

6

9

Kian

با سلام

کسی میدونه زاویه "آلفا" و "بتا" رو چطور در یک مثلث قائم الزاویه حساب میکنن....؟؟؟؟

با تشکر فراوان

1395/07/14 07:20 ق.ظ

پاسخ به

0

0

محمد

فرقی نداره کدوم الفا و کدوم بتا باشه فقط زاویه ی رو به رو به زاویه ۹۰ درجه وتر و مثلا برای زاویه الفا اندازه ی ضلع رو به روییش تقسیم بر وتر و برای کسینوس مجاور(کناری) به وتر

1403/02/21 10:42 ب.ظ

پاسخ به

7

37

Mahsa

چرا دروغ میگی مثلا میخایی بگی درس خونی ایششششششششششش

1396/02/23 09:55 ق.ظ

پاسخ به

15

6

Kian

روش حلش رو پیدا کردم اما سوالم اینه که چطور اون عدد رو به زاویه تبدیل میکنن....؟؟؟

مثلا:

0.46.=(Cos(c

چطور به درجه تبدیل میشه؟؟؟

با تشکر فراوان

1395/07/14 07:27 ق.ظ

پاسخ به

8

3

استاد خرمی

کسینوس وارون 0.46را باید با ماشین حساب حساب کرد

1395/07/14 12:53 ب.ظ

پاسخ به

2

2

Kian

با دورود فراوان

سپاس گذارم از راهنمایی شما، جناب استاد خرمی

1395/07/15 05:55 ق.ظ

پاسخ به

0

3

Kian

با دورود

جناب استاد خرمی

میشه روش محاسبه با ماشین حساب رو لطف بفرمایید.

با تشکر

1395/07/15 06:08 ق.ظ

پاسخ به

3

1

کامران

سلام نحوه محاسبه با ماشین حساب.مجهول a(تانژانت به توان 2)

110=60tan^2(45+a/2)

1395/10/14 12:20 ب.ظ

پاسخ به

1

0

unknown

با داشتن تانژانت یا کتانژانت چجوری باید سینوس و کسینوس رو محاسبه کنیم؟

1397/07/22 05:47 ب.ظ

پاسخ به

0

0

mathlovêr

خوب خیلی راحته..وقتی tan یا cot رو دارید از این فرمول میرید ک ۱ منهای تانژانت به توان ۲ برابر است با یک به روی کسینوس توان ۲

1397/07/22 05:48 ب.ظ

پاسخ به

1

1

عرفان

سلام دوستان واقعامرسی خیلی ب دردم خورد... فقط مشکلم اینجاس بعصیاشودرک میکنم ک حله بعصیاشوک سختن ومجبور میشم حفط کنم بعددوروز یادم میره جیکارکنم؟ اخه مثلثات جیزیه ک تااخرعمر باش سروکاردارم

1397/07/22 05:48 ب.ظ

پاسخ به

1

1

نوید

میگه اصلا من نمی فهمم باید چه کنم

1397/07/22 05:48 ب.ظ

پاسخ به

2

0

mathlovér

awli bud mrcccc...mn asheq riazi am ...in rell with mathmatics

1397/07/22 05:48 ب.ظ

پاسخ به

0

0

طناز

خود sin x رو ميشه ب چيزي بسط داد؟ توي تمرين ليميت كه مخرج صفر ميشه و بايد رفع ابهام زد و sinx رو ميخام بسط بدم چون حتا با ضرب كردن ب كسر حاصل يك هم باز مخرج مبهمه

1397/10/26 11:36 ق.ظ

پاسخ به

0

0

محمد

اقا سلام علیکم پی دف اینا کجاست

1397/11/02 11:36 ق.ظ

پاسخ به

0

0

حسيب الله

فورمول خوبي است

1397/12/09 08:28 ب.ظ

پاسخ به

0

1

مجید

کسینوس افا + بتا و همچنین کسینوس الفا - بتا اشتباه .

Cos a cos b _sin a sinb=cos(a+b

1398/02/02 02:46 ب.ظ

پاسخ به

2

1

Nadi

خیلی اشتباه واشت

1398/07/20 07:57 ب.ظ

پاسخ به

1

0

هومن

درود

یکی اثبات فرمول کسینوس چهارالفا رو توضیح میده؟

1398/02/27 10:26 ق.ظ

پاسخ به

0

0

امیررضا

سلام خسته نباشید ، وقتی کسینوس رو داری ولی سینوس رو نداری از چه راهی باید استفاده کرد ؟

مثلا کسینوس رو داده 0.9 سینوس چنده؟

1399/11/14 11:02 ب.ظ

پاسخ به

نوشتن یک نظر

نام:	لطفا نام خود را وارد نمایید.
ایمیل:	لطفا یک آدرس ایمیل وارد نمایید لطفا یک آدرس ایمیل معتبر وارد نمایید

نظر:	لطفا یک نظر وارد نمایید
موافقم	این فرم نام، ایمیل، آدرس IP و محتوای شما را جمع‌آوری می‌کند تا بتوانیم نظرات درج شده در وب‌سایت را پیگیری کنیم. برای اطلاعات بیشتر خط‌مشی رازداری و شرایط استفاده< /a> که در آن اطلاعات بیشتری در مورد مکان، چگونگی و چرایی ذخیره داده های شما دریافت خواهید کرد. شما باید این قوانین را بخوانید و قبول کنید.

افزودن نظر