مسابقه دانشجویی

این سوالات در انجمن ریاضی ایران منتشر شده است و توسط جناب نیما علیرضازاده که از کاربران بسیار فعال رایشمند می باشند برای ما ارسال گردیده است.

1. فرض کنید A زیر مجموعه ای از اعداد گنگ باشد که مجموع هر دو عضور متمایز آن گویا است. ثبت کنید A حداکثر دوعضوی است.
2. فرض کنید \((X,d)\) یک فضای متریک همبند ناتهی باشد به طوری که حد هر دناله همگرا، جمله ای از آن دنباله باشد. ثابت کنید X تک عضوی است.
3. فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار باشد به گونه ای که تعدد اعضای R برابر با \(p^3\) که در آن p عددی اول است، باشد. ثابت کنید اگر تعداد اعضای مجموعه \(zd(R)\) هم توانی از p باشد که در آن \(zd(R)=\{a \in r| \ \exists 0\ne b\in R, ab=0\}\)، آنگاه R تنها یک ایده آل ماکسیمال دارد.
4. فرض کنید \((X,d)\) یک فضای متریک و تابع \(f:X \rightarrow X\) طوری باشد که برای هر \(x,y \in X\) داشته باشیم \(d \{f(x), f(y)\}=d(x,y)\) .
   1. الف: ثابت کنید که به ازای هر x  متعلق به X حد \(\lim \substack n \rightarrow + \infty\frac{d(x,f^n(x))}{n}\) موجود است، که در آن \(f^n\) همان \(f \circ f \circ \dots \circ f\) (n مرتبه) است.
   2. ب: ثابت کنید مقدار این حد به انتخاب x بستگی ندارد.
5. فرض کنید G₁ و G₂ دو گروه متناهی باشند به طوری که برای هر گروه متناهی H تعداد همریختی های گروهی از G₁ به H با تعداد همریختی های گروهی از G₂ به H برابر باشد. نشان دهید G₁ و G₂ یکریخت هستند
6. فرض کنید \(A=[a_{ij}]n\times n\) ماتریسی \(n \times n\) باشد که درایه های آن همگی از اعداد \([1,\dots,n]\) است. نشان دهید با جابجایی ستون های A می توان به ماتریسی مانند \(B=[b_{ij}]n\times n\) رسید که \(K(B) \le n\). جایی که \(K(B)\) برابر است با تعداد اعضای مجموعه \(\{(i,j):b_{ij}=j\}\)

موفق باشید