1. نشان دهید  \(p\Longrightarrow (q \Longrightarrow p \vee s)\)‎ یک استلزام منطقی است.
2. ترکیب  \((p \wedge \neg q)\vee (p \wedge q) \)‎ را فقط با استفاده از نماد ‎ \( (\Longrightarrow)\)‎ بنویسید.
3. نقیض گزاره " عدد صحیح ‎ \(a\)‎ فرد است اگر و فقط اگر عدد صحیح  \(a^2\)‎ فرد باشد" را بنویسید؛ هم ارزی مورد استفاده را به زبان منطق بیان نمایید.
4. تابع ‎ \( f:X \to Y\)‎ مفروض است. ثابت کنید

\(\Re (f)=\{(a,b)\in X \times X | f(a)=f(b)\}\)

یک رابطه هم ارزی در  \(X\)‎ است. ​

حل سوالات:

1. ‎ یک ‎(هر)‎ گزاره شرطی (دو شرطی) همیشه درست را یک استلزام منطقی گویند‎. 

\(‎p\Longrightarrow (q \Longrightarrow p \vee s)\equiv \sim p \vee (\sim q \vee p \vee s) \equiv ‎ ‎(\sim p \vee p)\vee(\sim q \vee s)\equiv ‎ ‎T\vee (\sim q \vee s)\equiv ‎ ‎T‎\)

2. 

\(‎(p \wedge \neg q)\vee (p \wedge q) \equiv p \wedge (\sim q \vee q) \equiv p \wedge T \equiv p \equiv p \vee F \equiv \sim F \Longrightarrow p‎\)

3. 

‎ عدد صحیح  \(a\)‎ فرد است اگر و تنها اگر عدد صحیح  \(a^2\)‎ فرد نباشد. هم ارزی مورد استفاده به صورت

\( \sim (p \Longleftrightarrow q)\equiv p \Longleftrightarrow \sim q\)

می باشد.

4. 

\(f(a)=f(a) \Longrightarrow(a,a)\in X\times X \\ (a,b)\in X\times X \Longrightarrow f(a)=f(b) \Longrightarrow f(b)=f(a) \Longrightarrow (b,a)\in X\times X \\ (a,b)\in X\times X \wedge (b,c)\in X\times X \Longrightarrow f(a)=f(b) \wedge f(b)=f(c) \Longrightarrow f(a)=f(c) \Longrightarrow (a,c)\in X\times X\)

بنابراین ‎ \(\Re\)‎ یک رابطه هم ارزی روی ‎ \(X\)‎ است.