از تعریف می دانیم که:
\(M_3=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^3}{n}\\ m_1=\frac{\sum x_i}{n}\\ m_2=\frac{\sum x_i^2}{n}\\ m_3=\frac{\sum x_i^3}{n}\)
با توجه به اینکه
\((x_i-\bar{x})^3=x_i^3-3x_i^2\bar{x}+3x_i\bar{x}^2-\bar{x}^3\)
از تعریف \(M_3\)
\(M_3=\frac{\sum x_i^3}{n}-3\frac{\sum x_i^2 \bar{x}}{n}+3\frac{\sum x_i \bar{x}^2}{n}-\frac{\sum \bar{x}^3}{n}\)
عبارت اول، یعنی \(\frac{\sum x_i^3}{n}\) مساوی است با \(m_3\)
در عبارت دوم \(3\frac{\sum x_i^2 \bar{x}}{n}= \frac{3\bar{x}\sum x_i^2}{n}\) کافیست به جای
\( \bar{x}=m_1 \)و به دست می آید
\(3\frac{\sum x_i^2 \bar{x}}{n}= \frac{3\bar{x}\sum x_i^2}{n}=3\frac{\sum x_i}{n}\frac{\sum x_i^2}{n}=3m_1m_2\)
دقت کنید که در اینجا \(\bar{x}\) همانند یک ضریب عمل می کند و می تواند از سیگما بیرون بیاید.
در عبارت سوم به جای \(\frac{\sum x_i}{n}\) قرار می دهیم \(\bar{x}\) و لذا خواهیم داشت:
\(3\frac{\sum x_i \bar{x}^2}{n}=3(\bar{x})\bar{x}^2=3\bar{x}^3\)
عبارت چهارم یعنی \( \frac{\sum \bar{x}^3}{n}\) مساوی است با \( \dfrac{n\bar{x}^3 }{n}=\bar{x}^3\)
در اینجا عبارت \(\Sigma \bar{x}^3=n\bar{x}^3 \)، زیرا یک عدد ثابت n بار جمع بسته می شود.
دو عبارت سوم و چهارم \(3\frac{\sum x_i \bar{x}^2}{n}-\frac{\sum \bar{x}^3}{n}=3\bar{x}^3-\bar{x}^3=2\bar{x}^3=2m_1^3\) را به دست می دهد.
لذا نتیجه می شود که :
\(M_3=m_3-3m_1m_2+2m_1^3\)