1- تغییر مرتبه انتگرال های دوگانه: بسیاری از مسائل انتگرال با تعویض ترتیب انتگرال قابل حل هستند. یعنی ممکن است شکل x-منظم آن قابل حل نباشد و یا اینکه به سختی حل شود، ولی شکل y-منظم آن چنین نباشد.
\(\int \int_Df \ dx \ dy=\int_a^b[\int_{h(x)}^{l(x)}f(x,y) \ dy]dx\)
مثال: حاصل انتگرال دوگانه زیر را بعد از تغییر مرتبه حساب کنید.
\(\int_0^1[\int_{e^x}^e\frac{1}{\ln y}dy]dx\)
حل: ابتدا ناحیه مورد انتگرال، که آن را D می نامیم؛ در صفحه \(xOy\) رسم می کنیم. (شکل زیر را ببینید) برای این منظور خطوط x=1, x=0 و y=e
و منحنی \(y=e^x\) را رسم می کنیم. در تعویض ترتیب حدود مشاهده می شود که y بین 1 تا e تغییر می کند و اگر y را بر محور y ها در نظر بگیریم آنگاه x می تواند از 0 تا Ln y تغییر کند. بنابراین
\(D-\{(x,y)|0\leq x\leq1, e^x \leq y\le e\}=\{(x,y)|1 \le y \le e , 0 \le x \le \ln y\}\)
در نتیجه
\(\int_0^1[\int_{e^x}^e\frac{1}{\ln y}dy]dx=\int \int_D\frac {dx \ dy}{\ln y}=\int_1^e[\int_{0}^ {\ln y} \frac{dx}{\ln y}]dy=\int _1^e [\frac{x}{\ln y}]_0^ {\ln y}dy=\int _1^e dy = e-1\)
تمرین: به کمک تعویض ترتیب حدود، انتگرال های زیر را محاسبه کنید.
\(\int_0^{12}[\int_{-\sqrt{y/3}}^\sqrt{y/3}e^{x^3-12x}dx]dy \quad , \quad \int_0^{\pi}[\int_{x}^\pi \frac{\sin y}{y}dy]dx\)
(2) قضیه گرین: فرض کنید C یک منحنی ژردان است و \(F=( \overrightarrow{P,Q})\) میدانی برداری است که بر C به طور پیوسته دیفرانسیل پذیر است و C دارای جهت استاندارد است در این صورت
\(\oint_CF.dr=\int \int_C(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx \ dy\)
مثال: با استفاده از قضیه گرین انتگرال زیر را محاسبه نمایید، که در آن C منحنی حاصل از تلاقی \(z=-x^2-y^2+5\) با صفحه z=0 و \(C: x^2+y^2=5\) بنابراین داخل C عبارت است از \(D: x^2+y^2\le5\) و بنابر قضیه گرین داریم:
\(I=\oint_C(y^2-x)dy+(x^2+2xy)dx=\oint_C(x^2+2xy)dx+(y^2-x)dy\\ =\int\int _C[(\frac{\partial (y^2-x)}{\partial x}-\frac{\partial (x^2+2xy)}{\partial y})]dx \ dy\\ =-\int\int_D(1+2x)dxdy\\ =-\int_0^{2\pi}[\int_0^\sqrt 5(1+2r \cos(\theta))rdr]d\theta\\ =-\int_0^{2\pi}[-\frac{r^2}{2}-2\frac{r^3}{3}\cos(\theta)]_0^\sqrt 5d\theta\\ =-\int_0^{2\pi}[-\frac{5}{2}-\frac{10\sqrt 5}{3}\cos(\theta)]_0^\sqrt 5d\theta\\ =[-\frac{5}{2}\theta-\frac{10\sqrt 5}{3}\sin(\theta)]_0^{2\pi}\\ =-5 \pi \)
تمرین: درستی یا عدم درستی قضیه گرین را برای میدان برداری \(F(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}i+\frac{x}{x^2+y^2}j\) بر ناحیه D محصور بین دو دایره \(x^2+y^2=4, x^2+y^2=1\) تحقیق کنید