فرمول های مثلث در دستگاه دوبعدی
در این مطلب فرمول های مربوط به مثلث و چند اصطلاح را همراه با انیمیشن های مثلث برای شما فراهم نموده ایم.
مساحت مثلث
مساحت مثلثی که از سه خط \(\begin{aligned} A_1x + B_1y + C_1 &= 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 &= 0 \\ A_3x + B_3y + C_3 &= 0 \end{aligned}\) ایجاد شده باشد برابر است با \(A = \frac{\begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix}^2} {2\cdot \begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} A_2 & B_2 \\ A_3 & B_3 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} A_3 & B_3 \\ A_1 & B_1 \end{vmatrix}}\)
مساحت مثلثی که راس های آن سه نقطه ی \(P_1(x_1, y_1) , P_2(x_2, y_2)\) و \(P_3(x_3, y_3)\) باشد را می توان توسط هر یک از دو رابطه ی زیر به دست آورد.
\(A = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) و
\(A = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{vmatrix}\)
مرکز جرم (تقاطع منصف های اضلاع، به لاتین: Centroid)
مرکز جرم به مفهوم فیزیکی نقطه ای از جسم است که هیچ گشتاوری در آنجا نیست و این نقطه یک نماینده جرم برای جسم است و برای مطالعه مواردی در مورد این جسم که جرم مورد نیاز باشد جرم نقطه مرکز جرم به نمایندگی از جرم تمام جسم می تواند قرار گیرد.
در مثلث مرکز جرم یا نقطه میانی که به لاتین Centroid خوانده می شود عبارت است از نقطه ای که حاصل تقاطع سه پاره خطی است که از زاویه های داخلی مثلث شروع شده و اضلاع روبرویشان را به دو قسمت مساوی تقسیم می کنند.
آزمایش کنید:
نقطه نارنجی رنگ رئوس مثلث زیر را کشیده و در نقطه دلخواه رها کنید این انیمیشن رفتار مرکز جرم یک مثلث را نشان می دهد.
فرمول این نقطه در صورتی که رئوس مثلث را سه نقطه
\(P_1(x_1, y_1) , P_2(x_2, y_2)\) و \(P_3(x_3, y_3)\) در نظر بگیریم برابر است با
\((x,y) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)\)
نقطه میانی مثلث (تقاطع خطوط نیمساز زاویه، به لاتین: Incenter)
همانند تعریف فوق برای مرکز جرم در این حالت تقاطع سه خط نیم ساز زوایای داخلی مثلث در مرکز این شکل را که بصورت زیر می باشد
را با استفاده از فرمول
\((x,y) = \left( \frac{a\,x_1+b\,x_2+c\,x_3}{3} , \frac{a\,y_1+b\,y_2+c\,y_3}{3} \right)\)
به دست می آوریم که a طول \(P_2P_3\)، b طول \(P_3P_1\) و c طول \(P_1P_2\) می باشد
نقطه میانی مثلث (تقاطع خطوط عمود منصف اضلاع، به لاتین: Circumcenter)
با توجه به مفروضات دو تعریف فوق و با در نظر گرفتن سه نقطه تعریف شده در بالا این نقطه با فرمول زیر محاسبه می گردد. \((x , y) = \left( ~ \frac{\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix}} {2 \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix}}~,~ \frac{\begin{vmatrix} x_1 & x_1^2+y_1^2 & 1 \\ x_2 & x_2^2+y_2^2 & 1 \\ x_3 & x_3^2+y_3^2 & 1 \\ \end{vmatrix}} {2 \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix}}~ \right)\)
این نقطه را نیز می توانید بصورت انیمیشن در شکل زیر ملاحظه نمایید -می توانید اضلاع مثلث را کشیده و حالت های شکل را عوض نمایید
مرکز میانی مثلث (تقاطع خطوط گذرا از زوایا و عمود بر ضلع روبرو، به لاتین: Orthocenter)
با مفروضات فوق فرمول این نقطه از رابطه زیر به دست می آید:
\((x , y) = \left( ~ \frac{\begin{vmatrix} y_1 & x_2x_3+y_1^2 & 1 \\ y_2 & x_3x_1 + y_2^2 & 1 \\ y_3 & x_1x_2+y_3^2 & 1 \\ \end{vmatrix}} {2 \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix}}~,~ \frac{\begin{vmatrix} x_1^2+y_2y_3 & x_1 & 1 \\ x_2^2+y_3y_1 & x_2 & 1 \\ x_3^2+y_1y_2 & x_3 & 1 \\ \end{vmatrix}} {2 \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix}}~ \right)\)
این نکاتی بود که رایشمند در مورد مثلث بیان نمود، اگر فرمول های دیگری می شناسید به ما و دوستان خود معرفی کنید.