نمونه سوال جبر3

پیام نور خراسان رضوی

1- فرض کنید G گروهی از مرتبه 169 باشد در این صورت مرکز G چند عضو دارد؟

الف. 1

ب. 2

ج. 12

د. 169

2- کدام یک از گروه های زیر ساده نیست؟

الف. هر گروه از مرتبه 6

ب. \(\mathbb Z_5\)

ج. \(S_{11}\over A_{11}\)

د. \(\mathbb Z_3\)

3- کدام یک از گروه های زیر به ازای هر شمارنده مرتبه اش، زیرگروهی از آن مرتبه ندارد؟

الف. هر گروه دوری و متناهی

ب. هر گروه آبلی متناهی

ج. هر P- گروه

د. \(A_4\)

4- هر گروه از مرتبه 200 چند 5-زیر گروه سیلو دارد؟

الف. 5

ب. 1

ج. 25

د. 8

5- کدام گزاره نادرست است؟

الف. هیچ گروهی از مرتبه 24 ساده نیست

ب. هیچ گروهی از مرتبه 48 ساده نیست

ج. هیچ گروه ساده ای از مرتبه 56 وجود ندارد

د. گروهی ساده از مرتبه 30 وجود دارد.

6- کدام گزاره نادرست است؟

الف. اگر \(|G|=pq\) که p و q اعداد اول و p<q،  \(q \not\equiv 1 \pmod p\)، آنگاه G آبلی است

ب. هر گروه از مرتبه p² که p عدد اول باشد لزوما آبلی است

ج. اگر \(|G|=p^m\) که p یک عدد اول و m یک عدد طبیعی است آنگاه \(|Z(G)|=1\)

د. اگر G گروهی غیربدیهی و \(a\in G\) آنگاه \(|C(a)|\ge2\)

7- کدام یک از حلقه های زیر نوتری نیست؟

الف. \(\mathbb Z\)

ب. \(\mathbb Z[x]\)

ج. \(\mathbb Z[\sqrt{-5}]\)

د. \(R[x]\) برای هر حلقه R

8- فرض کنید \(E(V)=\{x\in {\mathbb Q \over \mathbb Z}|x={r\over 5^n}+\mathbb Z, r\in \mathbb Z, n \in \mathbb N\}\) در این صورت کدام گزینه در مورد \(\mathbb Z\)-مدول  درست است؟

الف.  \(E(V)\) آرتینی و نوتری است

ب.  \(E(V)\) آرتینی است ولی نوتری نیست

ج. \(E(V)\) آرتینی و نوتری نیست

د. \(E(V)\) آرتینی نیست ولی نوتری است.

9- فرض کنید M یک R-مدول و G یک زیرمدول آن باشد در این صورت کدام گزینه صحیح است؟

الف. اگر G آرتینی باشد آنگاه \({M \over G}\) آرتینی است. 

ب. اگر \({M \over G}\) آرتینی باشد آنگاه M آرتینی است

ج. اگر M آرتینی باشد آنگاه \({M \over G}\) آرتینی است

د. اگر G آرتینی باشد آنگاه M آرتینی است

10- کدام یک از گزاره های زیر نادرست است. (فرض کنید M مدولی روی حلقه جابجایی R باشد.)

الف. اگر M نوتری باشد آنگاه هر زیر مدول آن نیز نوتری است

ب. اگر M آرتینی باشد آنگاه هر مدول خارج قسمتی آن نیز آرتینی است. 

ج. اگر M نوتری باشد آنگاه هر زیرمدول M متناهی مولد است. 

د. اگر هر زیر مدول M متناهی مولد باشد آنگاه M آرتینی است. 

11- قضیه کوهن بیان می کند: 

الف. اگر R آرتینی باشد آنگاه \(R[x]\) آرتینی است

ب. اگر R حلقه ای تعویض پذیر با این ویژگی که هر ایده آل اولش متناهی مولد باشد آنگاه R نوتری است. 

ج. اگر R حلقه ای تعویض پذیر با این ویژگی که هر ایده آل اولش متناهی مولد باشد آنگاه R آرتینی است. 

د. هر حلقه تعویض پذیر R نوتری است اگر و فقط اگر R آرتینی باشد. 

12- فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر باشد. اگر R را بعنوان یک R-مدول در نظر بگیریم آنگاه کدام گزینه نادرست است؟

الف. هر ایده آل R یک R- زیرمدول R است

ب. R دارای زیرمدول غیربدیهی نیست

ج. هر زیرمدول R یک ایده آل R است. 

د. ایده آل R دقیقا همان R-مدول هایش هستند و برعکس

13- فرض کنیم M و N دو مدول روی حلقه تعویض پذیر R باشند در این صورت کدام گزاره نادرست است؟

الف. دنباله \(M\xrightarrow{h}N\to0\) کامل است در صورتی که h تکریختی باشد. 

ب. اگر دنباله \(M\xrightarrow{h}N\to0\) کامل باشد آنگاه h بروریختی است

ج. اگر h بروریختی باشد آنگاه \(M\xrightarrow{h}N\to0\) کامل است

د. دنباله \(M\xrightarrow{h}N\to0\) کامل است اگر و تنها اگر h بروریختی باشد

14- کدامیک از دنباله های R-مدولی و R-همریختی زیر کامل است (H یک زیرمدول M، تابع i تابع شمول و \(\pi\) بروریختی طبیعی است)

الف. \(0\to H \xrightarrow {i} M\xrightarrow {i} {M\over H}\to 0\)

ب. \(0\to H \xrightarrow {\pi} M\xrightarrow {\pi} {M\over H}\to 0\) 

ج. \(0\to H \xrightarrow {i} M\xrightarrow {\pi} {M\over H}\to 0\)

د. \(0\to H \xrightarrow {\pi} M\xrightarrow {i} {M\over H}\to 0\)

16- فرض کنید M مدولی روی حلقه تعویض پذیر R باشد و داریای یک سری ترکیبی به طول n باشد. در این صورت کدام گزینه نادرست است؟

الف. طول زنجیر اکید از زیرمدول های M بزرگ تر از n نیست

ب. طول هر سری ترکیبی M حداکثر برابر n است. 

ج. هر زنجیر اکید از زیرمدول های M به طول به طول \(n^\prime< n\) را می توان با وارد کردن \(n-n^\prime\) جمله دیگر به یک سری ترکیبی M تبدیل کرد

د. هر زنجیر اکید از زیرمدول های M به طول n یک سری ترکیبی M است. 

17- کدام گزینه صحیح نیست؟

الف. هر گروه آبلی جمعی یک \(\mathbb Z\)-مدول یکانی است. 

ب. هرگاه S یک حلقه و R یک زیرحلقه آن باشد. آنگاه S یک R-مدول است. 

ج. هرگاه I یک ایده آل حلقه جابجایی R باشد. آنگاه \(R\over I\) یک R-مدول است

د. اگر M یک R-مدول روی حلقه تعویض پذیر R باشد آنگاه \(Ann_R (M)\) ایده آل R نیست.

18- فرض کنید F یک میدان باشد در این صورت F به عنوان یک حلقه: 

الف. نوتری و آرتینی است

ب. نوتری نیست ولی آرتینی است

ج. نوتری نیست، آرتینی هم نیست

د. نوتری است ولی آرتینی نیست

19- فرض کنید M یک مدول روی حلقه تعویض پذیر R و \(\{G_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}\) خانواده ای از R- زیرمدول های M باشد. در این صورت کدام گزینه نادرست است؟

الف. \(I_{\lambda\in \Lambda}G_\lambda\) زیرمدولی از M است. 

ب. \(\sum_{\lambda\in \Lambda}G_\lambda\) زیرمدولی از M است

ج. \(\langle Y_{ \lambda \in \Lambda}G_\lambda \rangle\) زیرمدولی از M است. 

د. اگر \(\Lambda = \varnothing\) آنگاه \(\sum_{\lambda\in \Lambda}G_\lambda\) زیرمدول M نیست. 

20- فرض کنید I ایده آل حلقه تعویض پذیر R باشد و \(I\subseteq \text{Jac}(R)\) در این صورت کدام گزاره درست است؟

الف. \(I_{n=1}^\infty I^n=0\)

ب. \(I_{n=1}^\infty I^n=R\)

ج.\(I_{n=1}^\infty I^n=\varnothing\) 

د. \(I_{n=1}^\infty I^n=1\)

سوالات تشریحی

1- ثابت کنید هر گروه از مرتبه 1225 آبلی است

2- قضیه دوم سیلو را بیان و اثبات کنید

3- فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر و یکدار و I ایده آلی از R باشد. نشان دهید: 

\(I=\text{Ann}_R({R\over I})=(0:_R1+I)\)

4- لم ناکایاما را بیان و اثبات کنید

5- فرض کنید R حلقه ای تعویض پذیر و دنباله ی: 

\(0\to L \xrightarrow {f}M\xrightarrow {g}N\to0\)

دنباله کامل کوتاهی از R-مدول ها و R-همریختی ها باشد؛ نشان دهید:

R- مدول M متناهی طول است اگر و فقط اگر L و N هر دو متناهی طول باشند.