متمم مجموعه مجموعه‌ای از عناصری است که در یک مجموعه مرجع قرار دارند اما عضو مجموعه موردنظر نیستند. اگر \(A\) زیرمجموعه‌ای از مجموعه مرجع \(U\) باشد، متمم \(A\) شامل تمام عناصری از \(U\) است که در \(A\) وجود ندارند:

$$ A^c = \{x \in U \mid x \notin A\} $$

در این مقاله با مفهوم مجموعه مرجع، تعریف دقیق متمم، نمادگذاری‌های رایج، رابطه متمم با اجتماع و اشتراک، قوانین دمورگان، متمم مجموعه تهی و مجموعه مرجع، و روش حل مسائل مربوط به متمم مجموعه آشنا می‌شوید.

تفاضل مجموعه‌ها یکی از عملیات بنیادی روی مجموعه‌هاست که برای مشخص‌کردن اعضایی به کار می‌رود که در یک مجموعه قرار دارند اما در مجموعه دیگر قرار ندارند. اگر \(A\) و \(B\) دو مجموعه باشند، تفاضل \(A\) از \(B\) به‌صورت \(A \setminus B\) تعریف می‌شود و شامل تمام اعضای \(A\) است که عضو \(B\) نیستند.

در این مقاله، تعریف دقیق تفاضل مجموعه‌ها، نمادگذاری، رابطه آن با اجتماع و اشتراک، ویژگی‌های مهم، تفاوت \(A \setminus B\) با \(B \setminus A\)، نمایش با نمودار ون و چند مثال حل‌شده بررسی می‌شود.

اشتراک مجموعه‌ها یکی از بنیادی‌ترین عملیات در نظریه مجموعه‌هاست و مجموعه‌ای را تشکیل می‌دهد که اعضای آن به‌طور هم‌زمان در همه مجموعه‌های موردنظر وجود دارند. اگر دو مجموعه A و B داشته باشیم، اشتراک آن‌ها با نماد \(A \cap B\) نشان داده می‌شود.

در این مقاله، تعریف دقیق اشتراک مجموعه‌ها، نمادگذاری، تفاوت آن با اجتماع، قوانین و خواص مهم، ارتباط اشتراک با مجموعه تهی و زیرمجموعه، اشتراک چند مجموعه و مثال‌های حل‌شده را بررسی می‌کنیم.

اجتماع مجموعه‌ها یکی از عملیات بنیادی در نظریه مجموعه‌هاست که برای ترکیب عناصر دو یا چند مجموعه به کار می‌رود. اجتماع دو مجموعه، مجموعه‌ای از تمام عناصری است که حداقل در یکی از آن دو مجموعه قرار دارند؛ بنابراین اگر عنصری در هر دو مجموعه نیز وجود داشته باشد، در اجتماع فقط یک‌بار در نظر گرفته می‌شود.

در این مقاله با تعریف دقیق اجتماع، نماد \( \cup \)، نمایش اجتماع با نماد سازنده مجموعه و نمودار ون، خواص مهم مانند جابجایی و شرکت‌پذیری، رابطه اجتماع با اشتراک و متمم، و همچنین فرمول محاسبه تعداد اعضای اجتماع آشنا می‌شوید. سپس چند مثال از ساده تا پیشرفته بررسی می‌شود تا مفهوم اجتماع مجموعه‌ها به‌صورت دقیق و کاربردی روشن شود.

مجموعه تهی مجموعه‌ای است که هیچ عضوی ندارد و با نمادهای \( \emptyset \) یا \( \{\} \) نمایش داده می‌شود. این مفهوم یکی از ساده‌ترین و در عین حال بنیادی‌ترین مفاهیم نظریه مجموعه‌هاست و در تعریف زیرمجموعه، اشتراک مجموعه‌ها، حل مسائل، منطق و بسیاری از مباحث ریاضی نقش اساسی دارد.

در این مقاله با تعریف دقیق مجموعه تهی، تفاوت آن با عدد صفر و مجموعه تک‌عضویِ شامل صفر، ویژگی‌های مهم، ارتباط آن با زیرمجموعه‌ها و روش تشخیص مجموعه تهی آشنا می‌شوید و چند مثال حل‌شده را بررسی می‌کنیم.

عضویت و زیرمجموعه از بنیادی‌ترین مفاهیم نظریه مجموعه‌ها هستند و پایه بسیاری از مباحث بعدی ریاضیات، از جمله اجتماع، اشتراک، متمم، مجموعه توانی، روابط و توابع را تشکیل می‌دهند. در این مقاله تفاوت دقیق میان «عضو یک مجموعه بودن» و «زیرمجموعه یک مجموعه بودن» را بررسی می‌کنیم، نمادهای \( \in \)، \( \notin \)، \( \subseteq \) و \( \subsetneq \) را توضیح می‌دهیم و با استفاده از مثال‌های مرحله‌به‌مرحله، روش تشخیص زیرمجموعه، برابری دو مجموعه، زیرمجموعه‌های سره، مجموعه تهی و خواص مهم رابطه زیرمجموعه را آموزش می‌دهیم. همچنین به تفاوت مفاهیمی مانند \(a\in A\) و \(\{a\}\subseteq A\)، رابطه میان عضویت و زیرمجموعه و خطاهای رایج در استفاده از نمادها می‌پردازیم.

نمایش مجموعه یکی از مهارت‌های پایه در یادگیری نظریه مجموعه‌ها و زبان ریاضی است. یک مجموعه را می‌توان به روش‌های مختلفی معرفی کرد؛ از جمله با فهرست‌کردن اعضا، بیان ویژگی مشترک اعضا و در برخی موارد با استفاده از نمودار یا توصیف کلامی. در این مقاله روش فهرستی یا اعضانویسی، روش سازنده مجموعه، کاربرد نمادهای ریاضی، نمایش مجموعه‌های متناهی و نامتناهی، تبدیل میان روش‌های مختلف نمایش و خطاهای رایج بررسی می‌شود. همچنین با مثال‌های حل‌شده نشان می‌دهیم چگونه یک مجموعه را از روی ویژگی اعضای آن بنویسیم و برعکس، از روی نمایش فهرستی ویژگی مشترک اعضا را پیدا کنیم.

مجموعه یکی از بنیادی‌ترین مفاهیم ریاضیات است و بسیاری از مفاهیم مهم مانند عدد، تابع، رابطه، احتمال و ساختارهای ریاضی را می‌توان با زبان مجموعه‌ها تعریف و بررسی کرد. در این مقاله مفهوم مجموعه را از تعریف شهودی تا صورت‌بندی دقیق ریاضی بررسی می‌کنیم، تفاوت مجموعه با فهرست و دنباله را توضیح می‌دهیم، مفهوم عضو و عضویت، برابری مجموعه‌ها، روش‌های تعیین یک مجموعه، مجموعه‌های عددی و مجموعه‌های متناهی و نامتناهی را معرفی می‌کنیم و با مثال‌های حل‌شده نشان می‌دهیم چگونه باید تشخیص دهیم یک شیء عضو یک مجموعه است یا نه. همچنین توضیح می‌دهیم که چرا در ریاضیات جدید، مفهوم مجموعه در سطح بنیادی به‌صورت اصل‌موضوعی مطالعه می‌شود.

مجموعه یکی از بنیادی‌ترین مفاهیم در ریاضیات است و برای تعریف و سازمان‌دهی بسیاری از اشیای ریاضی به کار می‌رود. در این مقاله با مفهوم مجموعه، روش‌های نمایش آن، رابطه عضویت و زیرمجموعه، مجموعه تهی، مجموعه‌های متناهی و نامتناهی و مهم‌ترین عملیات روی مجموعه‌ها آشنا می‌شوید. همچنین مفاهیمی مانند اجتماع، اشتراک، تفاضل، متمم، ضرب دکارتی و مجموعه توانی را در یک چارچوب منسجم بررسی می‌کنیم تا ارتباط میان این مفاهیم و کاربرد آن‌ها در ریاضیات، علوم کامپیوتر و سایر حوزه‌های علمی روشن شود.

ریاضیات فقط مجموعه‌ای از فرمول‌ها و روش‌های محاسبه نیست؛ بلکه زبانی دقیق برای تعریف مفاهیم، بیان گزاره‌ها، استدلال درباره آن‌ها و اثبات نتایج است. هرچه از محاسبات مقدماتی به شاخه‌های پیشرفته‌تر ریاضیات حرکت کنیم، اهمیت این جنبه از ریاضیات بیشتر می‌شود.

پیش از مطالعه موضوعاتی مانند جبر، آنالیز، احتمال، هندسه یا نظریه اعداد، لازم است با برخی مفاهیم بنیادی آشنا باشیم: مجموعه‌ها، گزاره‌ها، منطق، کمیت‌نماها، روش‌های اثبات، دستگاه‌های عددی و زبان نمادین ریاضیات.

این مباحث در واقع به یکدیگر وابسته‌اند. مجموعه‌ها چارچوبی برای تعریف بسیاری از اشیای ریاضی فراهم می‌کنند؛ منطق، ساختار گزاره‌ها و قواعد استدلال را مشخص می‌کند؛ روش‌های اثبات نشان می‌دهند چگونه یک نتیجه را به‌طور معتبر از فرض‌ها به دست آوریم؛ دستگاه‌های عددی انواع مختلف اعداد و روابط میان آن‌ها را سازمان می‌دهند؛ و نمادگذاری ریاضی امکان بیان دقیق و فشرده همه این مفاهیم را فراهم می‌کند.

به همین دلیل، آشنایی با مبانی ریاضیات را باید بخشی از مسیر شکل‌گیری تفکر ریاضی دانست، نه صرفاً مجموعه‌ای از تعاریف مقدماتی. دوره دانشگاهی «Mathematics for Computer Science» در مؤسسه فناوری ماساچوست (MIT) نیز مجموعه‌ها، نمادگذاری منطقی، روابط، استقرا و روش‌های اثبات را در میان ابزارهای پایه ریاضیات قرار می‌دهد. منبع دانشگاهی MIT

یک پژوهش جدید نشان می دهد که اگر کودکان در هنگام یادگیری تحرک داشته باشند، این درس را بهتر یاد خواهند گرفت.

این پاسخ ها توسط آقای محمدحسین عباس زاده علی بگلو برای رایشمند ارسال شده است

قرار است یک بازرس از یک مدرسه دیدن کند و سطح کلاس ها را ارزیابی نماید. این بازرس می تواند هر سئوالی با هر درجه از سختی یا آسانی، مرتبط با درس و مفاهیم مندرج در کتاب هایشان، بپرسد. تنها گزینه ای که در اختیار معلم کلاس است، این است که او مشخص می کند چه کسی پاسخ دهد.

امیر ابن الخوض، فرمانروای توانمند کشور قضیعبیه در خزانه ی خود نشسته بود و شادان و خندان دوازده جعبه ی در بسته را که در گوشه ای ردیف شده بودند، تماشا می کرد جعبه های پر از شمش های زر، حاوی مالیات هایی که دوازده نماینده ی ویژه از دوازده استان کشور گردآوری کرده بودند. روی هر جعبه، نام استان و نام نماینده ی ویژه یادداشت شده بود. هر شمش یک کیلوگرم وزن داشت و جعبه های که بیشتر آن ها پر بودند، مبلغ هنگفتی را نشان می دادند.

13 امین کنفرانس آموزش ریاضی برای پروژه‌های آینده، آموزش ریاضی در جهانی متصل، از تمامی علاقه‌مندان از 16-21 سپتامبر، 2015  در سواحل زیبای سیسیل دعوت بعمل می‌آورد. این همایش جمعی دوستانه و سازنده  شامل معلمان خلاق و آموزگاران و مربیان ریاضی از سراسر جهان است، به عنوان مثال در کنفرانس 2009 در درسدن، آلمان،  44 کشور حضور داشتند!.

در سال 2016، 13امين کنگره بين‌المللی آموزش رياضی، ICME-13، توسط انجمن آموزش رپاضي (Gesellschaft für Didaktik der Mathematik - GDM) در کشور آلمان در شهر هامبورگ برگزار خواهد شد

مرسه تابستانه آموزش ریاضیات اوترخت ترکیبی از سخنرانی‌ها، سمینارها و کارگاه‌های مطالعات آموزشی  و توسعه در زمینه‌ی آموزش ریاضیات پیش دبستانی، دبستان و دوره متوسطه و نیازهای اساسی آموزش را ارائه می‌دهد.

در ادامه یک کلیپ از یک کودک ریاضیدان ! می بینید