در این صفحه گروه آموزش را ملاحظه می نمایید. برای مشاهده کلیه مطالب سایت اعم از آموزش ریاضی، اخبار ریاضی، نمونه سوال ریاضی، فرمول های ریاضی، مشاهیر و دانشمندان، رشته های تحصیلی و مطالب دیگر می توانید از لینک زیر استفاده کنید

در صفحه جزئیات مطلب که با کلیک روی لینک زیر راهی آن می شوید می توانید از گروه بندی که در سمت چپ وجود دارد برای دسترسی به کلیه مطالب سایت استفاده کنید

تمام مطالب

جدیدترین آموزش ها

RSS

آموزش

جعفر اوج بگ

تغییر مرتبه انتگرال های دوگانه، قضیه گرین

1- تغییر مرتبه انتگرال های دوگانه: بسیاری از مسائل انتگرال با تعویض ترتیب انتگرال قابل حل هستند. یعنی ممکن است شکل x-منظم آن قابل حل نباشد و یا اینکه به سختی حل شود، ولی شکل y-منظم آن چنین نباشد. 

\(\int \int_Df \ dx \ dy=\int_a^b[\int_{h(x)}^{l(x)}f(x,y) \ dy]dx\)

مثال: حاصل انتگرال دوگانه زیر را بعد از تغییر مرتبه حساب کنید. 

\(\int_0^1[\int_{e^x}^e\frac{1}{\ln y}dy]dx\)

حل: ابتدا ناحیه مورد انتگرال، که آن را D می نامیم؛ در صفحه \(xOy\) رسم می کنیم. (شکل زیر را ببینید) برای این منظور خطوط x=1, x=0 و y=e 

و منحنی \(y=e^x\) را رسم می کنیم. در تعویض ترتیب حدود مشاهده می شود که y بین 1 تا e تغییر می کند و اگر y را بر محور y ها در نظر بگیریم آنگاه x می تواند از 0 تا Ln y تغییر کند. بنابراین 

\(D-\{(x,y)|0\leq x\leq1, e^x \leq y\le e\}=\{(x,y)|1 \le y \le e , 0 \le x \le \ln y\}\)

در نتیجه 

\(\int_0^1[\int_{e^x}^e\frac{1}{\ln y}dy]dx=\int \int_D\frac {dx \ dy}{\ln y}=\int_1^e[\int_{0}^ {\ln y} \frac{dx}{\ln y}]dy=\int _1^e [\frac{x}{\ln y}]_0^ {\ln y}dy=\int _1^e dy = e-1\)

 

تمرین: به کمک تعویض ترتیب حدود، انتگرال های زیر را محاسبه کنید. 

\(\int_0^{12}[\int_{-\sqrt{y/3}}^\sqrt{y/3}e^{x^3-12x}dx]dy \quad , \quad \int_0^{\pi}[\int_{x}^\pi \frac{\sin y}{y}dy]dx\)

(2) قضیه گرین: فرض کنید C یک منحنی ژردان است و \(F=( \overrightarrow{P,Q})\) میدانی برداری است که بر C به طور پیوسته دیفرانسیل پذیر است و C دارای جهت استاندارد است در این صورت 

\(\oint_CF.dr=\int \int_C(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx \ dy\)

مثال: با استفاده از قضیه گرین انتگرال زیر را محاسبه نمایید، که در آن C منحنی حاصل از تلاقی \(z=-x^2-y^2+5\) با صفحه z=0 و \(C: x^2+y^2=5\) بنابراین داخل C عبارت است از \(D: x^2+y^2\le5\) و بنابر قضیه گرین داریم: 

\(I=\oint_C(y^2-x)dy+(x^2+2xy)dx=\oint_C(x^2+2xy)dx+(y^2-x)dy\\ =\int\int _C[(\frac{\partial (y^2-x)}{\partial x}-\frac{\partial (x^2+2xy)}{\partial y})]dx \ dy\\ =-\int\int_D(1+2x)dxdy\\ =-\int_0^{2\pi}[\int_0^\sqrt 5(1+2r \cos(\theta))rdr]d\theta\\ =-\int_0^{2\pi}[-\frac{r^2}{2}-2\frac{r^3}{3}\cos(\theta)]_0^\sqrt 5d\theta\\ =-\int_0^{2\pi}[-\frac{5}{2}-\frac{10\sqrt 5}{3}\cos(\theta)]_0^\sqrt 5d\theta\\ =[-\frac{5}{2}\theta-\frac{10\sqrt 5}{3}\sin(\theta)]_0^{2\pi}\\ =-5 \pi \)

تمرین: درستی یا عدم درستی قضیه گرین را برای میدان برداری \(F(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}i+\frac{x}{x^2+y^2}j\) بر ناحیه D محصور بین دو دایره \(x^2+y^2=4, x^2+y^2=1\) تحقیق کنید

مطلب قبلی مشکل این اثبات کجاست
مطلب بعدی رابطه بین گشتاورهای مرتبه اول و دوم و سوم حول صفر با گشتاور مرکزی مرتبه سوم
چاپ
7970 رتبه بندی این مطلب:
3/2
 
جعفر اوج بگ

جعفر اوج بگجعفر اوج بگ

فارغ التحصیل کارشناسی ارشد ریاضی - گرایش هندسه

مدرس دانشگاه

مدرس کنکور و المپیاد در سطح آموزشگاههای بوکان

سایر نوشته ها توسط جعفر اوج بگ

1 نظر در مطلب "تغییر مرتبه انتگرال های دوگانه، قضیه گرین" ثبت شده است

1
0

حکیم

سلام

لطفا کدنویسی و متن مطلب رو اصلاح کنید.

نوشتن یک نظر

نام:
ایمیل:
نظر:
افزودن نظر