گروه بندی کلیه مطالب

مطالب تخصصی ریاضی در سایت تخصصی رایشمند

مدیر ارشد سایت
/ دسته ها: آموزش - متوسطه

دنباله هندسي

حسابان

دنباله هندسي: دنباله اي است كه به جز جمله اول آن، هر جمله اش برابر است با جمله قبلي آن ضربدر يك مقدار ثابت. اين مقدار ثابت را قدر نسبت دنباله ناميده با q نشان مي دهيم.
اگر جمله اول و قدر نسبت آن مخالف صفر باشد مي توان گفت دنباله هندسي دنباله اي است كه خارج قسمت هر دو جمله متوالي آن مقدار ثابتي است.
مثال: دنباله \(1,-2,4,-8,\dots\) هندسي است ولي دنباله \(1,-2,-4,8,16,\dots\) هندسي نيست.

جمله عمومي دنباله هندسي كه جمله اول آن a و قدر نسبت آن q باشد برابر است با:

\(a_n=aq^{n-1}\)

مثال: دنباله\(2,1,{1\over 2}, \dots\)چند جمله بزرگتر از \(10^{-3}\) دارد؟
حل: چون 2 =a و \(q=1/2\) پس \(a_n=2(1/2)^{n-1}\) كه طبق فرض بايد \(2(1/2)^{n-1}>10^{-3}\) باشد بنابراين:

\(2 \times(1/2)^n(1/2)^{-1}>{1 \over 1000} \Rightarrow(1/2)^n>{1 \over 4000}\Rightarrow2^n<4000 \Rightarrow n<12\)

درنتيجه يازده جمله بزرگتر از \(10^{-3}\) دارد.

اگر aو amدو جمله غیر صفر از یک دنباله هندسی باشد آنگاه \({a_m \over a_n}=q^{m-n}\)

 

اگر alو ap وanو am چهار جمله از يك دنباله هندسي و m + n = p + l آنگاه aman = apal.
در هر دنباله هندسي متناهي حاصل ضرب هر دو جمله متساوي الفاصله از طرفين باهم برابر است.
اگر در يك دنباله هندسي متناهي تعداد جملات فرد باشد حاصل ضرب همه جملات آن برابر است با مقدار جمله وسط به توان تعداد آن ها.
مثال: اگر در يك دنباله هندسي 12 = a2 و 96 = a5 باشد a7 را بيابيد.
حل:

\({a_5 \over a_3}=q^3 \Rightarrow {96 \over 12}=q^3 \Rightarrow q=2 \\ {a_7 \over a_3}=q^3 \Rightarrow a_7={96 \times 4} \Rightarrow a_7=384\)

مثال: در يك دنباله هندسي داريم 1 = a5 حاصلضرب جملات اول تا نهم آن را بيابيد.

حل:a1 a2 ....a9 = (a5)9= 19= 1
مجموعn جمله اول دنباله هندسي برابر است با:

\(S(n) = \left\{ \begin{array}{l l} {a(1-q^n) \over 1-q} & \quad q\neq\\ na & \quad q=1 \end{array} \right.\)

مثال: در يك دنباله هندسي داريم S6=63 , S3=7، جمله ششم چند برابر جمله دوم است.

حل:

\({s_6 \over s_3}={63 \over 7}\Rightarrow {{a(1-q^6) \over 1-q} \over{a(1-q^3) \over 1-q}}=9 \Rightarrow {a(1-q^6) \over a(1-q^3)}=9 \Rightarrow(1-q^3)=9 \Rightarrow q=2\)

در نتيجه:

\({a_6 \over a_2}=q^4 \rightarrow{a_6 \over a_2}=16\)

مثال: حداكثر چند جمله ابتداي دنباله \(1,{1 \over 3}, {1 \over 9}, \dots\) را جمع كنيم تا حاصل كمتر از 1/497شود.

حل: چون 1 =a و \(q=1/3\) و مي خواهيم Sn<1/497 باشد پس داریم:

\({-({1 \over 3})^n \over {1 \over 3}}<1.497 \Rightarrow {3 \over 2}(1-({1 \over 3})^n)<{499 \over 500}\rightarrow({1 \over 3})^n>{1 \over 500}\Rightarrow 3^n<500 \Rightarrow n<6\)

پس مي توان حداكثر 5 جمله آن را باهم جمع نمود.

™ اگر در يك دنباله هندسي نامتناهي، \(|q|<1\) باشد مجموع همه جملات آن برابر است
با:

\(S={a \over 1-q}\)

مثال: مجموع همه جملات دنباله \(1,-{1 \over 4},{1 \over 16},-{1 \over 64}, \dots\) را بيابيد.
حل:

\(a=1 , 1=-1/4, |q|<1 \Rightarrow S={1 \over 1-(-1/4)}={1 \over {5 \over 4}}={4 \over 5}\)

مثال: در يك دنباله هندسي نامتناهي جمله اول برابر با مجموع ساير جملات آن مي باشد نسبت جمله پنجم به جمله اول اين دنباله را بيابيد.

حل: اگر جمله اول a و قدر نسبت q باشد داريم:

\(a={aq \over 1-q}\Rightarrow1={q \over 1-q}\Rightarrow q=1/2 \Rightarrow {a_5 \over a_1}=q^4= {1 \over 16}\)

لطفا نظرات خود را در مورد این آموزش برای ما و دوستانتان ارسال کنید

مطلب قبلی نمونه سوال جبر3
مطلب بعدی درهفته پژوهش رایشمند در لیست جامع ترین سایت های علمی ایران قرار گرفت
چاپ
1286 رتبه بندی این مطلب:
3/5

مدیر ارشد سایتمدیر ارشد سایت

سایر نوشته ها توسط مدیر ارشد سایت

2 نظر در مطلب "دنباله هندسي" ثبت شده است

2
0

استاد

با سلام خیلی ممنون از قرار دادن این مبحث شیرین خسته نباشید.


0
1

مدیر ارشد سایت

خواهش می کنم و خوشحالم که راضی هستید

نوشتن یک نظر

نام:
ایمیل:
نظر:
افزودن نظر